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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 다중적분

원기둥·구면좌표 삼중적분

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

OpenStax 3권 · 5.5절 · 13번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 함수 gg 와 영역 EE 가 직교좌표로 주어져 있다.

a. 영역 EE 와 함수 gg 를 원기둥좌표로 나타내세요. f(r,θ,z)f(r,\theta ,z) 를 원기둥좌표에서 이에 대응하는 함수라 하세요. b. 적분 ∭Eg(x,y,z)dV\iiint_{E}g(x,y,z)dV 를 원기둥좌표로 바꾸고 값을 구하세요.

g(x,y,z)=1x+3,g(x,y,z)=\frac{1}{x+3}, E={(x,y,z)∣0≤x2+y2≤9,x≥0,y≥0,0≤z≤x+3}E=\{(x,y,z)|0\le {x}^{2}+{y}^{2}\le 9,x\ge 0,y\ge 0,0\le z\le x+3\}

영어 원문 보기

In the following exercises, the function gg and region EE are given in rectangular coordinates.

a. Express the region EE and the function gg in cylindrical coordinates. Let f(r,θ,z)f(r,\theta ,z) be the corresponding function in cylindrical coordinates. b. Convert the integral ∭Eg(x,y,z)dV\iiint_{E}g(x,y,z)dV to cylindrical coordinates and evaluate it.

g(x,y,z)=1x+3,g(x,y,z)=\frac{1}{x+3}, E={(x,y,z)∣0≤x2+y2≤9,x≥0,y≥0,0≤z≤x+3}E=\{(x,y,z)|0\le {x}^{2}+{y}^{2}\le 9,x\ge 0,y\ge 0,0\le z\le x+3\}

정답·풀이 보기

a. E={(r,θ,z)∣0≤r≤3,0≤θ≤π2,0≤z≤r cos⁡ θ+3},E=\{(r,\theta ,z)|0\le r\le 3,0\le \theta \le \frac{\pi }{2},0\le z\le r\,\cos \,\theta +3\}, f(r,θ,z)=1r cos⁡ θ+3;f(r,\theta ,z)=\frac{1}{r\,\cos \,\theta +3}; b. ∫03 ∫0π/2 ∫0r cos⁡ θ+3rr cos⁡ θ+3dz dθ dr=9π4\int_{0}^{3}\,\int_{0}^{\pi /2}\,\int_{0}^{r\,\cos \,\theta +3}\frac{r}{r\,\cos \,\theta +3}dz\,d\theta \,dr=\frac{9\pi }{4}

원본 교재 풀이(영어)

a. E={(r,θ,z)∣0≤r≤3,0≤θ≤π2,0≤z≤r cos⁡ θ+3},E=\{(r,\theta ,z)|0\le r\le 3,0\le \theta \le \frac{\pi }{2},0\le z\le r\,\cos \,\theta +3\}, f(r,θ,z)=1r cos⁡ θ+3;f(r,\theta ,z)=\frac{1}{r\,\cos \,\theta +3}; b. ∫03 ∫0π/2 ∫0r cos⁡ θ+3rr cos⁡ θ+3dz dθ dr=9π4\int_{0}^{3}\,\int_{0}^{\pi /2}\,\int_{0}^{r\,\cos \,\theta +3}\frac{r}{r\,\cos \,\theta +3}dz\,d\theta \,dr=\frac{9\pi }{4}

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 3권 · 5.5절 · 11번우리말 번역

EE 는 제1팔분공간에 있으며, 원포물면 z=9−3r2z=9-3{r}^{2}, 원기둥 r=3r=\sqrt{3}, 평면 r(cos⁡ θ+sin⁡ θ)=20−zr(\cos \,\theta +\sin \,\theta )=20-z 로 둘러싸인 영역이다.

다 풀었으면 정답 확인

a. E={(r,θ,z)∣0≤θ≤π2,0≤r≤3,9−3r2≤z≤20−r(cos⁡ θ+sin⁡ θ)};E=\{(r,\theta ,z)|0\le \theta \le \frac{\pi }{2},0\le r\le \sqrt{3},9-3{r}^{2}\le z\le 20-r(\cos \,\theta +\sin \,\theta )\}; b. ∫0π/2 ∫03 ∫9−3r220−r(cos⁡ θ+sin⁡ θ)f(r,θ,z)r dz dr dθ\int_{0}^{\pi /2}\,\int_{0}^{\sqrt{3}}\,\int_{9-3{r}^{2}}^{20-r(\cos \,\theta +\sin \,\theta )}f(r,\theta ,z)r\,dz\,dr\,d\theta

이 문제로 이어서 풀기
# 원기둥·구면좌표 삼중적분계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)

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