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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 다중적분

원기둥·구면좌표 삼중적분

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-3 · 3.7절 · 14번대학 수준우리말 번역

구면좌표로 바꾸어

∫−11∫−1−x21−x2∫1−1−x2−y21+1−x2−y2(x2+y2+z2)5/2 dz dy dx\int_{-1}^1 \int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} \int_{1-\sqrt{1-x^2-y^2}}^{1+\sqrt{1-x^2-y^2}} (x^2+y^2+z^2)^{5/2} \ \mathrm{d}z\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x

의 값을 구하세요.

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Evaluate

∫−11∫−1−x21−x2∫1−1−x2−y21+1−x2−y2(x2+y2+z2)5/2 dz dy dx\int_{-1}^1 \int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} \int_{1-\sqrt{1-x^2-y^2}}^{1+\sqrt{1-x^2-y^2}} (x^2+y^2+z^2)^{5/2} \ \mathrm{d}z\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x

by changing to spherical coordinates.

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

적분 영역에서

  • xx 는 −1-1 부터 11 까지 변한다.
  • 그 범위의 각 고정된 xx 에 대해 yy 는 −1−x2-\sqrt{1-x^2} 부터 1−x2\sqrt{1-x^2} 까지 변한다. 부등식으로 나타내면 −1−x2≤y≤1−x2-\sqrt{1-x^2}\le y\le \sqrt{1-x^2} 이고, 이는 x2+y2≤1x^2+y^2\le 1 과 같다.
  • x2+y2≤1x^2+y^2\le 1 을 만족하는 각 고정된 (x,y)(x,y) 에 대해 zz 는 1−1−x2−y21-\sqrt{1-x^2-y^2} 부터 1+1−x2−y21+\sqrt{1-x^2-y^2} 까지 변한다. 부등식으로 나타내면 1−1−x2−y2≤z≤1+1−x2−y21-\sqrt{1-x^2-y^2}\le z\le 1+\sqrt{1-x^2-y^2} 이고, 이는 x2+y2+(z−1)2≤1x^2+y^2+(z-1)^2\le 1 과 같다.

따라서 적분 영역은

V={ (x,y,z) ∣ x2+y2+(z−1)2≤1 }V = \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x^2+y^2+(z-1)^2\le 1\ \big\}

이다.

구면좌표에서 조건 x2+y2+(z−1)2≤1x^2+y^2+(z-1)^2\le 1 은

(ρsin⁡φcos⁡θ)2+(ρsin⁡φsin⁡θ)2+(ρcos⁡φ−1)2≤1  ⟺  ρ2sin⁡2φ+(ρcos⁡φ−1)2≤1  ⟺  ρ2sin⁡2φ+ρ2cos⁡2φ−2ρcos⁡φ+1≤1  ⟺  ρ2≤2ρcos⁡φ  ⟺  ρ≤2cos⁡φ\begin{aligned} &(\rho\sin\varphi\cos\theta)^2 +(\rho\sin\varphi\sin\theta)^2 +(\rho\cos\varphi-1)^2\le 1 \\ &\iff \rho^2\sin^2\varphi + (\rho\cos\varphi-1)^2\le 1 \\ &\iff \rho^2\sin^2\varphi + \rho^2\cos^2\varphi -2 \rho\cos\varphi +1 \le 1 \\ &\iff \rho^2\le 2\rho\cos\varphi \\ &\iff \rho\le 2\cos\varphi \end{aligned}

이다.

VV 는 R3\mathbb{R}^3 의 위쪽 절반 z≥0z\ge 0 에 포함되고 xyxy평면은 VV 에 접한다. 따라서 (x,y,z)(x,y,z) 가 VV 에서 변할 때 구면좌표 φ\varphi 는 00 (양의 zz축)부터 π/2{\pi}/{2} (xyxy평면)까지 변한다. 다음은 VV 를 옆에서 본 모양의 그림이다.

그림

dV=ρ2sin⁡φ dρ dφ dθ\mathrm{d}V = \rho^2\sin\varphi\ \mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}\theta 이고 (x2+y2+z2)5/2=ρ5\big(x^2+y^2+z^2\big)^{5/2}=\rho^5 이므로 적분은 다음과 같다.

∫−11∫−1−x21−x2∫1−1−x2−y21+1−x2−y2(x2+y2+z2)5/2 dz dy dx=∫02πdθ∫0π/2dφ∫02cos⁡φdρ ρ2sin⁡φ ρ5=∫02πdθ∫0π/2dφ 28cos⁡8φ8sin⁡φ=32∫02πdθ [−cos⁡9φ9]0π/2=329(2π)=64π9\begin{aligned} \int_{-1}^1 \int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} \int_{1-\sqrt{1-x^2-y^2}}^{1+\sqrt{1-x^2-y^2}} (x^2+y^2+z^2)^{5/2} \ \mathrm{d}z\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x &=\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_0^{\pi/2}\mathrm{d}\varphi \int_0^{2\cos\varphi}\mathrm{d}\rho\ \rho^2\sin\varphi \ \rho^5 \\ &=\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_0^{\pi/2}\mathrm{d}\varphi \ \frac{2^8\cos^8\varphi}{8}\sin\varphi \\ &=32\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\ \left[-\frac{\cos^9\varphi}{9}\right]_0^{\pi/2} \\ &=\frac{32}{9}(2\pi) =\frac{64\pi}{9} \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

On the domain of integration

  • xx runs from −1-1 to 11.
  • For each fixed xx in that range, yy runs from −1−x2-\sqrt{1-x^2} to 1−x2\sqrt{1-x^2}. In inequalities, that is −1−x2≤y≤1−x2-\sqrt{1-x^2}\le y\le \sqrt{1-x^2}, which is equivalent to x2+y2≤1x^2+y^2\le 1.
  • For each fixed (x,y)(x,y) obeying x2+y2≤1x^2+y^2\le 1, zz runs from 1−1−x2−y21-\sqrt{1-x^2-y^2} to 1+1−x2−y21+\sqrt{1-x^2-y^2}. In inequalities, that is 1−1−x2−y2≤z≤1+1−x2−y21-\sqrt{1-x^2-y^2}\le z\le 1+\sqrt{1-x^2-y^2}, which is equivalent to x2+y2+(z−1)2≤1x^2+y^2+(z-1)^2\le 1.

So the domain of integration is

V={ (x,y,z) ∣ x2+y2+(z−1)2≤1 }V = \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x^2+y^2+(z-1)^2\le 1\ \big\}

In spherical coordinates, the condition x2+y2+(z−1)2≤1x^2+y^2+(z-1)^2\le 1 is

(ρsin⁡φcos⁡θ)2+(ρsin⁡φsin⁡θ)2+(ρcos⁡φ−1)2≤1  ⟺  ρ2sin⁡2φ+(ρcos⁡φ−1)2≤1  ⟺  ρ2sin⁡2φ+ρ2cos⁡2φ−2ρcos⁡φ+1≤1  ⟺  ρ2≤2ρcos⁡φ  ⟺  ρ≤2cos⁡φ\begin{aligned} &(\rho\sin\varphi\cos\theta)^2 +(\rho\sin\varphi\sin\theta)^2 +(\rho\cos\varphi-1)^2\le 1 \\ &\iff \rho^2\sin^2\varphi + (\rho\cos\varphi-1)^2\le 1 \\ &\iff \rho^2\sin^2\varphi + \rho^2\cos^2\varphi -2 \rho\cos\varphi +1 \le 1 \\ &\iff \rho^2\le 2\rho\cos\varphi \\ &\iff \rho\le 2\cos\varphi \end{aligned}

Note that VV is contained in the upper half, z≥0z\ge 0, of R3\mathbb{R}^3 and that the xyxy–plane in tangent to VV. So as (x,y,z)(x,y,z) runs over VV, the spherical coordinate φ\varphi runs from 00 (the positive zz–axis) to π/2{\pi}/{2} (the xyxy–plane). Here is a sketch of the side view of VV.

figure

As dV=ρ2sin⁡φ dρ dφ dθ\mathrm{d}V = \rho^2\sin\varphi\ \mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}\theta and (x2+y2+z2)5/2=ρ5\big(x^2+y^2+z^2\big)^{5/2}=\rho^5, the integral is

∫−11∫−1−x21−x2∫1−1−x2−y21+1−x2−y2(x2+y2+z2)5/2 dz dy dx=∫02πdθ∫0π/2dφ∫02cos⁡φdρ ρ2sin⁡φ ρ5=∫02πdθ∫0π/2dφ 28cos⁡8φ8sin⁡φ=32∫02πdθ [−cos⁡9φ9]0π/2=329(2π)=64π9\begin{aligned} \int_{-1}^1 \int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} \int_{1-\sqrt{1-x^2-y^2}}^{1+\sqrt{1-x^2-y^2}} (x^2+y^2+z^2)^{5/2} \ \mathrm{d}z\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x &=\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_0^{\pi/2}\mathrm{d}\varphi \int_0^{2\cos\varphi}\mathrm{d}\rho\ \rho^2\sin\varphi \ \rho^5 \\ &=\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_0^{\pi/2}\mathrm{d}\varphi \ \frac{2^8\cos^8\varphi}{8}\sin\varphi \\ &=32\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\ \left[-\frac{\cos^9\varphi}{9}\right]_0^{\pi/2} \\ &=\frac{32}{9}(2\pi) =\frac{64\pi}{9} \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 3.7절 · 7번우리말 번역

구면좌표 부등식

1≤ρ≤1+cos⁡φ1 \le \rho \le 1 + \cos \varphi

으로 주어진 33차원 영역 EE 를 생각하세요.

(a) 3차원에서 EE 의 그림을 상당히 정확하게 그리세요. 좌표축에 단위를 반드시 표시하세요. (b) EE 의 부피를 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

(a) 먼저 EE 의 두 경계 ρ=1\rho=1 과 ρ=1+cos⁡φ\rho= 1 + \cos\varphi 는 모두 구면좌표 θ\theta 와 무관하다. 따라서 EE 는 zz축을 중심으로 한 회전에 대해 변하지 않는다. EE 를 그리기 위해

  • 먼저 θ=0\theta=0 인 EE 의 경계 부분(즉 xzxz평면에서 x>0x>0 인 반쪽)을 그린 다음,
  • zz축을 중심으로 회전한다.

θ=0\theta=0 인 EE 의 경계 부분(즉 반평면 y=0y=0, x≥0x\ge 0 위)은 두 곡선으로 이루어진다.

  • ρ=1+cos⁡φ\rho=1+\cos\varphi, θ=0\theta=0:

  • φ=0\varphi=0 (즉 양의 zz축 위)일 때 cos⁡φ=1\cos\varphi =1 이므로 ρ=2\rho=2 이다. 따라서 이 곡선은 (0,0,2)(0,0,2) 에서 시작한다.

  • φ\varphi 가 증가하면 cos⁡φ\cos\varphi 가 감소하므로 ρ\rho 도 감소한다.

  • φ\varphi 가 π2\frac{\pi}{2} (즉 xyxy평면 위)일 때 cos⁡φ=0\cos\varphi =0 이므로 ρ=1\rho=1 이다.

  • π2<φ≤π\frac{\pi}{2}<\varphi\le \pi 일 때 cos⁡φ<0\cos\varphi<0 이므로 ρ<1\rho<1 이다. EE 의 모든 점은 ρ≥1\rho\ge 1 을 만족해야 하므로 경계의 이 부분은 xyxy평면 위의 점 (1,0,0)(1,0,0) 에서 끝난다.

  • 곡선 ρ=1+cos⁡φ\rho=1+\cos\varphi, θ=0\theta=0, 0≤φ≤π20\le\varphi\le\frac{\pi}{2} 은 아래 왼쪽 그림에 그려져 있다. 이것은 (0,0,2)(0,0,2) 에서 (1,0,0)(1,0,0) 까지의 바깥쪽 곡선이다.

  • ρ=1\rho=1, θ=0\theta=0:

  • 곡면 ρ=1\rho=1 은 원점을 중심으로 하는 반지름 11 인 구이다.

  • 위에서 살펴본 대로 조건 1≤ρ≤1+cos⁡φ1\le\rho\le 1+\cos\varphi 에서 0≤φ≤π20\le\varphi\le\frac{\pi}{2}, 즉 z≥0z\ge 0 이어야 한다.

  • 구 ρ=1\rho=1 은 사분평면 y=0y=0, x≥0x\ge 0, z≥0z\ge 0 과 원점을 중심으로 하는 사분원에서 만나며, 이 사분원은 zz축 위의 (0,0,1)(0,0,1) 에서 시작하여 xyxy평면 위의 (1,0,0)(1,0,0) 에서 끝난다.

  • 곡선 ρ=1\rho=1, θ=0\theta=0, 0≤φ≤π20\le\varphi\le\frac{\pi}{2} 은 아래 왼쪽 그림에 그려져 있다. 이것은 (0,0,1)(0,0,1) 에서 (1,0,0)(1,0,0) 까지의 안쪽 곡선이다.

EE 를 얻으려면 아래 왼쪽 그림의 색칠한 영역을 zz축을 중심으로 회전한다. 제1팔분공간에 있는 EE 의 부분은 아래 오른쪽 그림에 그려져 있다. xzxz평면(x≥0x\ge 0)에 있는 EE 의 부분은 연하게 색칠되어 있고, yzyz평면(y≥0y\ge 0)에 있는 EE 의 부분은 조금 더 진하게 색칠되어 있다.

그림

그림

(b) EE 에서

  • φ\varphi 는 00 (즉 양의 zz축)에서 π2\frac{\pi}{2} (즉 xyxy평면)까지 변한다.
  • 그 범위의 각 φ\varphi 에 대해 ρ\rho 는 11 에서 1+cos⁡φ1+\cos\varphi 까지, θ\theta 는 00 에서 2π2\pi 까지 변한다.
  • 구면좌표에서 dV=ρ2 sin⁡φ dρ dθ dφ\mathrm{d}V = \rho^2\,\sin\varphi\,\mathrm{d}\rho\, \mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi 이다.

따라서

부피(E)=∫0π/2dφ∫11+cos⁡φdρ∫02πdθ ρ2sin⁡φ=2π∫0π/2dφ sin⁡φ (1+cos⁡φ)3−133=−2π3∫21(u3−1) du단, u=1+cos⁡φ, du=−sin⁡φ dφ=−2π3[u44−u]21=−2π3[14−1−4+2]=11π6\begin{aligned} \text{부피}(E) &=\int_0^{\pi/2}\mathrm{d}\varphi \int_1^{1+\cos\varphi}\mathrm{d}\rho \int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\ \rho^2\sin\varphi \\ &=2\pi \int_0^{\pi/2}\mathrm{d}\varphi\ \sin\varphi\ \frac{(1+\cos\varphi)^3-1^3}{3} \\ &=-\frac{2\pi}{3} \int_2^1 \big(u^3-1\big)\ \mathrm{d}u \qquad\text{단, }u=1+\cos\varphi,\ \mathrm{d}u=-\sin\varphi\,\mathrm{d}\varphi \\ &= -\frac{2\pi}{3}\left[\frac{u^4}{4}-u\right]_2^1 \\ &=-\frac{2\pi}{3} \left[\frac{1}{4}-1-4+2\right] \\ &=\frac{11 \pi}{6} \end{aligned}

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