원기둥·구면좌표 삼중적분 연습문제 — CLP-3 · 3.7절 · 20번

CLP-3 · 3.7절 · 20번대학 수준우리말 번역

어떤 입체 $V$ 는 직원기둥이다. 밑면은 $xy$ 평면에서 원점을 중심으로 하는 반지름 $2$ 인 원판이다. 높이는 $2$ 이고 밀도는 $\sqrt{x^2 + y^2}$ 이다.

$V$ 의 윗면을 밑면으로 하고 점 $(0, 0, 0)$ 을 꼭짓점으로 하는 거꾸로 놓인 원뿔을 제거하여, 더 작은 입체 $U$ 를 얻는다.

(a) 원기둥좌표를 사용하여 $U$ 의 질량을 나타내는 적분을 세우세요. (b) 구면좌표를 사용하여 $U$ 의 질량을 나타내는 적분을 세우세요. (c) 그 질량을 구하세요.

영어 원문 보기

A certain solid $V$ is a right–circular cylinder. Its base is the disk of radius $2$ centred at the origin in the $xy$ –plane. It has height $2$ and density $\sqrt{x^2 + y^2}$ .

A smaller solid $U$ is obtained by removing the inverted cone, whose base is the top surface of $V$ and whose vertex is the point $(0, 0, 0)$ .

(a) Use cylindrical coordinates to set up an integral giving the mass of $U$ . (b) Use spherical coordinates to set up an integral giving the mass of $U$ . (c) Find that mass.

정답·풀이 보기

$xy$ 평면에서 원점을 중심으로 하는 반지름 $2$ 인 원판은 $x^2+y^2\le 4$ 이다. 따라서

$\begin{aligned} V&=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x^2+y^2\le 4,\ 0\le z\le 2\ \big\} \end{aligned}$

$U$ 의 윗 가장자리 $x+y^2=4$ , $z=2$ 를 포함하면서 꼭짓점이 원점인 원뿔은 $x^2+y^2=z^2$ 이다. 따라서

$\begin{aligned} U&=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x^2+y^2\le 4,\ 0\le z\le 2,\ x^2+y^2\ge z^2\ \big\} \end{aligned}$

다음은 $V$ (왼쪽)와 $U$ (오른쪽)의 $y=0$ 단면을 그린 그림이다.

(a) 원기둥좌표에서 $x^2+y^2\le 4$ 는 $r\le 2$ 가 되고, $x^2+y^2\ge z^2$ 는 $r\ge |z|$ 이며, 밀도는 $\sqrt{x^2+y^2}=r$ 이다. 따라서

$\begin{aligned} U&=\big\{ \ (r\cos\theta,r\sin\theta,z)\ \big|\ r\le 2,\ 0\le z\le 2,\ r\ge z\ \big\} \end{aligned}$

아래 왼쪽 그림을 보면, $U$ 에서

$z$ 는 $0$ 에서 $2$ 까지 변하고,
그 범위의 각 $z$ 에 대해 $r$ 는 $z$ 에서 $2$ 까지, $\theta$ 는 $0$ 에서 $2\pi$ 까지 변한다.
$\mathrm{d}V =r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}z$

따라서

$\begin{aligned} \text{질량}&= \int_0^2\mathrm{d}z\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_z^2\mathrm{d}r\ r\ \overbrace{r}^{\text{밀도}} = \int_0^2\mathrm{d}z\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_z^2\mathrm{d}r\ r^2 \end{aligned}$

(b) 구면좌표에서

$\begin{aligned} x&=\rho\sin\varphi\cos\theta \\ y&=\rho\sin\varphi\sin\theta \\ z&=\rho\cos\varphi \\ x^2+y^2 &=\rho^2\sin^2\varphi \end{aligned}$

이므로 $x^2+y^2\le 4$ 는 $\rho\sin\varphi\le 2$ 가 되고, $x^2+y^2\ge z^2$ 는 다음과 같이 된다.

$\begin{aligned} \rho\sin\varphi \ge \rho\cos\varphi \iff \tan\varphi\ge 1 \iff \varphi\ge\frac{\pi}{4} \end{aligned}$

그리고 밀도는 $\sqrt{x^2+y^2}=\rho\sin\varphi$ 이다. 따라서

$\begin{aligned} U&=\big\{ \ (\rho\sin\varphi\cos\theta,\rho\sin\varphi\sin\theta,\rho\cos\varphi)\ \big|\ {\pi}/{4}\le\varphi\le{\pi}/{2},\ 0\le \theta\le 2\pi,\ \rho\sin\varphi\le 2\ \big\} \end{aligned}$

위의 오른쪽 그림을 보면, $U$ 에서

$\varphi$ 는 $\frac{\pi}{4}$ (원뿔 위)에서 $\frac{\pi}{2}$ ( $xy$ 평면 위)까지 변하고,
그 범위의 각 $\varphi$ 에 대해 $\rho$ 는 $0$ 에서 $\frac{2}{\sin\varphi}$ 까지, $\theta$ 는 $0$ 에서 $2\pi$ 까지 변한다.
$\mathrm{d}V =\rho^2\sin\varphi\,\mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi$

따라서

$\begin{aligned} \text{질량}&= \int_{\pi/4}^{\pi/2}\mathrm{d}\varphi\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta \int_0^{2/\sin\varphi}\mathrm{d}\rho\ \rho^2\sin\varphi\ \overbrace{\rho\sin\varphi}^{\text{밀도}} \\ &= \int_{\pi/4}^{\pi/2}\mathrm{d}\varphi\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta \int_0^{2/\sin\varphi}\mathrm{d}\rho\ \rho^3\sin^2\varphi \end{aligned}$

$\begin{aligned} \text{질량} &= \int_0^2\mathrm{d}z\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_z^2\mathrm{d}r\ r^2 \\ &=2\pi \int_0^2\mathrm{d}z\ \frac{8-z^3}{3} \\ &=\frac{2\pi}{3}\ \left[16-\frac{2^4}{4}\right] \\ &=8\pi \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

The disk of radius $2$ centred at the origin in the $xy$ –plane is $x^2+y^2\le 4$ . So

$\begin{aligned} V&=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x^2+y^2\le 4,\ 0\le z\le 2\ \big\} \end{aligned}$

The cone with vertex at the origin that contains the top edge, $x+y^2=4$ , $z=2$ , of $U$ is $x^2+y^2=z^2$ . So

$\begin{aligned} U&=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x^2+y^2\le 4,\ 0\le z\le 2,\ x^2+y^2\ge z^2\ \big\} \end{aligned}$

Here are sketches of the $y=0$ cross–section of $V$ , on the left, and $U$ , on the right.

(a) In cylindrical coordinates, $x^2+y^2\le 4$ becomes $r\le 2$ and $x^2+y^2\ge z^2$ is $r\ge |z|$ , and the density is $\sqrt{x^2+y^2}=r$ . So

$\begin{aligned} U&=\big\{ \ (r\cos\theta,r\sin\theta,z)\ \big|\ r\le 2,\ 0\le z\le 2,\ r\ge z\ \big\} \end{aligned}$

Looking at the figure on the left below, we see that, on $U$

$z$ runs from $0$ to $2$ , and
for each $z$ is that range, $r$ runs from $z$ to $2$ and $\theta$ runs from $0$ to $2\pi$ .
$\mathrm{d}V =r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}z$

$\begin{aligned} \text{Mass}&= \int_0^2\mathrm{d}z\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_z^2\mathrm{d}r\ r\ \overbrace{r}^{\text{density}} = \int_0^2\mathrm{d}z\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_z^2\mathrm{d}r\ r^2 \end{aligned}$

(b) Recall that in spherical coordinates,

$\begin{aligned} x&=\rho\sin\varphi\cos\theta \\ y&=\rho\sin\varphi\sin\theta \\ z&=\rho\cos\varphi \\ x^2+y^2 &=\rho^2\sin^2\varphi \end{aligned}$

so that $x^2+y^2\le 4$ becomes $\rho\sin\varphi\le 2$ , and $x^2+y^2\ge z^2$ becomes

$\begin{aligned} \rho\sin\varphi \ge \rho\cos\varphi \iff \tan\varphi\ge 1 \iff \varphi\ge\frac{\pi}{4} \end{aligned}$

and the density $\sqrt{x^2+y^2}=\rho\sin\varphi$ . So

Looking at the figure on the right above, we see that, on $U$

$\varphi$ runs from $\frac{\pi}{4}$ (on the cone) to $\frac{\pi}{2}$ (on the $xy$ –plane), and
for each $\varphi$ is that range, $\rho$ runs from $0$ to $\frac{2}{\sin\varphi}$ and $\theta$ runs from $0$ to $2\pi$ .
$\mathrm{d}V =\rho^2\sin\varphi\,\mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi$

$\begin{aligned} \text{Mass}&= \int_{\pi/4}^{\pi/2}\mathrm{d}\varphi\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta \int_0^{2/\sin\varphi}\mathrm{d}\rho\ \rho^2\sin\varphi\ \overbrace{\rho\sin\varphi}^{\text{density}} \\ &= \int_{\pi/4}^{\pi/2}\mathrm{d}\varphi\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta \int_0^{2/\sin\varphi}\mathrm{d}\rho\ \rho^3\sin^2\varphi \end{aligned}$

$\begin{aligned} \text{Mass} &= \int_0^2\mathrm{d}z\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_z^2\mathrm{d}r\ r^2 \\ &=2\pi \int_0^2\mathrm{d}z\ \frac{8-z^3}{3} \\ &=\frac{2\pi}{3}\ \left[16-\frac{2^4}{4}\right] \\ &=8\pi \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 3.7절 · 21번우리말 번역

어떤 입체가 아래로는 원뿔 $z\!=\!\sqrt{x^2\!+\!y^2}\$ 으로, 위로는 구 $x^2+y^2+z^2 = 2$ 로 유계이다. 이 입체의 밀도는 $\delta (x,y,z) = x^2 + y^2$ 이다.

(a) 이 입체의 질량 $M$ 을 원기둥좌표계에서 적분 구간과 함께 삼중적분으로 나타내세요. (b) (a)와 같이 하되 구면좌표계에서 나타내세요. (c) $M$ 의 값을 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

(a) 이 입체를 $V$ 라 하자. 원기둥좌표계에서

$x^2+y^2+z^2\le 2$ 는 $r^2+z^2\le 2$ 이고
$\sqrt{x^2+y^2}\le z$ 는 $r\le z$ 이고
밀도는 $\delta =r^2$ 이고
$\mathrm{d}V$ 는 $r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}z$ 이다.

$r^2+z^2= 2$ 와 $r= z$ 는 $2r^2=2$ 일 때 만나므로 $r=z=1$ 임을 알 수 있다. 다음은 $E$ 의 $y=0$ 단면의 그림이다.

따라서

$V =\big\{ \ (r\cos\theta\,,\,r\sin\theta\,,\,z)\ \big|\ 0\le r\le 1,\ 0\le\theta\le2\pi,\ r\le z\le \sqrt{2-r^2}\ \big\}$

이고

$\begin{aligned} M &=\iiint _V \rho(x,y,z)\ \mathrm{d}V =\int_0^1\mathrm{d}r\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta \int_r^{\sqrt{2-r^2}}\mathrm{d}z\ r\overbrace{(r^2)}^{\delta } =\int_0^1\mathrm{d}r\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta \int_r^{\sqrt{2-r^2}}\mathrm{d}z\ r^3 \end{aligned}$

이다.

(b)

구면좌표계에서

$x^2+y^2+z^2\le 2$ 는 $\rho\le\sqrt{2}$ 이고,
$\sqrt{x^2+y^2}\le z$ 는 $\rho\sin\varphi\le \rho\cos\varphi$ , 즉 $\tan\varphi\le 1$ 또는 $\varphi\le\frac{\pi}{4}$ 이고,
밀도는 $x^2+y^2=\rho^2\sin^2\varphi$ 이고,
$\mathrm{d}V$ 는 $\rho^2\sin\varphi\,\mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi$ 이다.

따라서

$V =\big\{ \ (\rho\sin\varphi\cos\theta\,,\,\rho\sin\varphi\sin\theta\,,\, \rho\cos\varphi)\ \big|\ 0\le\rho\le \sqrt{2},\ 0\le\theta\le2\pi,\ 0\le \varphi\le {\pi}/{4}\ \big\}$

이고, 피적분함수가 $x^2+y^2=\rho^2\sin^2\varphi$ 이므로

$\begin{aligned} M &=\iiint _V \big(x^2+y^2\big)\ \mathrm{d}V =\int_0^{\sqrt{2}}\mathrm{d}\rho\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta \int_0^{\pi/4}\mathrm{d}\varphi\ \rho^2\sin\varphi\ \rho^2\sin^2\varphi \\ &=\int_0^{\sqrt{2}}\mathrm{d}\rho\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta \int_0^{\pi/4}\mathrm{d}\varphi\ \rho^4\sin^3\varphi \end{aligned}$

이다.

$\begin{aligned} M &=\int_0^{\sqrt{2}}\mathrm{d}\rho\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta \int_0^{\pi/4}\mathrm{d}\varphi\ \rho^4\sin^3\varphi \\ &=\int_0^{\sqrt{2}}\mathrm{d}\rho\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta \int_0^{\pi/4}\mathrm{d}\varphi\ \rho^4\sin\varphi \big[1-\cos^2\varphi\big] \\ &=2\pi \int_0^{\sqrt{2}}\mathrm{d}\rho\ \rho^4 \left[-\cos\varphi +\frac{\cos^3\varphi}{3}\right]_0^{\pi/4} =2\pi \left[\frac{2}{3} - \frac{5}{6\sqrt{2}}\right] \int_0^{\sqrt{2}}\mathrm{d}\rho\ \rho^4 \\ &=2\pi \frac{4\sqrt{2}}{5}\left[\frac{2}{3} - \frac{5}{6\sqrt{2}}\right] =\pi \left[\frac{16\sqrt{2}}{15} - \frac{4}{3}\right] \approx 0.5503 \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

# 원기둥·구면좌표 삼중적분계산도전자동 분류