벡터함수의 미분과 적분

(a) $$\begin{aligned} \mathbf{r}'(t) & = -\sin t\cos^2 t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + \sin^2 t\cos t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + 3\sin^2 t\cos t\,\hat{\mathbf{k}} = \sin t\cos t\big(-\cos t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +\sin t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +3\sin t\,\hat{\mathbf{k}}\big) \\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t) & = |\sin t\cos t|\sqrt{\cos^2 t + \sin ^2 t + 9\sin^2 t} = |\sin t\cos t|\sqrt{1+ 9\sin^2 t} \end{aligned}$$

이므로 $t = 0$ 에서 $t = \frac{\pi}{2}$ 까지 곡선의 길이는

$$\begin{aligned} \int_0^{\pi/2} \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t)\,\mathrm{d}t &=\int_0^{\pi/2} \sin t\cos t \sqrt{1+ 9\sin^2 t}\,\mathrm{d}t \\ &=\frac{1}{18}\int_1^{10} \sqrt{u}\ \mathrm{d}u \qquad \text{여기서 } u = 1+ 9\sin^2 t,\ \mathrm{d}u = 18\sin t\cos t\,\mathrm{d}t\\ &=\frac{1}{18}\Big[\frac{2}{3}u^{3/2}\Big]_1^{10}\\ &=\frac{1}{27}\big(10\sqrt{10}-1\big) \end{aligned}$$

이다.

(b) $t = 0$ 에서 $t = \pi$ 까지 곡선의 길이는

$$\begin{aligned} \int_0^{\pi} \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t)\,\mathrm{d}t &=\int_0^{\pi} |\sin t\cos t| \sqrt{1+ 9\sin^2 t}\,\mathrm{d}t \qquad\text{절댓값 기호를 잊지 말 것!}\\ &=2\int_0^{\pi/2} |\sin t\cos t| \sqrt{1+ 9\sin^2 t}\,\mathrm{d}t = 2\int_0^{\pi/2} \sin t\cos t \sqrt{1+ 9\sin^2 t}\,\mathrm{d}t \end{aligned}$$

이다. 피적분함수가 $t\rightarrow\pi-t$ 에 대해 변하지 않기 때문이다. 따라서 $t = 0$ 에서 $t = \pi$ 까지 곡선의 길이는 (a)에서 구한 곡선의 길이의 두 배, 즉 $\frac{2}{27}\big(10\sqrt{10}-1\big)$ 이다.