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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 벡터와 공간

벡터함수의 미분과 적분

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-4 · 1.1절 · 31번대학 수준우리말 번역

중력의 영향을 받아 떨어지면서 속력에 비례하는 공기 저항으로 느려지는 발사체의 위치는 다음을 만족한다.

d2rdt2=−gk^−αdrdt\frac{\mathrm{d^2}\mathbf{r}}{\mathrm{d}{t}^2}=-g\hat{\mathbf{k}}-\alpha\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}

여기서 α\alpha 는 양의 상수이다. 시각 t=0t=0 에서 r=r0\mathbf{r}=\mathbf{r}_0 이고 drdt=v0\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}=\mathbf{v}_0 일 때, r(t)\mathbf{r}(t) 를 구하세요.

영어 원문 보기

A projectile falling under the influence of gravity and slowed by air resistance proportional to its speed has position satisfying

d2rdt2=−gk^−αdrdt\frac{\mathrm{d^2}\mathbf{r}}{\mathrm{d}{t}^2}=-g\hat{\mathbf{k}}-\alpha\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}

where α\alpha is a positive constant. If r=r0\mathbf{r}=\mathbf{r}_0 and drdt=v0\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}=\mathbf{v}_0 at time t=0t=0, find r(t)\mathbf{r}(t).

정답·풀이 보기

u(t)=eαtdrdt(t)\mathbf{u}(t)=e^{\alpha t}\frac{d\mathbf{r}}{dt}(t) 로 정의하자. 그러면

dudt(t)=αeαtdrdt(t)+eαtd2rdt2(t)=αeαtdrdt(t)−geαtk^−αeαtdrdt(t)=−geαtk^\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}\mathbf{u}}{\mathrm{d}t}(t)&=\alpha e^{\alpha t}\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}(t) +e^{\alpha t}\frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2}(t)\\ &=\alpha e^{\alpha t}\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}(t) -ge^{\alpha t}\hat{\mathbf{k}} -\alpha e^{\alpha t}\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}(t)\\ &=-ge^{\alpha t}\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}

이 등식의 양변을 t=0t=0 에서 t=Tt=T 까지 적분하면

u(T)−u(0)=−geαT−1αk^\mathbf{u}(T)-\mathbf{u}(0)=-g\frac{e^{\alpha T}-1}{\alpha}\hat{\mathbf{k}}

이므로

u(T)=u(0)−geαT−1αk^=drdt(0)−geαT−1αk^=v0−geαT−1αk^\mathbf{u}(T)=\mathbf{u}(0)-g\frac{e^{\alpha T}-1}{\alpha}\hat{\mathbf{k}} =\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}(0)-g\frac{e^{\alpha T}-1}{\alpha}\hat{\mathbf{k}} =\mathbf{v}_0-g\frac{e^{\alpha T}-1}{\alpha}\hat{\mathbf{k}}

이다. u(T)=eαtdrdt(T)\mathbf{u}(T)=e^{\alpha t}\frac{d\mathbf{r}}{dt}(T) 를 대입하고 양변에 e−αTe^{-\alpha T} 를 곱하면

drdt(T)=e−αTv0−g1−e−αTαk^\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}(T) =e^{-\alpha T}\mathbf{v}_0-g\frac{1-e^{-\alpha T}}{\alpha}\hat{\mathbf{k}}

이다. 이 등식의 양변을 T=0T=0 에서 T=tT=t 까지 적분하면

r(t)−r(0)=e−αt−1−αv0−gtαk^+ge−αt−1−α2k^\begin{aligned} \mathbf{r}(t)-\mathbf{r}(0) =\frac{e^{-\alpha t}-1}{-\alpha}\mathbf{v}_0-g\frac{ t}{\alpha}\hat{\mathbf{k}} +g\frac{e^{-\alpha t}-1}{-\alpha^2}\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}

이므로

r(t)=r0−e−αt−1αv0+g1−αt−e−αtα2k^\begin{aligned} \mathbf{r}(t)=\mathbf{r}_0-\frac{e^{-\alpha t}-1}{\alpha}\mathbf{v}_0 +g\frac{1-\alpha t-e^{-\alpha t}}{\alpha^2}\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}

이다.

원본 교재 풀이(영어)

Define u(t)=eαtdrdt(t)\mathbf{u}(t)=e^{\alpha t}\frac{d\mathbf{r}}{dt}(t). Then

dudt(t)=αeαtdrdt(t)+eαtd2rdt2(t)=αeαtdrdt(t)−geαtk^−αeαtdrdt(t)=−geαtk^\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}\mathbf{u}}{\mathrm{d}t}(t)&=\alpha e^{\alpha t}\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}(t) +e^{\alpha t}\frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2}(t)\\ &=\alpha e^{\alpha t}\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}(t) -ge^{\alpha t}\hat{\mathbf{k}} -\alpha e^{\alpha t}\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}(t)\\ &=-ge^{\alpha t}\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}

Integrating both sides of this equation from t=0t=0 to t=Tt=T gives

u(T)−u(0)=−geαT−1αk^\mathbf{u}(T)-\mathbf{u}(0)=-g\frac{e^{\alpha T}-1}{\alpha}\hat{\mathbf{k}}

so that

u(T)=u(0)−geαT−1αk^=drdt(0)−geαT−1αk^=v0−geαT−1αk^\mathbf{u}(T)=\mathbf{u}(0)-g\frac{e^{\alpha T}-1}{\alpha}\hat{\mathbf{k}} =\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}(0)-g\frac{e^{\alpha T}-1}{\alpha}\hat{\mathbf{k}} =\mathbf{v}_0-g\frac{e^{\alpha T}-1}{\alpha}\hat{\mathbf{k}}

Substituting in u(T)=eαtdrdt(T)\mathbf{u}(T)=e^{\alpha t}\frac{d\mathbf{r}}{dt}(T) and multiplying through by e−αTe^{-\alpha T} gives

drdt(T)=e−αTv0−g1−e−αTαk^\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}(T) =e^{-\alpha T}\mathbf{v}_0-g\frac{1-e^{-\alpha T}}{\alpha}\hat{\mathbf{k}}

Integrating both sides of this equation from T=0T=0 to T=tT=t gives

r(t)−r(0)=e−αt−1−αv0−gtαk^+ge−αt−1−α2k^\begin{aligned} \mathbf{r}(t)-\mathbf{r}(0) =\frac{e^{-\alpha t}-1}{-\alpha}\mathbf{v}_0-g\frac{ t}{\alpha}\hat{\mathbf{k}} +g\frac{e^{-\alpha t}-1}{-\alpha^2}\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}

so that

r(t)=r0−e−αt−1αv0+g1−αt−e−αtα2k^\begin{aligned} \mathbf{r}(t)=\mathbf{r}_0-\frac{e^{-\alpha t}-1}{\alpha}\mathbf{v}_0 +g\frac{1-\alpha t-e^{-\alpha t}}{\alpha^2}\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-4 · 1.1절 · 25번우리말 번역

한 입자가 곡면 z2=12yz^2=12y 와 18x=yz18x=yz 의 교선인 곡선 C\mathcal{C} 를 따라 위쪽 방향으로 움직인다. 입자가 (1,3,6)(1,3,6) 에 있을 때 속도 v\mathbf{v} 와 가속도 a\mathbf{a} 는 다음과 같다. v=6 ı^+12 ȷ^+12 k^a=27 ı^+30 ȷ^+6 k^\mathbf{v} =6\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+12\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+12\,\hat{\mathbf{k}}\qquad \mathbf{a} = 27\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+30\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+6\,\hat{\mathbf{k}}

(a) u=z6u=\frac{z}{6} 를 매개변수로 사용하여 C\mathcal{C} 의 벡터 매개변수 방정식을 쓰세요. (b) (0,0,0)(0,0,0) 에서 (1,3,6)(1,3,6) 까지 C\mathcal{C} 의 길이를 구하세요. (c) u=u(t)u=u(t) 가 시각 tt 에서 입자의 위치에 해당하는 매개변수 값일 때, 입자가 (1,3,6)(1,3,6) 에 있을 때의 dudt\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t} 를 구하세요. (d) 입자가 (1,3,6)(1,3,6) 에 있을 때의 d2udt2\frac{\mathrm{d^2}u}{\mathrm{d}{t}^2} 를 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

(a) z=6uz=6u 이므로 y=z212=3u2y=\frac{z^2}{12}=3u^2 이고 x=yz18=u3x=\frac{yz}{18}=u^3 이다.

r(u)=u3 ı^+3u2 ȷ^+6u k^\begin{aligned} \mathbf{r}(u)&=u^3\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+3u^2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+6u\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}

(b)

r′(u)=3u2 ı^+6u ȷ^+6 k^r′′(u)=6u ı^+6 ȷ^dsdu(u)=∣r′(u)∣=9u4+36u2+36=3(u2+2)\begin{aligned} \mathbf{r}'(u)&=3u^2\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+6u\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+6\,\hat{\mathbf{k}}\\ \mathbf{r}''(u)&=6u\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+6\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}\\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}u}(u)=|\mathbf{r}'(u)| &=\sqrt{9u^4+36u^2+36}=3\big(u^2+2\big)\\ \end{aligned}

∫C ds=∫01dsdu du=∫013(u2+2) du=[u3+6u]01=7\int_\mathcal{C} \ ds =\int_0^1 \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}u}\ \mathrm{d}u =\int_0^1 3\big(u^2+2\big)\ \mathrm{d}u =\big[u^3+6u\big]_0^1 =7

(c) 시각 tt 에서 입자의 위치를 R(t)\mathbf{R}(t) 라 하자. 그러면 R(t)=r(u(t))  ⟹  R′(t)=r′(u(t))dudt\mathbf{R}(t)=\mathbf{r}\big(u(t)\big)\implies \mathbf{R}'(t)=\mathbf{r}'\big(u(t)\big)\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t} 특히, 입자가 시각 t1t_1 에 (1,3,6)(1,3,6) 에 있다면 u(t1)=1u(t_1)=1 이고 6 ı^+12 ȷ^+12 k^=R′(t1)=r′(1)dudt(t1)=(3 ı^+6 ȷ^+6 k^)dudt(t1)6\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+12\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+12\,\hat{\mathbf{k}}=\mathbf{R}'(t_1)=\mathbf{r}'(1)\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}(t_1) =\big(3\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+6\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+6\,\hat{\mathbf{k}}\big)\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}(t_1) 이므로 dudt(t1)=2\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}(t_1)=2 이다.

(d) 곱의 미분법과 연쇄 법칙에 의해 R′(t)=r′(u(t))dudt  ⟹  R′′(t)=r′′(u(t))(dudt)2+r′(u(t))d2udt2\mathbf{R}'(t)=\mathbf{r}'\big(u(t)\big)\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}\implies \mathbf{R}''(t)=\mathbf{r}''\big(u(t)\big)\Big(\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}\Big)^2 +\mathbf{r}'\big(u(t)\big)\frac{\mathrm{d^2}u}{\mathrm{d}{t}^2} 특히,

27 ı^+30 ȷ^+6 k^=R′′(t1)=r′′(1)(dudt(t1))2+r′(1)d2udt2(t1)=(6 ı^+6 ȷ^)22+(3 ı^+6 ȷ^+6 k^)d2udt2(t1)\begin{aligned} 27\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+30\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+6\,\hat{\mathbf{k}} &=\mathbf{R}''(t_1)=\mathbf{r}''(1)\Big(\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}(t_1)\Big)^2 +\mathbf{r}'\big(1\big)\frac{\mathrm{d^2}u}{\mathrm{d}{t}^2}(t_1) \\ &=\big(6\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+6\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}\big)2^2+\big(3\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+6\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+6\,\hat{\mathbf{k}}\big)\frac{\mathrm{d^2}u}{\mathrm{d}{t}^2}(t_1) \end{aligned}

간단히 하면 3 ı^+6 ȷ^+6 k^=(3 ı^+6 ȷ^+6 k^)d2udt2(t1)  ⟹  d2udt2(t1)=13\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+6\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+6\,\hat{\mathbf{k}} =\big(3\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+6\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+6\,\hat{\mathbf{k}}\big)\frac{\mathrm{d^2}u}{\mathrm{d}{t}^2}(t_1) \implies \frac{\mathrm{d^2}u}{\mathrm{d}{t}^2}(t_1)=1

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CLP-4 Vector Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)

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