단위접선·법선벡터 연습문제 — CLP-4 · 1.4절 · 2번

CLP-4 · 1.4절 · 2번대학 수준우리말 번역

공식 $\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t)=|\mathbf{v}(t)|=|\mathbf{r}'(t)|$ 에서 $s$ 는 속력을 뜻하나요, 아니면 호의 길이를 뜻하나요?

영어 원문 보기

In the formula $\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t)=|\mathbf{v}(t)|=|\mathbf{r}'(t)|$ does $s$ stand for speed, or for arclength?

정답·풀이 보기

이 식에서 $s$ 는 호의 길이를 뜻한다.

$t$ 에서 $t+h$ 까지의 아주 작은 구간을 잡으면, 곡선이 직선으로 근사되므로 호의 길이의 변화량 $s(t+h)-s(t)$ 는 근사적으로 $|\mathbf{r}(t+h)-\mathbf{r}(t)|$ 이다. 따라서 $\frac{s(t+h)-s(t)}{h} \approx \frac{|\mathbf{r}(t+h)-\mathbf{r}(t)|}{h}$ 이고, 이로부터 $\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=|\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}|=|\mathbf{v}(t)|$ 를 얻는다.

속도의 크기는 속력이며, 이 교재에서는 보통 이것을 $v$ 로 나타낸다. 즉 $v=|\mathbf{v}(t)|$ 이다. 이 때문에 $s$ 는 호의 길이를, $v$ 는 속력을 뜻한다는, 혼동하기 쉽지만 표준적인 관례가 생긴다.

원본 교재 풀이(영어)

In this equation, $s$ stands for arclength.

When we take a very small interval from $t$ to $t+h$ , the change in arclength $s(t+h)-s(t)$ is approximately $|\mathbf{r}(t+h)-\mathbf{r}(t)|$ , because our curve is approximated by a straight line. So, $\frac{s(t+h)-s(t)}{h} \approx \frac{|\mathbf{r}(t+h)-\mathbf{r}(t)|}{h}$ , leading to $\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=|\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}|=|\mathbf{v}(t)|$ .

The magnitude of velocity is speed; in this text we generally call this $v$ . That is, $v=|\mathbf{v}(t)|$ . This leads to the potentially confusing (but standard) convention that $s$ stands for arclength, while $v$ stands for speed.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-4 · 1.4절 · 31번우리말 번역

두 언덕 사이의 경주 트랙이 매개변수 곡선

$\mathbf{r}(\theta) = \Big(4 \cos\theta\,,\, 2\sin\theta\,,\, \tfrac{1}{4}\cos(2\theta)\Big),\qquad 0 \le \theta \le 2\pi$

로 나타내어진다.

(a) 점 $\big(-4, 0, \frac{1}{4}\big)$ 에서 트랙의 곡률을 구하세요. (b) 점 $\big(-4, 0, \frac{1}{4}\big)$ 에서 굽은 부분을 가장 잘 근사하는 원의 반지름(즉, 그 점에서의 접촉원의 반지름)을 구하세요. (c) 자동차가 트랙을 따라 달리며, 시각 $t$ 에서의 위치가 $\mathbf{r}(t^2)$ 으로 주어진다. ( $t$ 와 $\theta$ 의 관계는 $\theta = t^2$ 임에 유의하세요.) 다음 양을 구하세요.

(i) 점 $\big(-4, 0, \frac{1}{4}\big)$ 에서의 속력 (ii) 점 $\big(-4, 0, \frac{1}{4}\big)$ 에서의 가속도 (iii) 점 $\big(-4, 0, \frac{1}{4}\big)$ 에서 가속도의 법선 성분의 크기

다 풀었으면 정답 확인

(a) 주어진 곡선에서 $\mathbf{r}(\pi) = \big(-4,0,\frac{1}{4}\big)$ 이고

$\begin{aligned} \mathbf{r}(\theta) &= \Big(4 \cos\theta\,,\, 2\sin\theta\,,\, \frac{1}{4}\cos(2\theta)\Big) \\ \mathbf{v}(\theta)=\mathbf{r}'(\theta) &= \Big(-4 \sin\theta\,,\, 2\cos\theta\,,\, -\frac{1}{2}\sin(2\theta)\Big) \\ \mathbf{a}(\theta) = \mathbf{r}''(\theta) &= \Big(-4 \cos\theta\,,\, -2\sin\theta\,,\, -\cos(2\theta)\Big) \\ \mathbf{v}(\pi) &= \big(0\,,\, -2\,,\, 0\big) \\ \mathbf{a}(\pi) &= \big(4\,,\, 0\,,\, -1\big) \\ \mathbf{v}(\pi) \times \mathbf{a}(\pi) &= \big(2\,,\, 0\,,\, 8\big) \end{aligned}$

따라서 $\theta=\pi$ 에서의 곡률은

$\begin{aligned} \kappa (\pi)&=\frac{|\mathbf{v}(\pi) \times \mathbf{a}(\pi)|}{|\mathbf{v}(\pi)|^3} =\frac{|(2,0,8)|}{|(0,-2,0)|^3} =\frac{\sqrt{17}}{4} \end{aligned}$

이다.

(b) 반지름은

$\frac{1}{\kappa (\pi)} = \frac{4}{\sqrt{17}}$

이다.

$\begin{aligned} \mathbf{R}'(t)&=2t\,\mathbf{r}'(t^2) \\ \mathbf{R}''(t) &= 2\,\mathbf{r}'(t^2) +4t^2\,\mathbf{r}''(t^2) \end{aligned}$

이다. 특히,

$\begin{aligned} \mathbf{R}(\sqrt{\pi}) &= \Big(-4\,,\, 0\,,\, \frac{1}{4}\Big) \\ \mathbf{R}'(\sqrt{\pi}) &= 2\sqrt{\pi}\,\mathbf{v}(\pi) =\big(0\,,\, -4\sqrt{\pi}\,,\, 0\big) \\ \text{속력} = \big|\mathbf{R}'(\sqrt{\pi})\big| &=4\sqrt{\pi} \\ \text{가속도}=\mathbf{R}''(\sqrt{\pi}) &= 2\,\mathbf{v}(\pi)+4\pi\,\mathbf{a}(\pi) = \big( 16\pi\,,\, -4\,,\, -4\pi\big) \end{aligned}$

이다.

가속도의 법선 성분의 크기는

$\begin{aligned} \kappa \Big(\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\Big)^2 = \frac{\sqrt{17}}{4}\big(4\sqrt{\pi}\big)^2 =4\sqrt{17}\,\pi \end{aligned}$

이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 단위접선·법선벡터활용기본자동 분류