단위접선·법선벡터 연습문제 — CLP-4 · 1.4절 · 4번

CLP-4 · 1.4절 · 4번대학 수준우리말 번역

호의 길이 $s$ 로 매개화된 곡선을 생각하세요.

(a) 모든 $s$ 에 대해 곡선의 곡률이 $\kappa (s)=0$ 이면 이 곡선은 직선임을 보이세요. (b) 모든 $s$ 에 대해 곡선의 곡률이 $\kappa (s)>0$ 이고 열률이 $\tau(s)=0$ 이면 이 곡선은 한 평면 위에 놓여 있음을 보이세요. (c) 모든 $s$ 에 대해 곡선의 곡률이 양의 상수 $\kappa (s)=\kappa _0$ 이고 열률이 $\tau(s)=0$ 이면 이 곡선은 원임을 보이세요.

영어 원문 보기

Consider a curve that is parametrized by arc length $s$ .

(a) Show that if the curve has curvature $\kappa (s)=0$ for all $s$ , then the curve is a straight line. (b) Show that if the curve has curvature $\kappa (s)>0$ and torsion $\tau(s)=0$ for all $s$ , then the curve lies in a plane. (c) Show that if the curve has curvature $\kappa (s)=\kappa _0$ , a strictly positive constant, and torsion $\tau(s)=0$ for all $s$ , then the curve is a circle.

정답·풀이 보기

(a) $\kappa (s)\equiv 0$ 이면 $\frac{\mathrm{d}\hat{\mathbf{T}}}{\mathrm{d}s}=\kappa (s)\hat{\mathbf{N}}(s)\equiv 0$ 이므로 $\hat{\mathbf{T}}$ 는 상수이다. 따라서 $\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}s}(s)=\hat{\mathbf{T}}$ 이고 $\mathbf{r}(s) =s\hat{\mathbf{T}}+\mathbf{r}(0)$ 이므로, 이 곡선은 방향 벡터가 $\hat{\mathbf{T}}$ 이고 $\mathbf{r}(0)$ 을 지나는 직선이다.

(b) $\tau(s)\equiv 0$ 이면 $\frac{\mathrm{d}\hat{\mathbf{B}}}{\mathrm{d}s}=-\tau(s)\hat{\mathbf{N}}(s)\equiv 0$ 이므로 $\hat{\mathbf{B}}$ 는 상수이다. $\hat{\mathbf{T}}(s)\perp\hat{\mathbf{B}}$ 이므로

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s} (\mathbf{r}(s)-\mathbf{r}(0))\cdot\hat{\mathbf{B}} =\hat{\mathbf{T}}(s)\cdot\hat{\mathbf{B}}=0$

이고, $(\mathbf{r}(s)-\mathbf{r}(0))\cdot\hat{\mathbf{B}}$ 는 상수이어야 한다. 이 상수는 0이어야 하므로( $s=0$ 을 대입), $(\mathbf{r}(s)-\mathbf{r}(0))\cdot\hat{\mathbf{B}}=0$ 이고 $\mathbf{r}(s)$ 는 항상 $\mathbf{r}(0)$ 을 지나고 법선 벡터가 $\hat{\mathbf{B}}$ 인 평면 위에 놓인다.

$\mathbf{r}_c(s)=\mathbf{r}(s)+\frac{1}{\kappa (s)}\hat{\mathbf{N}}(s)$

$\kappa (s)=\kappa _0$ 는 상수이고 $\tau(s)\equiv 0$ 이므로

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}\mathbf{r}_c(s) =\hat{\mathbf{T}}(s)+\frac{1}{\kappa _0}\big[\tau(s)\hat{\mathbf{B}}-\kappa (s)\hat{\mathbf{T}}\big] =\hat{\mathbf{T}}(s)+\frac{1}{\kappa _0}\big[0\hat{\mathbf{B}}-\kappa _0\hat{\mathbf{T}}\big] =0$

이다. 따라서 $\mathbf{r}_c(s)=\mathbf{r}_c$ 는 상수이고, $\big|\mathbf{r}(s)-\mathbf{r}_c\big|=\frac{1}{\kappa _0}$ 이므로 곡선은 중심이 $\mathbf{r}_c$ 이고 반지름이 $\frac{1}{\kappa _0}$ 인 구 위에 놓인다. $\tau(s)\equiv 0$ 이므로 곡선은 한 평면 위에도 놓이고, 따라서 이 곡선은 원이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) If $\kappa (s)\equiv 0$ , then $\frac{\mathrm{d}\hat{\mathbf{T}}}{\mathrm{d}s}=\kappa (s)\hat{\mathbf{N}}(s)\equiv 0$ so that $\hat{\mathbf{T}}$ is a constant. As a result $\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}s}(s)=\hat{\mathbf{T}}$ and $\mathbf{r}(s) =s\hat{\mathbf{T}}+\mathbf{r}(0)$ so that the curve is the straight line with direction vector $\hat{\mathbf{T}}$ that passes through $\mathbf{r}(0)$ .

(b) If $\tau(s)\equiv 0$ , then $\frac{\mathrm{d}\hat{\mathbf{B}}}{\mathrm{d}s}=-\tau(s)\hat{\mathbf{N}}(s)\equiv 0$ so that $\hat{\mathbf{B}}$ is a constant. As $\hat{\mathbf{T}}(s)\perp\hat{\mathbf{B}}$ ,

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s} (\mathbf{r}(s)-\mathbf{r}(0))\cdot\hat{\mathbf{B}} =\hat{\mathbf{T}}(s)\cdot\hat{\mathbf{B}}=0$

and $(\mathbf{r}(s)-\mathbf{r}(0))\cdot\hat{\mathbf{B}}$ must be a constant. The constant must be zero (set $s=0$ ), so $(\mathbf{r}(s)-\mathbf{r}(0))\cdot\hat{\mathbf{B}}=0$ and $\mathbf{r}(s)$ always lies in the plane through $\mathbf{r}(0)$ with normal vector $\hat{\mathbf{B}}$ .

$\mathbf{r}_c(s)=\mathbf{r}(s)+\frac{1}{\kappa (s)}\hat{\mathbf{N}}(s)$

Since $\kappa (s)=\kappa _0$ is a constant and $\tau(s)\equiv 0$ ,

Thus $\mathbf{r}_c(s)=\mathbf{r}_c$ is a constant and $\big|\mathbf{r}(s)-\mathbf{r}_c\big|=\frac{1}{\kappa _0}$ lies on the sphere of radius $\frac{1}{\kappa _0}$ centred on $\mathbf{r}_c$ . Since $\tau(s)\equiv 0$ , the curve also lies on a plane, so it is a circle.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-4 · 1.4절 · 6번우리말 번역

$C$ 를 다음과 같은 공간곡선이라 하세요.

$\begin{aligned} \mathbf{r}(t) = \big(e^t - e^{-t}\big)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + \big(e^t + e^{-t}\big)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +2t\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}$

(a) $\mathbf{r}'$ , $\mathbf{r}''$ 와 $C$ 의 곡률을 구하세요. (b) $\mathbf{r}(0)$ 과 $\mathbf{r}(1)$ 사이의 곡선의 길이를 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

(a) 다음과 같으므로

$\begin{aligned} \mathbf{r}'(t)&=\big(e^t + e^{-t}\big)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + \big(e^t - e^{-t}\big)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +2\,\hat{\mathbf{k}} & \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t) &=|\mathbf{r}'(t)|= \sqrt{4+2e^{2t}+2e^{-2t}} =\sqrt{2}\big(e^t+e^{-t}\big)\\ \mathbf{r}''(t)&=\big(e^t - e^{-t}\big)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + \big(e^t + e^{-t}\big)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} & \mathbf{r}'(t)\times\mathbf{r}''(t)&=-2\big(e^t + e^{-t}\big)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + 2\big(e^t - e^{-t}\big)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +4\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}$

곡률은 다음과 같다.

$\begin{aligned} \kappa (t) &= \frac{|\mathbf{v}(t)\times\mathbf{a}(t)|}{\big(\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\big)^3} =\frac{2\sqrt{4+2e^{2t}+2e^{-2t}}}{[4+2e^{2t}+2e^{-2t}]^{3/2}} =\frac{1}{2+e^{2t}+e^{-2t}} \end{aligned}$

(b) $\mathbf{r}(0)$ 과 $\mathbf{r}(1)$ 사이의 $C$ 의 길이는 다음과 같다.

$\begin{aligned} \int_0^1 \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t) \ \mathrm{d}t &= \sqrt{2} \int_0^1 (e^t+e^{-t}) \ \mathrm{d}t =\sqrt{2}\Big[e^t-e^{-t}\Big]_0^1 =\sqrt{2}\Big[e-\frac{1}{e}\Big] \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

# 단위접선·법선벡터증명·논술기본자동 분류