선적분 연습문제 — CLP-4 · 1.6절 · 6번

CLP-4 · 1.6절 · 6번대학 수준우리말 번역

다음에 대해 경로적분 $\int_\mathcal{C} f(x,y,z)\,\mathrm{d}s$ 의 값을 구하세요.

(a) $f(x,y,z)=x\cos z$ , $\mathcal{C}:\mathbf{r}(t)=t\hat{\boldsymbol{\imath}}+t^2\hat{\boldsymbol{\jmath}}$ , $0\le t\le 1$ . (b) $f(x,y,z)=\frac{x+y}{y+z}$ , $\mathcal{C}:\mathbf{r}(t)= \big(t,\frac{2}{3}t^{3/2},t\big)$ , $1\le t\le 2$ .

영어 원문 보기

Evaluate the path integral $\int_\mathcal{C} f(x,y,z)\,\mathrm{d}s$ for

답 쓰고 채점

(a)

(b)

정답·풀이 보기

(a) 이 경우 $\mathbf{r}(t)=t\hat{\boldsymbol{\imath}}+t^2\hat{\boldsymbol{\jmath}}$ 이므로 $\mathbf{v}(t)=\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}(t)=\hat{\boldsymbol{\imath}}+2t\hat{\boldsymbol{\jmath}}$ 이고 $\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=\sqrt{1+4t^2}$ 이다. 따라서

$\begin{aligned} \int_\mathcal{C} f(x,y,z)\,\mathrm{d}s &=\int_0^1 x(t)\cos z(t) \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\,\mathrm{d}t =\int_0^1 t(\cos 0) \sqrt{1+4t^2}\,\mathrm{d}t =\frac{1}{8}\frac{ {(1+4t^2)}^{3/2}}{3/2}\bigg|_0^1\\ &=\frac{5^{3/2}-1}{12} \end{aligned}$

(b) 이 경우 $\mathbf{r}(t)=\big(t,\frac{2}{3}t^{3/2},t\big)$ 이므로 $\mathbf{v}(t)=\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}(t)=\big(1,t^{1/2},1\big)$ 이고 $\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=\sqrt{2+t}$ 이다. 따라서

$\begin{aligned} \int_\mathcal{C} f(x,y,z)\,\mathrm{d}s &=\int_1^2 \frac{x(t)+y(t)}{y(t)+z(t)} \, \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\,\mathrm{d}t =\int_1^2 \frac{t+{2\over 3}t^{3/2}}{{2\over3}t^{3/2}+t} \sqrt{2+t}\,\mathrm{d}t =\frac{(2+t)^{3/2}}{3/2}\bigg|_1^2 \\ &=\frac{8-3^{3/2}}{3/2} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

(a) In this case $\mathbf{r}(t)=t\hat{\boldsymbol{\imath}}+t^2\hat{\boldsymbol{\jmath}}$ , so that $\mathbf{v}(t)=\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}(t)=\hat{\boldsymbol{\imath}}+2t\hat{\boldsymbol{\jmath}}$ and $\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=\sqrt{1+4t^2}$ . Hence

(b) In this case $\mathbf{r}(t)=\big(t,\frac{2}{3}t^{3/2},t\big)$ , so that $\mathbf{v}(t)=\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}(t)=\big(1,t^{1/2},1\big)$ and $\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=\sqrt{2+t}$ . Hence

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-4 · 1.6절 · 7번우리말 번역

$\int_C \sin x\,\mathrm{d}s$ 의 값을 구하세요. 단, $C$ 는 곡선 $(\mathop{\mathrm{arcsec}}(t), \ln t)$ , $1 \le t \le \sqrt{2}$ 입니다.

답 쓰고 채점

다 풀었으면 정답 확인

아래 그림과 같이 $\theta=\mathop{\mathrm{arcsec}} t$ 인 삼각형을 그린다. 빗변의 길이는 $t$ 이고, $\theta$ 에 이웃한 변의 길이는 1 이다. 피타고라스 정리에 의해 나머지 한 변의 길이는 $\sqrt{t^2-1}$ 이므로 $\sin\theta=\sin(\mathop{\mathrm{arcsec}} t)=\frac{\sqrt{t^2-1}}{t}$ 이다.

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\{\ln t\} = \frac{1}{t}$ 이고 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\{\mathop{\mathrm{arcsec}} t\} = \frac{1}{|t|\sqrt{t^2-1}}$ 임을 기억하자. 우리가 다루는 범위 $1 \le t \le \sqrt 2$ 에서는 $|t|=t$ 이다.

$\begin{aligned} \int_C \sin x \,\mathrm{d}s&=\int_{1}^{\sqrt 2}\sin\left(\mathop{\mathrm{arcsec}} t \right)\sqrt{\left(\frac{1}{t\sqrt{t^2-1}} \right)^2+\left(\frac1t \right)^2}\,\mathrm{d}t\\ &=\int_1^{\sqrt{2}} \frac{\sqrt{t^2-1}}{t}\sqrt{\frac{1}{t^2(t^2-1)}+\frac{1}{t^2}} \,\mathrm{d}t\\ &=\int_1^{\sqrt 2}\frac1t\,\mathrm{d}t=\frac{1}{2}\ln 2 \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

# 선적분계산보통자동 분류