빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 벡터 미적분

선적분

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-4 · 1.6절 · 7번대학 수준우리말 번역

∫Csin⁡x ds\int_C \sin x\,\mathrm{d}s 의 값을 구하세요. 단, CC 는 곡선 (arcsec(t),ln⁡t)(\mathop{\mathrm{arcsec}}(t), \ln t), 1≤t≤21 \le t \le \sqrt{2} 입니다.

영어 원문 보기

Evaluate ∫Csin⁡x ds\int_C \sin x\,\mathrm{d}s, where CC is the curve (arcsec(t),ln⁡t)(\mathop{\mathrm{arcsec}}(t), \ln t), 1≤t≤21 \le t \le \sqrt{2}.

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아래 그림과 같이 θ=arcsect\theta=\mathop{\mathrm{arcsec}} t 인 삼각형을 그린다. 빗변의 길이는 tt 이고, θ\theta 에 이웃한 변의 길이는 1 이다. 피타고라스 정리에 의해 나머지 한 변의 길이는 t2−1\sqrt{t^2-1} 이므로 sin⁡θ=sin⁡(arcsect)=t2−1t\sin\theta=\sin(\mathop{\mathrm{arcsec}} t)=\frac{\sqrt{t^2-1}}{t} 이다.

그림

ddt{ln⁡t}=1t\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\{\ln t\} = \frac{1}{t} 이고 ddt{arcsect}=1∣t∣t2−1\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\{\mathop{\mathrm{arcsec}} t\} = \frac{1}{|t|\sqrt{t^2-1}} 임을 기억하자. 우리가 다루는 범위 1≤t≤21 \le t \le \sqrt 2 에서는 ∣t∣=t|t|=t 이다.

∫Csin⁡x ds=∫12sin⁡(arcsect)(1tt2−1)2+(1t)2 dt=∫12t2−1t1t2(t2−1)+1t2 dt=∫121t dt=12ln⁡2\begin{aligned} \int_C \sin x \,\mathrm{d}s&=\int_{1}^{\sqrt 2}\sin\left(\mathop{\mathrm{arcsec}} t \right)\sqrt{\left(\frac{1}{t\sqrt{t^2-1}} \right)^2+\left(\frac1t \right)^2}\,\mathrm{d}t\\ &=\int_1^{\sqrt{2}} \frac{\sqrt{t^2-1}}{t}\sqrt{\frac{1}{t^2(t^2-1)}+\frac{1}{t^2}} \,\mathrm{d}t\\ &=\int_1^{\sqrt 2}\frac1t\,\mathrm{d}t=\frac{1}{2}\ln 2 \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

In the figure below, we construct a triangle with θ=arcsect\theta=\mathop{\mathrm{arcsec}} t; the hypotenuse has length tt, while the side adjacent to θ\theta has length 1. By the Pythagorean Theorem, the remaining side has length t2−1\sqrt{t^2-1}, so sin⁡θ=sin⁡(arcsect)=t2−1t\sin\theta=\sin(\mathop{\mathrm{arcsec}} t)=\frac{\sqrt{t^2-1}}{t}.

figure

Remember ddt{ln⁡t}=1t\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\{\ln t\} = \frac{1}{t} and ddt{arcsect}=1∣t∣t2−1\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\{\mathop{\mathrm{arcsec}} t\} = \frac{1}{|t|\sqrt{t^2-1}}. In our range, 1≤t≤21 \le t \le \sqrt 2, we have ∣t∣=t|t|=t.

∫Csin⁡x ds=∫12sin⁡(arcsect)(1tt2−1)2+(1t)2 dt=∫12t2−1t1t2(t2−1)+1t2 dt=∫121t dt=12ln⁡2\begin{aligned} \int_C \sin x \,\mathrm{d}s&=\int_{1}^{\sqrt 2}\sin\left(\mathop{\mathrm{arcsec}} t \right)\sqrt{\left(\frac{1}{t\sqrt{t^2-1}} \right)^2+\left(\frac1t \right)^2}\,\mathrm{d}t\\ &=\int_1^{\sqrt{2}} \frac{\sqrt{t^2-1}}{t}\sqrt{\frac{1}{t^2(t^2-1)}+\frac{1}{t^2}} \,\mathrm{d}t\\ &=\int_1^{\sqrt 2}\frac1t\,\mathrm{d}t=\frac{1}{2}\ln 2 \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-4 · 1.6절 · 5번우리말 번역

CC 가 (1,2,3)(1,2,3) 에서 (2,4,5)(2,4,5) 까지의 선분일 때, ∫C(xy+z)ds\int_C (xy+z) \mathrm{d}s 의 값을 구하세요.

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CC 를 매개변수로 나타내기 위해, 두 점 사이의 벡터가 (2−1,4−2,5−3)=(1,2,2)(2-1,4-2,5-3)=(1,2,2) 임에 주목한다. 따라서 이 직선은 0≤t≤10 \le t \le 1 에 대해 (1,2,3)+t(1,2,2)(1,2,3)+t(1,2,2) 이다. 즉, x(t)=1+tx(t)=1+t, y(t)=2+2ty(t)=2+2t, 그리고 z(t)=3+2tz(t)=3+2t 이다.

∫C(xy+z)ds=∫01((1+t)(2+2t)+(3+2t))11+22+22dt=∫013(5+6t+2t2) dt=26\begin{aligned} \int_C(xy+z)\mathrm{d}s&=\int_0^1 \left((1+t)(2+2t)+(3+2t)\right)\sqrt{1^1+2^2+2^2}\mathrm{d}t\\ &= \int_0^1 3\big(5 + 6t + 2t^2\big)\ \mathrm{d}t=26 \end{aligned}

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# 선적분계산보통자동 분류
CLP-4 Vector Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)

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