공간에서의 운동 연습문제 — CLP-4 · 1.7절 · 5번

CLP-4 · 1.7절 · 5번대학 수준우리말 번역

질량이 100 kg인 스케이트보더가 반지름이 5 m인 마찰이 없는 원형 배수로 안에서 자유롭게 굴러가고 있습니다. 스케이트보더가 수직 높이 0 m와 3 m 사이를 왕복한다면, 이 계의 에너지 $E$ 는 얼마인지 구하세요.

영어 원문 보기

A skateboarder of mass 100 kg is freely rolling in a frictionless circular culvert of radius 5 m. If the skateboarder oscillates between vertical heights of 0 and 3 m, what is the energy $E$ of the system?

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

스케이트보더는 $y_S=\frac{E}{mg}$ 에서 다시 내려가기 시작하므로, $3\textrm{ m}=\frac{E}{100 \mathrm{ kg} \cdot 9.8~\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}}$ 을 풀어 $E=2940 ~\frac{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^2}{\mathrm{s}^2}=2940 J$ 를 얻는다.

참고: 스케이트보더가 배수로를 끝까지 한 바퀴 돌지 않으려면 지름이 3m보다 커야 했지만, $r=5$ 를 택하든 예를 들어 $r=50$ 을 택하든 답은 달라지지 않는다.

원본 교재 풀이(영어)

The skateboarder starts going back down at $y_S=\frac{E}{mg}$ , so we solve $3\textrm{ m}=\frac{E}{100 \mathrm{ kg} \cdot 9.8~\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}}$ to find $E=2940 ~\frac{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^2}{\mathrm{s}^2}=2940 J$

Remark: we needed the diameter to be greater than 3m for the skateboarder to not be going all the way around the culvert, but choosing $r=5$ leads to an answer no different from, say, $r=50$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-4 · 1.7절 · 13번우리말 번역

마찰이 없는 롤러코스터 트랙은 매개변수 표현이 $\ (a\cos\theta,a\sin\theta,b\theta)$ 인 원형 나선의 한 바퀴 모양이다. 자동차가 $\ \theta=2\pi\$ 인 점에서 속도 0으로 출발하여 중력을 받으며 $\ \theta=0$ 인 점까지 움직인다. 뉴턴의 운동 법칙에 따라, 시각 $t$ 에서 자동차의 위치 $\mathbf{r}(t)$ 는 다음을 만족한다.

$m \mathbf{r}''(t) = \mathbf{N}\big(\mathbf{r}(t)\big) - mg\hat{\mathbf{k}}$

여기서 $m$ 은 자동차의 질량, $g$ 는 상수, $-mg\hat{\mathbf{k}}$ 는 중력에 의한 힘이고, $\mathbf{N}\big(\mathbf{r}(t)\big)$ 는 자동차가 트랙 위에 머물도록 롤러코스터 트랙이 자동차에 가하는 힘이다. 트랙에 마찰이 없으므로 $\mathbf{N}\big(\mathbf{r}(t)\big)$ 는 항상 $\mathbf{v}(t)=\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}(t)$ 에 수직이다.

(a) $E(t)=\tfrac{1}{2} m |\mathbf{v}(t)|^2 +mg \mathbf{r}(t)\cdot\hat{\mathbf{k}}$ 가 $t$ 에 관계없는 상수임을 보이세요. (이것을 “에너지 보존”이라고 한다.) (b) 점 $\theta$ 에서의 속력 $|\mathbf{v}|$ 가 $\ |\mathbf{v}|^2=2gb(2\pi-\theta)$ 를 만족함을 보이세요. (c) $\theta=0$ 에 도달하는 데 걸리는 시간을 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

(a) 뉴턴의 운동 법칙에 의해

$\begin{aligned} E'(t)&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[\frac{1}{2} m |\mathbf{v}(t)|^2 +mg \mathbf{r}(t)\cdot\hat{\mathbf{k}}\right] =m\mathbf{v}(t)\cdot\mathbf{v}'(t)+mg\mathbf{v}(t)\cdot\hat{\mathbf{k}}\\ &=\mathbf{v}(t)\cdot\big[\mathbf{N}\big(\mathbf{r}(t)\big) - mg\hat{\mathbf{k}}\big]+mg\mathbf{v}(t)\cdot\hat{\mathbf{k}}\\ &=0 \end{aligned}$

이다. $\mathbf{v}(t)\cdot\mathbf{N}\big(\mathbf{r}(t)\big)=0$ 이기 때문이다. 따라서 $E(t)$ 는 $t$ 에 관계없는 상수이다.

(b) (a)에 의해

$\begin{aligned} E(t)=E(0) \implies \tfrac{1}{2} m |\mathbf{v}(t)|^2 +mg b\theta(t) = mg(2\pi b) \implies|\mathbf{v}(t)|^2=2gb\big(2\pi-\theta(t)\big) \end{aligned}$

이다.

$\begin{aligned} &\mathbf{v}=\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}\theta}\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} =\big(-a\sin\theta,a\cos\theta,b\big)\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} \\ &\implies |\mathbf{v}|^2=\big[a^2+b^2]\left(\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}\right)^2\\ &\implies \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}=-\left[\frac{|\mathbf{v}|^2}{a^2+b^2}\right]^{1/2} =-\left[\frac{2gb(2\pi-\theta)}{a^2+b^2}\right]^{1/2} \end{aligned}$

$\theta$ 는 $2\pi$ 에서 0까지 감소해야 하므로 음의 부호를 택했다. 이때 걸리는 시간은

$\begin{aligned} \int dt&=\int_{2\pi}^0 \frac{dt}{d\theta}d\theta =-\left[\frac{a^2+b^2}{2gb}\right]^{1/2}\int_{2\pi}^0 \frac{1}{(2\pi-\theta)^{1/2}}d\theta \\ &=\left[\frac{a^2+b^2}{2gb}\right]^{1/2}\int^{2\pi}_0 \frac{1}{(2\pi-\theta)^{1/2}}d\theta\\ &=\left[\frac{a^2+b^2}{2gb}\right]^{1/2} \left[-2(2\pi-\theta)^{1/2}\right]_0^{2\pi} =2\left[\frac{a^2+b^2}{gb}\pi\right]^{1/2} \end{aligned}$

이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 공간에서의 운동계산보통자동 분류