공간에서의 운동 연습문제 — CLP-4 · 1.7절 · 6번

CLP-4 · 1.7절 · 6번대학 수준우리말 번역

스케이트보더가 반지름이 5 m 인 마찰이 없는 원형 배수로 안에서 굴러가고 있습니다. 스케이트보더가 배수로를 한 바퀴 완전히 돌려면, 배수로의 맨 아래( $y=0$ )에서 속력이 얼마여야 하는지 구하세요.

영어 원문 보기

A skateboarder is rolling on a frictionless circular culvert of radius 5 m. What should their speed be when they're at the bottom of the culvert ( $y=0$ ) for them to make it all the way around?

정답·풀이 보기

교재에서, 스케이트보더가 한 바퀴 완전히 돌 조건은 $\frac{5}{2}(5) \le\frac{E}{mg}$ 이다. 에너지 $E$ 는 계의 운동 에너지와 위치 에너지의 합인 $E=\frac12m|\mathbf{v}|^2+mgy$ 로 주어진다. $y=0$ 일 때 에너지는 모두 운동 에너지이므로 $E=\frac12m|\mathbf{v}|^2$ 이다. 여기서 $|\mathbf{v}|$ 는 배수로의 맨 아래에서 스케이트보더의 속도이다.

따라서 다음을 푼다:

$\begin{aligned} \frac{25}{2}&\le\frac{E}{mg}=\frac{\frac12m|\mathbf{v}|^2}{m\cdot9.8}\\ |\mathbf{v}|&\ge5\sqrt{9.8} \end{aligned}$

따라서 $5\sqrt{9.8}$ m/s 이상의 속력이 필요하다. (이는 약 56 km/h 이다.)

원본 교재 풀이(영어)

From the text, the skateboarder will make it all the way around when $\frac{5}{2}(5) \le\frac{E}{mg}$ . Energy $E$ is given by $E=\frac12m|\mathbf{v}|^2+mgy$ , the sum of the kinetic and potential energy of the system. At $y=0$ , all the energy is kinetic, so $E=\frac12m|\mathbf{v}|^2$ , where $|\mathbf{v}|$ is the skater's velocity at the bottom of the culvert.

So, we solve:

$\begin{aligned} \frac{25}{2}&\le\frac{E}{mg}=\frac{\frac12m|\mathbf{v}|^2}{m\cdot9.8}\\ |\mathbf{v}|&\ge5\sqrt{9.8} \end{aligned}$

So, a speed of $5\sqrt{9.8}$ m/s or higher is needed. (That's about 56 kph.)

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-4 · 1.7절 · 5번우리말 번역

질량이 100 kg인 스케이트보더가 반지름이 5 m인 마찰이 없는 원형 배수로 안에서 자유롭게 굴러가고 있습니다. 스케이트보더가 수직 높이 0 m와 3 m 사이를 왕복한다면, 이 계의 에너지 $E$ 는 얼마인지 구하세요.

답 쓰고 채점

다 풀었으면 정답 확인

스케이트보더는 $y_S=\frac{E}{mg}$ 에서 다시 내려가기 시작하므로, $3\textrm{ m}=\frac{E}{100 \mathrm{ kg} \cdot 9.8~\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}}$ 을 풀어 $E=2940 ~\frac{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^2}{\mathrm{s}^2}=2940 J$ 를 얻는다.

참고: 스케이트보더가 배수로를 끝까지 한 바퀴 돌지 않으려면 지름이 3m보다 커야 했지만, $r=5$ 를 택하든 예를 들어 $r=50$ 을 택하든 답은 달라지지 않는다.

이 문제로 이어서 풀기

# 공간에서의 운동활용보통자동 분류