공간에서의 운동 연습문제 — CLP-4 · 1.7절 · 9번

CLP-4 · 1.7절 · 9번대학 수준우리말 번역

스키 선수가 언덕을 미끄러져 내려가고 있습니다. 이 언덕은 $\mathbf{r}(t)=(\ln t, 1-t)$ , $1/e \le t \le e$ 로 나타낼 수 있고, 좌표는 킬로미터 단위로 잰 값입니다. 스키 선수가 공중으로 떠오르려면 얼마나 빠르게 움직여야 하는지 구하세요.

영어 원문 보기

A skier is gliding down a hill. The hill can be described as $\mathbf{r}(t)=(\ln t, 1-t)$ , $1/e \le t \le e$ , with coordinates measured in kilometres. How fast would the skier have to be moving in order to catch air?

정답·풀이 보기

교재의 식에 따르면 스키 선수는 다음일 때 공중에 뜬다. $|\mathbf{v}|>\sqrt{\frac{g}{\kappa}|\hat{\boldsymbol{\jmath}}\cdot\hat{\mathbf{N}}|}$ 곡선의 방정식을 이용하여 $\kappa$ 와 $\hat{\mathbf{N}}$ 을 구한다.

$g$ 는 미터와 초 단위로 주어졌지만 다른 양은 킬로미터와 시간 단위임에 유의한다. 단위를 바꾸면, $9.8$ m/s $^2$ 은 $\left(\frac{9.8\text{ m}}{1 \text{ s}^2}\right)\left( \frac{1 \text{ km}}{1000 \text{ m}}\right)\left(\frac{3600 \text{ s}}{1 \text{ 시간}} \right)^2=98\cdot 6^4~ \frac{\text{km}}{\text{h}^2}=2^5\cdot 3^4\cdot 7^2~ \frac{\text{km}}{\text{h}^2}$ 과 같다.

$\begin{aligned} \mathbf{r}(t)&=(\ln t,1-t)\\ \mathbf{r}'(t)&=\mathbf{v}(t)=(t^{-1}, -1)\qquad\qquad \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=|\mathbf{v}(t)|=\sqrt{1+t^{-2}}\\ \mathbf{r}''(t)&=\mathbf{a}(t)=(-t^{-2},0)\\ \kappa (t)&=\frac{|\mathbf{v} \times \mathbf{a}|}{\left(\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\right)^{3}}=\frac{t^{-2}}{\sqrt{1+t^{-2}}^3}=\frac{|t|}{(1+t^{2})^{3/2}}=\frac{t}{(1+t^{2})^{3/2}} \\ \text{주어진 구간에서 $t$ 는 양수임에 유의한다.} \\ \hat{\mathbf{T}}(t)&=\frac{\mathbf{v}(t)}{|\mathbf{v}(t)|}=\frac{1}{\sqrt{1+t^{-2}}}(t^{-1},-1)=\left( \frac{1}{\sqrt{1+t^{2}}},\frac{-t}{\sqrt{1+t^{2}}}\right)\\ \hat{\mathbf{T}}'(t)&= \left( \frac{-t}{({1+t^2})^{3/2}},\frac{-1}{({1+t^2})^{3/2}}\right)\qquad\qquad |\hat{\mathbf{T}}'(t)|=\frac{1}{t^2+1}\\ \hat{\mathbf{N}}(t)&=\frac{\hat{\mathbf{T}}'(t)}{|\hat{\mathbf{T}}'(t)|}=\left( \frac{-t}{\sqrt{1+t^2}},\frac{-1}{\sqrt{1+t^2}}\right)\\ |\hat{\mathbf{N}} \cdot \hat{\boldsymbol{\jmath}}|&=\frac{1}{\sqrt{1+t^2}} \end{aligned}$

이제 지면의 “탈출 속도”를 구하는 데 필요한 값을 모두 얻었다.

$\begin{aligned} |\mathbf{v}|&=\sqrt{\frac{g}{\kappa}|\hat{\mathbf{N}} \cdot \hat{\boldsymbol{\jmath}}|}=\sqrt{\frac{g\cdot (1+t^{2})^{3/2}}{t(1+t^2)^{1/2}}}=\sqrt{\frac{g(1+t^2)}{t}} \end{aligned}$

스키 선수는 언덕의 어디에서든 떠오를 수 있으므로, $1/e \le t \le e$ 일 때 $\sqrt{\frac{g(1+t^2)}{t}}$ 의 최솟값보다 속도가 크기만 하면 된다. 그 최솟값을 구하기 위해 더 간단한 함수 $g(t)=\frac{1+t^2}{t}$ 의 최솟값이 있는 위치를 찾는다. 미분법을 이용하면 $t=1$ 일 때 최소가 됨을 알 수 있다. 따라서 $\sqrt{\frac{g(1+t^2)}{t}}$ 의 최솟값(즉, 떠오르기 위한 최소 속력)은 $t=1$ 에서 나타난다. 그러므로 최소 속력은 다음보다 커야 한다.

$\begin{aligned} \sqrt{\frac{g(1+t^2)}{|t|}}\Bigg|_{t=1}&=\sqrt{2g}=\sqrt{2^6\cdot3^4\cdot7^2}=2^3\cdot 3^2\cdot 7 = 504\text{ km/h} \end{aligned}$

(스키를 타고 이 속력에 도달하기는 어려울 것이다. 더 크게 굽은 언덕을 찾기 전까지 스키 선수는 아마 땅에 붙어 있을 것이다.)

원본 교재 풀이(영어)

According to the equation in the text, the skier will become airborne when: $|\mathbf{v}|>\sqrt{\frac{g}{\kappa}|\hat{\boldsymbol{\jmath}}\cdot\hat{\mathbf{N}}|}$ We'll use the equation of the curve to find $\kappa$ and $\hat{\mathbf{N}}$ .

Note that $g$ is given in metres per second, while the other quantities are in kilometres and hours. Converting, $9.8$ m/s $^2$ is the same as $\left(\frac{9.8\text{ m}}{1 \text{ s}^2}\right)\left( \frac{1 \text{ km}}{1000 \text{ m}}\right)\left(\frac{3600 \text{ s}}{1 \text{ hr}} \right)^2=98\cdot 6^4~ \frac{\text{km}}{\text{h}^2}=2^5\cdot 3^4\cdot 7^2~ \frac{\text{km}}{\text{h}^2}$ .

$\begin{aligned} \mathbf{r}(t)&=(\ln t,1-t)\\ \mathbf{r}'(t)&=\mathbf{v}(t)=(t^{-1}, -1)\qquad\qquad \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=|\mathbf{v}(t)|=\sqrt{1+t^{-2}}\\ \mathbf{r}''(t)&=\mathbf{a}(t)=(-t^{-2},0)\\ \kappa (t)&=\frac{|\mathbf{v} \times \mathbf{a}|}{\left(\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\right)^{3}}=\frac{t^{-2}}{\sqrt{1+t^{-2}}^3}=\frac{|t|}{(1+t^{2})^{3/2}}=\frac{t}{(1+t^{2})^{3/2}} \\ \text{Note $t$ is positive in the interval in question.} \\ \hat{\mathbf{T}}(t)&=\frac{\mathbf{v}(t)}{|\mathbf{v}(t)|}=\frac{1}{\sqrt{1+t^{-2}}}(t^{-1},-1)=\left( \frac{1}{\sqrt{1+t^{2}}},\frac{-t}{\sqrt{1+t^{2}}}\right)\\ \hat{\mathbf{T}}'(t)&= \left( \frac{-t}{({1+t^2})^{3/2}},\frac{-1}{({1+t^2})^{3/2}}\right)\qquad\qquad |\hat{\mathbf{T}}'(t)|=\frac{1}{t^2+1}\\ \hat{\mathbf{N}}(t)&=\frac{\hat{\mathbf{T}}'(t)}{|\hat{\mathbf{T}}'(t)|}=\left( \frac{-t}{\sqrt{1+t^2}},\frac{-1}{\sqrt{1+t^2}}\right)\\ |\hat{\mathbf{N}} \cdot \hat{\boldsymbol{\jmath}}|&=\frac{1}{\sqrt{1+t^2}} \end{aligned}$

Now, we have all the pieces we need to find the “escape velocity" of the ground.

$\begin{aligned} |\mathbf{v}|&=\sqrt{\frac{g}{\kappa}|\hat{\mathbf{N}} \cdot \hat{\boldsymbol{\jmath}}|}=\sqrt{\frac{g\cdot (1+t^{2})^{3/2}}{t(1+t^2)^{1/2}}}=\sqrt{\frac{g(1+t^2)}{t}} \end{aligned}$

Since the skier can take off anywhere on the hill, we just need their velocity to be larger than the smallest value of $\sqrt{\frac{g(1+t^2)}{t}}$ when $1/e \le t \le e$ . To find that minimum, we find the location of the minimum of the simpler function $g(t)=\frac{1+t^2}{t}$ . Using first-semester calculus, we find it to occur when $t=1$ . So, the minimum value of $\sqrt{\frac{g(1+t^2)}{t}}$ (that is, smallest speed to achieve lift-off) occurs at $t=1$ . We therefore need a minimum speed greater than:

$\begin{aligned} \sqrt{\frac{g(1+t^2)}{|t|}}\Bigg|_{t=1}&=\sqrt{2g}=\sqrt{2^6\cdot3^4\cdot7^2}=2^3\cdot 3^2\cdot 7 = 504\text{ kph} \end{aligned}$

(It seems unlikely that one could reach this speed on skis. The skier is probably earth-bound until they find a curvier hill.)

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-4 · 1.7절 · 6번우리말 번역

스케이트보더가 반지름이 5 m 인 마찰이 없는 원형 배수로 안에서 굴러가고 있습니다. 스케이트보더가 배수로를 한 바퀴 완전히 돌려면, 배수로의 맨 아래( $y=0$ )에서 속력이 얼마여야 하는지 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

교재에서, 스케이트보더가 한 바퀴 완전히 돌 조건은 $\frac{5}{2}(5) \le\frac{E}{mg}$ 이다. 에너지 $E$ 는 계의 운동 에너지와 위치 에너지의 합인 $E=\frac12m|\mathbf{v}|^2+mgy$ 로 주어진다. $y=0$ 일 때 에너지는 모두 운동 에너지이므로 $E=\frac12m|\mathbf{v}|^2$ 이다. 여기서 $|\mathbf{v}|$ 는 배수로의 맨 아래에서 스케이트보더의 속도이다.

따라서 다음을 푼다:

$\begin{aligned} \frac{25}{2}&\le\frac{E}{mg}=\frac{\frac12m|\mathbf{v}|^2}{m\cdot9.8}\\ |\mathbf{v}|&\ge5\sqrt{9.8} \end{aligned}$

따라서 $5\sqrt{9.8}$ m/s 이상의 속력이 필요하다. (이는 약 56 km/h 이다.)

이 문제로 이어서 풀기

# 공간에서의 운동계산보통자동 분류