벡터장과 흐름선 연습문제 — CLP-4 · 2.1절 · 5번

CLP-4 · 2.1절 · 5번대학 수준우리말 번역

벡터장 $\mathbf{v}(x,y) = x\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+y\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}$

가 움직이는 유체의 속도장이라고 하자.

(a) 시각 $0$ 에 점 $(1,1)$ 에서 유체에 나뭇가지를 떨어뜨린다. 시각 $t=0.01$ 에서 나뭇가지의 대략적인 위치는 어디인지 구하세요. (b) 시각 $0$ 에 점 $(0,0)$ 에서 유체에 나뭇가지를 떨어뜨린다. 시각 $t=0.01$ 에서 나뭇가지의 위치를 구하세요. (c) 시각 $0$ 에 점 $(0,0)$ 에서 유체에 나뭇가지를 떨어뜨린다. 시각 $t=10$ 에서 나뭇가지의 위치를 구하세요.

영어 원문 보기

Imagine that the vector field $\mathbf{v}(x,y) = x\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+y\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}$

is the velocity field of a moving fluid.

(a) At time $0$ you drop a twig into the fluid at the point $(1,1)$ . What is the approximate position of the twig at time $t=0.01$ ? (b) At time $0$ you drop a twig into the fluid at the point $(0,0)$ . What is the position of the twig at time $t=0.01$ ? (c) At time $0$ you drop a twig into the fluid at the point $(0,0)$ . What is the position of the twig at time $t=10$ ?

답 쓰고 채점

(a)

(b)

(c)

정답·풀이 보기

(a) 시각 $0$ 에서 나뭇가지의 속도는 $\mathbf{v}(1,1) =\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}}$ 이다. 따라서 시각 $t=0.01$ 에서 나뭇가지의 위치는 대략

$(1,1) + 0.01(1,1) = (1.01\,,\,1.01)$

이다.

(b) 시각 $0$ 에서 나뭇가지의 속도는 $\mathbf{v}(0,0) =\mathbf{0}$ 이다. 따라서 시각 $t=0.01$ 에서 나뭇가지의 위치는

$(0,0) + 0.01(0,0) = (0\,,\,0)$

이다.

(c) 시각 $0$ 에서 나뭇가지의 속도는 $\mathbf{v}(0,0) =\mathbf{0}$ 이다. 따라서 나뭇가지는 정지해 있고 속도는 모든 시각에서 0으로 유지된다. 시각 $10$ 에서, 그리고 사실 모든 시각에서 나뭇가지의 위치는 $(0\,,\,0)$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) At time $0$ the velocity of the twig is $\mathbf{v}(1,1) =\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}}$ . So at time $t=0.01$ , the position of the twig is approximately

$(1,1) + 0.01(1,1) = (1.01\,,\,1.01)$

(b) At time $0$ the velocity of the twig is $\mathbf{v}(0,0) =\mathbf{0}$ . So at time $t=0.01$ , the position of the twig is

$(0,0) + 0.01(0,0) = (0\,,\,0)$

(c) At time $0$ the velocity of the twig is $\mathbf{v}(0,0) =\mathbf{0}$ . So it is stationary and its velocity remains zero for all time. The position of the twig at time $10$ , and in fact at all times, is $(0\,,\,0)$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-4 · 2.1절 · 11번우리말 번역

벡터장 $\displaystyle \mathbf{v}(x,y)=\left[\frac{1/3}{\sqrt{x^2+y^2}}(x,y)+\frac{1/3}{\sqrt{(x-1)^2+y^2}}(x-1,y)\right]$ 을 그리세요.

다 풀었으면 정답 확인

벡터장 $\mathbf{v}(x,y)$ 는 원점에서 멀어지는 방향의 단위벡터와 $(1,0)$ 에서 멀어지는 방향의 단위벡터의 합에 1/3을 곱한 것이다. 이로부터 몇몇 영역에 대해 알 수 있다.

$(0,0)$ 과 $(1,0)$ 사이의 $x$ 축 위에서는 이 두 점에서 멀어지는 방향의 벡터가 서로 반대 방향이고 (길이가 같으므로) 서로 상쇄된다. 즉, 모든 $x \in (0,1)$ 에 대해 $v(x,0)=0$ 이다.
$v(0,0)$ 과 $v(1,0)$ 은 정의되지 않는다.
$[0,1]$ 바깥의 $x$ 축 위에서는 점 $(0,0)$ 에서 멀어지는 방향의 벡터가 점 $(1,0)$ 에서 멀어지는 방향의 벡터와 같다. 따라서 $x<0$ 일 때 $v(x,0)=(-2/3,0)$ 이고, $x>1$ 일 때 $v(x,0)=(2/3,0)$ 이다.

$(x,y)$ 에서 원점까지의 거리가 커질수록, $(0,0)$ 에서 멀어지는 방향의 벡터는 $(1,0)$ 에서 멀어지는 방향의 벡터와 점점 더 비슷해진다. 따라서 원점에서 멀리 떨어진 곳의 벡터는 원점에서 멀어지는 방향을 향하고 길이가 약 2/3인 벡터와 비슷하다.

이 문제로 이어서 풀기

# 벡터장과 흐름선활용기본자동 분류