벡터장과 흐름선 연습문제 — CLP-4 · 2.1절 · 11번

CLP-4 · 2.1절 · 11번대학 수준우리말 번역

벡터장 $\displaystyle \mathbf{v}(x,y)=\left[\frac{1/3}{\sqrt{x^2+y^2}}(x,y)+\frac{1/3}{\sqrt{(x-1)^2+y^2}}(x-1,y)\right]$ 을 그리세요.

영어 원문 보기

Sketch the vector field $\displaystyle \mathbf{v}(x,y)=\left[\frac{1/3}{\sqrt{x^2+y^2}}(x,y)+\frac{1/3}{\sqrt{(x-1)^2+y^2}}(x-1,y)\right]$ .

정답·풀이 보기

벡터장 $\mathbf{v}(x,y)$ 는 원점에서 멀어지는 방향의 단위벡터와 $(1,0)$ 에서 멀어지는 방향의 단위벡터의 합에 1/3을 곱한 것이다. 이로부터 몇몇 영역에 대해 알 수 있다.

$(0,0)$ 과 $(1,0)$ 사이의 $x$ 축 위에서는 이 두 점에서 멀어지는 방향의 벡터가 서로 반대 방향이고 (길이가 같으므로) 서로 상쇄된다. 즉, 모든 $x \in (0,1)$ 에 대해 $v(x,0)=0$ 이다.
$v(0,0)$ 과 $v(1,0)$ 은 정의되지 않는다.
$[0,1]$ 바깥의 $x$ 축 위에서는 점 $(0,0)$ 에서 멀어지는 방향의 벡터가 점 $(1,0)$ 에서 멀어지는 방향의 벡터와 같다. 따라서 $x<0$ 일 때 $v(x,0)=(-2/3,0)$ 이고, $x>1$ 일 때 $v(x,0)=(2/3,0)$ 이다.

$(x,y)$ 에서 원점까지의 거리가 커질수록, $(0,0)$ 에서 멀어지는 방향의 벡터는 $(1,0)$ 에서 멀어지는 방향의 벡터와 점점 더 비슷해진다. 따라서 원점에서 멀리 떨어진 곳의 벡터는 원점에서 멀어지는 방향을 향하고 길이가 약 2/3인 벡터와 비슷하다.

원본 교재 풀이(영어)

The field $\mathbf{v}(x,y)$ is the sum, scaled by 1/3, of the unit vector pointing away from the origin and the unit vector pointing away from $(1,0)$ . This tells us about a few regions:

Along the $x$ axis between $(0,0)$ and $(1,0)$ , the vectors away from these points are pointing in opposite directions (and have the same length), so they cancel each other out. That is, $v(x,0)=0$ for all $x \in (0,1)$ .
$v(0,0)$ and $v(1,0)$ are not defined.
Along the $x$ -axis outside of $[0,1]$ , the vector pointing away from the point $(0,0)$ is the same as the vector pointing away from the point $(1,0)$ . So, $v(x,0)=(-2/3,0)$ for $x<0$ and $v(x,0)=(2/3,0)$ for $x>1$ .

As the distance from $(x,y)$ to the origin grows, the vector pointing away from $(0,0)$ looks more and more like the vector pointing away from $(1,0)$ . So, our vectors far away from the origin look like vectors of length about 2/3, pointing away from the origin.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-4 · 2.1절 · 13번우리말 번역

질량이 $M$ 인 물체는 자신으로부터 거리 $D$ 만큼 떨어진 단위 질량의 입자에 크기가 $\frac{GM}{D^2}$ 인 힘을 작용한다. 여기서 $G$ 는 물리 상수이다. 이 힘은 입자에서 물체를 향하는 방향으로 작용한다.

좌표평면 위에서 질량 5 kg 인 물체가 위치 $(0,0)$ 에, 질량 3 kg 인 물체가 위치 $(2,3)$ 에, 질량 7 kg 인 물체가 위치 $(4,0)$ 에 놓여 있다고 하자. 위치 $(x,y)$ 에 있는 단위 질량에 작용하는 전체 중력의 벡터장 $\mathbf{f}(x,y)$ 를 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

위치 $(x,y)$ 에 있는 단위 질량의 입자는 5kg 물체로부터 거리 $D_1=\sqrt{x^2+y^2}$ 만큼 떨어져 있으므로, 그 물체는 입자에 크기가 $\frac{G(5)}{x^2+y^2}$ 인 힘을 작용한다. 이 힘의 방향은 $(-x,-y)$ 이다. 따라서 5kg 물체가 작용하는 힘은 $\mathbf{f}_1(x,y)=\frac{-5G}{(x^2+y^2)^{3/2}}(x,y)$ 이다.

마찬가지로, $(2,3)$ 에 있는 3 kg 물체가 작용하는 힘은 $\mathbf{f}_2(x,y)=\frac{3G}{((x-2)^2+(y-3)^2)^{3/2}}(2-x,3-y)$ 이고, $(4,0)$ 에 있는 7 kg 물체가 작용하는 힘은 $\mathbf{f}_3(x,y)=\frac{7G}{((x-4)^2+y^2)^{3/2}}(4-x,-y)$ 이다.

따라서 단위 질량에 작용하는 전체 힘은 다음과 같다.

$\begin{aligned} \mathbf{f}(x,y)&=\mathbf{f}_1(x,y)+\mathbf{f}_2(x,y)+\mathbf{f}_3(x,y)\\ &=\frac{-5G(x,y)}{(x^2+y^2)^{3/2}}+\frac{3G(2-x,3-y)}{((x-2)^2+(y-3)^2)^{3/2}}+\frac{7G(4-x,-y)}{((x-4)^2+y^2)^{3/2}} \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

# 벡터장과 흐름선그래프·표 해석보통자동 분류