빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 벡터 미적분

벡터장과 흐름선

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-4 · 2.1절 · 7번대학 수준우리말 번역

친절한(?) 벌들이 사방에서 여러분의 얼굴을 향해 날아옵니다. 각 벌의 속력은 여러분의 얼굴까지의 거리에 반비례합니다. 벌 떼의 속도에 대한 벡터장을 구하세요.

영어 원문 보기

Friendly (?) bees fly towards your face from all directions. The speed of each bee is inversely proportional to its distance from your face. Find a vector field for the velocity of the swarm.

정답·풀이 보기

얼굴이 좌표계의 원점 (0,0,0)(0,0,0) 에 있도록 잡는다. 위치 (x,y,z)(x,y,z) 에 있는 벌은 얼굴에서 x2+y2+z2\sqrt{x^2+y^2+z^2} 만큼 떨어져 있으며, (−x,−y,−z)(-x,-y,-z) 방향으로 향한다. 따라서 벌 한 마리의 진행 방향을 나타내는 단위벡터는 −1x2+y2+z2(x,y,z)\frac{-1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}(x,y,z) 이다. 이제 속도 벡터의 크기, 즉 벌의 속력만 구하면 된다.

친절한 벌의 속력은 얼굴까지의 거리인 x2+y2+z2\sqrt{x^2+y^2+z^2} 에 반비례한다. (여러분에게 더 가까이 있는 벌일수록 더 흥분해서 윙윙거리며 날아온다.) 따라서 속력은 어떤 상수 α\alpha 에 대해 αx2+y2+z2\frac{\alpha}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} 이다.

벌의 속도는 단위벡터 −1x2+y2+z2(x,y,z)\frac{-1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}(x,y,z) 의 방향을 가지고, 어떤 양의 상수 α\alpha 에 대해 크기가 αx2+y2+z2\frac{\alpha}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} 이다. 즉, v(x,y,z)=−αx2+y2+z2(x,y,z)\mathbf{v}(x,y,z)=-\frac{\alpha}{{x^2+y^2+z^2}}(x,y,z)

원본 교재 풀이(영어)

Set your face to be at the origin of our coordinate system, (0,0,0)(0,0,0). A bee at position (x,y,z)(x,y,z) is a distance of x2+y2+z2\sqrt{x^2+y^2+z^2} from your face, heading in the direction (−x,−y,−z)(-x,-y,-z). So, the unit vector indicating the direction of travel of one bee is −1x2+y2+z2(x,y,z)\frac{-1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}(x,y,z). Now all we need to find is the length of the velocity vector, i.e. the speed of the bee.

The speed of the friendly bee is inversely proportional to x2+y2+z2\sqrt{x^2+y^2+z^2}, its distance from your face. (Bees that are closer to you are buzzing towards you more excitedly.) So, the speed is given by αx2+y2+z2\frac{\alpha}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} for some constant α\alpha.

The bee velocity has the direction of the unit vector −1x2+y2+z2(x,y,z)\frac{-1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}(x,y,z) with length αx2+y2+z2\frac{\alpha}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} for some positive constant α\alpha. That is, v(x,y,z)=−αx2+y2+z2(x,y,z)\mathbf{v}(x,y,z)=-\frac{\alpha}{{x^2+y^2+z^2}}(x,y,z)

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-4 · 2.1절 · 4번우리말 번역

F=P ı^+Q ȷ^\mathbf{F} = P\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + Q\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} 를 아래에 그려진 이차원 벡터장이라 하자.

그림

점 AA 에서 PP, QQ, ∂Q∂x\frac{\partial Q}{\partial x}, ∂Q∂y\frac{\partial Q}{\partial y} 의 부호를 판단하세요.

다 풀었으면 정답 확인

점 AA 근처의 화살표는 오른쪽을 향하므로 P>0P>0 이고, 위쪽을 향하므로 Q>0Q>0 이다. AA 근처에서 왼쪽에서 오른쪽으로 움직이면 화살표의 수직 성분이 감소하므로 ∂Q∂x<0\frac{\partial Q}{\partial x}<0 이다. AA 근처에서 수직으로 위쪽으로 움직이면 화살표의 수직 성분이 증가하므로 ∂Q∂y>0\frac{\partial Q}{\partial y}>0 이다.

이 문제로 이어서 풀기
# 벡터장과 흐름선활용보통자동 분류
CLP-4 Vector Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)

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