벡터장과 흐름선 연습문제 — CLP-4 · 2.1절 · 8번

CLP-4 · 2.1절 · 8번대학 수준우리말 번역

벡터장 $\mathbf{v}(x,y)=(x^2,y)$ 의 그래프를 그리세요.

영어 원문 보기

Sketch the vector field $\mathbf{v}(x,y)=(x^2,y)$ .

정답·풀이 보기

본문에서처럼 시작하여 다음을 알 수 있다.

$\mathbf{v}(x,y)\cdot\hat{\boldsymbol{\imath}}=x^2 \begin{cases} >0 & x \neq 0\\ =0 & x=0 \end{cases}$ 그리고 $\mathbf{v}(x,y)\cdot\hat{\boldsymbol{\jmath}}=y \begin{cases} >0 & y > 0\\ =0 & y=0\\ <0 & y<0 \end{cases}$ .

이로부터 다음 그림을 얻는다.

이것으로 대략적인 모양을 알 수 있다. 더 자세히 살펴보면, $x^2>|y|$ 일 때 벡터 $\mathbf{v}(x,y)$ 는 수직보다 수평에 더 가깝다. $y$ 축에서 수평선을 따라 멀어질수록 $x^2$ 과 $|y|$ 의 차가 커지므로 벡터는 점점 더 수평에 가까워진다. 그러나 $x$ 의 값을 고정하면, 축에서 더 먼 곳의 벡터가 축에 가까운 곳의 벡터보다 더 수직에 가깝다.

원본 교재 풀이(영어)

Beginning as in the text, we note

$\mathbf{v}(x,y)\cdot\hat{\boldsymbol{\imath}}=x^2 \begin{cases} >0 & x \neq 0\\ =0 & x=0 \end{cases}$ and $\mathbf{v}(x,y)\cdot\hat{\boldsymbol{\jmath}}=y \begin{cases} >0 & y > 0\\ =0 & y=0\\ <0 & y<0 \end{cases}$ .

That leads to the following picture:

This gives us a general idea to start with. Refining, we notice that when $x^2>|y|$ , then the vector $\mathbf{v}(x,y)$ will be more horizontal than vertical. As we move away from the $y$ -axis in a horizontal line, the difference between $x^2$ and $|y|$ grows, so the vectors get more and more horizontal. However, for a fixed value of $x$ , vectors farther from the axis will be more vertical than vectors closer to it.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-4 · 2.1절 · 9번우리말 번역

$\mathbf{v}(x,y) = \left( \sqrt{x^2+y^2}~,~\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}\right)$ 의 방향장을 그래프로 그리세요.

다 풀었으면 정답 확인

결국에는 단위 길이의 벡터만 그리게 되지만, $\mathbf{v}(x,y)$ 의 $x$ 성분과 $y$ 성분을 구하면 그 방향을 알 수 있다.

$\mathbf{v}(x,y)\cdot \hat{\boldsymbol{\imath}}$ 는 $(x,y)$ 에서 원점까지의 거리이고, $\mathbf{v}(x,y)\cdot\hat{\boldsymbol{\jmath}}$ 는 $(x,y)$ 에서 점 $(1,1)$ 까지의 거리이다. 이 두 수는 항상 음이 아니다. 따라서 다음과 같은 그림이 된다.

$(x,y)$ 가 원점에서 멀리 떨어져 있으면, $(0,0)$ 까지의 거리는 $(1,0)$ 까지의 거리와 거의 같다. 그러므로 $\mathbf{v}(x,y)$ 는 $(1,1)$ 의 스칼라 배수에 가까울 것으로 예상된다.

$(0,0)$ 에서 $v(0,0)\cdot \hat{\boldsymbol{\imath}}=0$ 이므로 이 벡터는 수평이다. 마찬가지로 $v(1,1)\cdot\hat{\boldsymbol{\jmath}}=0$ 이므로 이 벡터는 수평이다. $(0,0)$ 에 아주 가까운 곳의 벡터는 거의 수평이고, $(1,1)$ 에 가까운 곳의 벡터는 거의 수직이다.

방향장을 그리기 위해 벡터의 길이가 1이 되도록 정규화한다.

이 문제로 이어서 풀기

# 벡터장과 흐름선그래프·표 해석보통자동 분류