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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 벡터 미적분

벡터장과 흐름선

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-4 · 2.1절 · 9번대학 수준우리말 번역

v(x,y)=(x2+y2 , (x−1)2+(y−1)2)\mathbf{v}(x,y) = \left( \sqrt{x^2+y^2}~,~\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}\right) 의 방향장을 그래프로 그리세요.

영어 원문 보기

Sketch the direction field of v(x,y)=(x2+y2 , (x−1)2+(y−1)2)\mathbf{v}(x,y) = \left( \sqrt{x^2+y^2}~,~\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}\right).

정답·풀이 보기

결국에는 단위 길이의 벡터만 그리게 되지만, v(x,y)\mathbf{v}(x,y) 의 xx성분과 yy성분을 구하면 그 방향을 알 수 있다.

v(x,y)⋅ı^\mathbf{v}(x,y)\cdot \hat{\boldsymbol{\imath}} 는 (x,y)(x,y) 에서 원점까지의 거리이고, v(x,y)⋅ȷ^\mathbf{v}(x,y)\cdot\hat{\boldsymbol{\jmath}} 는 (x,y)(x,y) 에서 점 (1,1)(1,1) 까지의 거리이다. 이 두 수는 항상 음이 아니다. 따라서 다음과 같은 그림이 된다.

그림

(x,y)(x,y) 가 원점에서 멀리 떨어져 있으면, (0,0)(0,0) 까지의 거리는 (1,0)(1,0) 까지의 거리와 거의 같다. 그러므로 v(x,y)\mathbf{v}(x,y) 는 (1,1)(1,1) 의 스칼라 배수에 가까울 것으로 예상된다.

(0,0)(0,0) 에서 v(0,0)⋅ı^=0v(0,0)\cdot \hat{\boldsymbol{\imath}}=0 이므로 이 벡터는 수평이다. 마찬가지로 v(1,1)⋅ȷ^=0v(1,1)\cdot\hat{\boldsymbol{\jmath}}=0 이므로 이 벡터는 수평이다. (0,0)(0,0) 에 아주 가까운 곳의 벡터는 거의 수평이고, (1,1)(1,1) 에 가까운 곳의 벡터는 거의 수직이다.

그림

방향장을 그리기 위해 벡터의 길이가 1이 되도록 정규화한다.

그림

원본 교재 풀이(영어)

Although ultimately we'll sketch only unit-length vectors, we can still find the direction of v(x,y)\mathbf{v}(x,y) by finding its xx- and yy components.

Note v(x,y)⋅ı^\mathbf{v}(x,y)\cdot \hat{\boldsymbol{\imath}} is the distance from (x,y)(x,y) to the origin, while v(x,y)⋅ȷ^\mathbf{v}(x,y)\cdot\hat{\boldsymbol{\jmath}} is the distance from (x,y)(x,y) to the point (1,1)(1,1). Both these numbers are always nonnegative. This leads to the following sketch:

figure

When (x,y)(x,y) is far from the origin, its distance from (0,0)(0,0) is almost the same as its distance from (1,0)(1,0). So, we expect v(x,y)\mathbf{v}(x,y) to be approximately a scalar multiple of (1,1)(1,1).

At (0,0)(0,0), v(0,0)⋅ı^=0v(0,0)\cdot \hat{\boldsymbol{\imath}}=0, so our vector is horizontal; similarly, v(1,1)⋅ȷ^=0v(1,1)\cdot\hat{\boldsymbol{\jmath}}=0 so this vector is horizontal. Vectors very near to (0,0)(0,0) are nearly horizontal, while vectors near to (1,1)(1,1) are nearly vertical.

figure

For the direction field, we normalize our vectors to have unit length.

figure

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-4 · 2.1절 · 6번우리말 번역

벡터장 v(x,y)=2x ı^−ȷ^\mathbf{v}(x,y) = 2x\,\hat{\boldsymbol{\imath}} -\hat{\boldsymbol{\jmath}}

가 움직이는 유체의 속도장이라고 하자. 시각 00 에 점 (0,0)(0,0) 에서 유체에 나뭇가지를 떨어뜨린다. 시각 t=10t=10 에서 나뭇가지의 위치를 구하세요.

답 쓰고 채점
다 풀었으면 정답 확인

yy축 위의 모든 점에서 유체의 속도는 −ȷ^-\hat{\boldsymbol{\jmath}} 이다. 따라서 나뭇가지는 yy축 위에 머물며 결과적으로 모든 시각에서 속도 −ȷ^-\hat{\boldsymbol{\jmath}} 를 갖는다. 시각 1010 에서 나뭇가지의 위치는

(0,0)+10(0,−1)=(0 , −10)(0,0)+10(0,-1) = (0\,,\,-10)

이다.

이 문제로 이어서 풀기
# 벡터장과 흐름선그래프·표 해석보통자동 분류
CLP-4 Vector Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)

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