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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 벡터 미적분

벡터장과 흐름선

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CLP-4 · 2.1절 · 13번대학 수준우리말 번역

질량이 MM 인 물체는 자신으로부터 거리 DD 만큼 떨어진 단위 질량의 입자에 크기가 GMD2\frac{GM}{D^2} 인 힘을 작용한다. 여기서 GG 는 물리 상수이다. 이 힘은 입자에서 물체를 향하는 방향으로 작용한다.

그림

좌표평면 위에서 질량 5 kg 인 물체가 위치 (0,0)(0,0) 에, 질량 3 kg 인 물체가 위치 (2,3)(2,3) 에, 질량 7 kg 인 물체가 위치 (4,0)(4,0) 에 놓여 있다고 하자. 위치 (x,y)(x,y) 에 있는 단위 질량에 작용하는 전체 중력의 벡터장 f(x,y)\mathbf{f}(x,y) 를 구하세요.

영어 원문 보기

A body of mass MM exerts a force of magnitude GMD2\frac{GM}{D^2} on a particle of unit mass distance DD away from itself, where GG is a physical constant. The force acts in the direction from the particle to the body.

figure

Suppose a mass of 5 kg sits at position (0,0)(0,0), a mass of 3 kg sits at position (2,3)(2,3), and a mass of 7 kg sits at position (4,0)(4,0) on a coordinate plane. Give the vector field f(x,y)\mathbf{f}(x,y) of the net gravitational force exerted on a unit mass at position (x,y)(x,y).

정답·풀이 보기

위치 (x,y)(x,y) 에 있는 단위 질량의 입자는 5kg 물체로부터 거리 D1=x2+y2D_1=\sqrt{x^2+y^2} 만큼 떨어져 있으므로, 그 물체는 입자에 크기가 G(5)x2+y2\frac{G(5)}{x^2+y^2} 인 힘을 작용한다. 이 힘의 방향은 (−x,−y)(-x,-y) 이다. 따라서 5kg 물체가 작용하는 힘은 f1(x,y)=−5G(x2+y2)3/2(x,y)\mathbf{f}_1(x,y)=\frac{-5G}{(x^2+y^2)^{3/2}}(x,y) 이다.

마찬가지로, (2,3)(2,3) 에 있는 3 kg 물체가 작용하는 힘은 f2(x,y)=3G((x−2)2+(y−3)2)3/2(2−x,3−y)\mathbf{f}_2(x,y)=\frac{3G}{((x-2)^2+(y-3)^2)^{3/2}}(2-x,3-y) 이고, (4,0)(4,0) 에 있는 7 kg 물체가 작용하는 힘은 f3(x,y)=7G((x−4)2+y2)3/2(4−x,−y)\mathbf{f}_3(x,y)=\frac{7G}{((x-4)^2+y^2)^{3/2}}(4-x,-y) 이다.

따라서 단위 질량에 작용하는 전체 힘은 다음과 같다.

f(x,y)=f1(x,y)+f2(x,y)+f3(x,y)=−5G(x,y)(x2+y2)3/2+3G(2−x,3−y)((x−2)2+(y−3)2)3/2+7G(4−x,−y)((x−4)2+y2)3/2\begin{aligned} \mathbf{f}(x,y)&=\mathbf{f}_1(x,y)+\mathbf{f}_2(x,y)+\mathbf{f}_3(x,y)\\ &=\frac{-5G(x,y)}{(x^2+y^2)^{3/2}}+\frac{3G(2-x,3-y)}{((x-2)^2+(y-3)^2)^{3/2}}+\frac{7G(4-x,-y)}{((x-4)^2+y^2)^{3/2}} \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

A particle of unit mass at position (x,y)(x,y) has distance D1=x2+y2D_1=\sqrt{x^2+y^2} from the 5kg mass, so that mass exerts a force of magnitude G(5)x2+y2\frac{G(5)}{x^2+y^2} on the particle. This force has direction (−x,−y)(-x,-y). So, the force exerted by the 5kg mass is f1(x,y)=−5G(x2+y2)3/2(x,y)\mathbf{f}_1(x,y)=\frac{-5G}{(x^2+y^2)^{3/2}}(x,y).

Similarly, the 3 kg mass at (2,3)(2,3) exerts a force of f2(x,y)=3G((x−2)2+(y−3)2)3/2(2−x,3−y)\mathbf{f}_2(x,y)=\frac{3G}{((x-2)^2+(y-3)^2)^{3/2}}(2-x,3-y); and the 7 kg mass at (4,0)(4,0) exerts a force of f3(x,y)=7G((x−4)2+y2)3/2(4−x,−y)\mathbf{f}_3(x,y)=\frac{7G}{((x-4)^2+y^2)^{3/2}}(4-x,-y).

The net force on a unit mass is therefore

f(x,y)=f1(x,y)+f2(x,y)+f3(x,y)=−5G(x,y)(x2+y2)3/2+3G(2−x,3−y)((x−2)2+(y−3)2)3/2+7G(4−x,−y)((x−4)2+y2)3/2\begin{aligned} \mathbf{f}(x,y)&=\mathbf{f}_1(x,y)+\mathbf{f}_2(x,y)+\mathbf{f}_3(x,y)\\ &=\frac{-5G(x,y)}{(x^2+y^2)^{3/2}}+\frac{3G(2-x,3-y)}{((x-2)^2+(y-3)^2)^{3/2}}+\frac{7G(4-x,-y)}{((x-4)^2+y^2)^{3/2}} \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 3권 · 6.1절 · 23번우리말 번역

모든 벡터는 원점을 향하고 길이가 일정하다.

다 풀었으면 정답 확인

F(x,y)=−xi−yjx2+y2\text{F}(x,y)=\frac{-x\text{i}-y\text{j}}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}

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