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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 벡터 미적분

벡터장과 흐름선

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-4 · 2.2절 · 1번대학 수준우리말 번역

아래에 그려진 벡터장 v(x,y)\mathbf{v}(x,y) 가 xyxy평면의 제1사분면에 있는 점 (x,y)(x,y) 에서 흐르는 물의 속도를 나타낸다고 하자.

그림

다음 점에 떨어뜨린 고무 오리가 따라가는 경로를 그리세요.

(a) (0,2)(0,2) (b) (1,0)(1,0) (c) (1,2)(1,2)

영어 원문 보기

Suppose that the vector field v(x,y)\mathbf{v}(x,y) sketched below represents the velocity of moving water at the point (x,y)(x,y) in the first quadrant of the xyxy-plane.

figure

Sketch the path followed by a rubber ducky dropped in at the point

(a) (0,2)(0,2) (b) (1,0)(1,0) (c) (1,2)(1,2)

정답·풀이 보기

(a) 양의 yy축 위의 모든 점에서 속도 벡터 v(0,y)\mathbf{v}(0,y) 는 곧장 아래쪽을 향한다. 따라서 (0,2)(0,2) 에서 물에 놓은 고무 오리는 양의 yy축을 따라 원점을 향해 곧장 아래로 떠내려간다.

그림

(b) 양의 xx축 위의 모든 점에서 속도 벡터 v(x,0)\mathbf{v}(x,0) 는 곧장 오른쪽을 향한다. 따라서 (1,0)(1,0) 에서 물에 놓은 고무 오리는 양의 xx축을 따라 오른쪽으로 떠내려간다.

(c) 축에서 떨어진 제1사분면의 모든 점에서 속도 벡터 v(x,y)\mathbf{v}(x,y) 는 아래쪽 오른쪽을 향한다. 따라서 (1,2)(1,2) 에서 물에 놓은 고무 오리는 언제나 아래쪽 오른쪽으로 떠내려간다. 오리가 xx축에 가까워질수록 움직임은 더욱 오른쪽으로 향하게 된다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) At every point of the positive yy-axis, the velocity vector v(0,y)\mathbf{v}(0,y) points straight down. So a rubber ducky placed in the water at (0,2)(0,2) just floats straight down the positive yy-axis towards the origin.

figure

(b) At every point of the positive xx-axis, the velocity vector v(x,0)\mathbf{v}(x,0) points straight to the right. So a rubber ducky placed in the water at (1,0)(1,0) just floats rightward along the positive xx-axis.

(c) At every point of the first quadrant away from the axes, the velocity vector v(x,y)\mathbf{v}(x,y) points downwards and towards the right. So a rubber ducky placed in the water at (1,2)(1,2) always floats down and to the right. The closer the ducky gets to the xx–axis the more rightward its motion becomes.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-4 · 2.2절 · 2번우리말 번역

x(t)=e−tcos⁡ty(t)=e−tsin⁡t\begin{aligned} x(t) &= e^{-t}\cos t \\ y(t) &= e^{-t}\sin t \\ \end{aligned}

가 장선이 되는 벡터장 v(x,y)\mathbf{v}(x,y) 를 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

도함수는 다음과 같다.

x′(t)=−e−tcos⁡t−e−tsin⁡t=−x(t)−y(t)y′(t)=−e−tsin⁡t+e−tcos⁡t=−y(t)+x(t)\begin{aligned} x'(t) &= -e^{-t}\cos t - e^{-t}\sin t &&= -x(t)-y(t) \\ y'(t) &= -e^{-t}\sin t + e^{-t}\cos t &&= -y(t)+x(t) \end{aligned}

따라서 (x(t),y(t))\big(x(t),y(t)\big) 는 연립미분방정식

dxdt=v1(x,y)=−x−ydydt=v2(x,y)=−x−y\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} &= v_1(x,y) = -x-y \\ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} &= v_2(x,y) = \phantom{-}x-y \end{aligned}

의 해이다.

그러므로 벡터장은 v(x,y)=(v1(x,y) , v2(x,y))=(−x−y , x−y)\mathbf{v}(x,y) = \big(v_1(x,y)\,,\,v_2(x,y)\big) = (-x-y\,,\,x-y) 이다.

이 문제로 이어서 풀기
# 벡터장과 흐름선그래프·표 해석자동 분류
CLP-4 Vector Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)

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