벡터장과 흐름선 연습문제 — CLP-4 · 2.2절 · 2번

CLP-4 · 2.2절 · 2번대학 수준우리말 번역

$\begin{aligned} x(t) &= e^{-t}\cos t \\ y(t) &= e^{-t}\sin t \\ \end{aligned}$

가 장선이 되는 벡터장 $\mathbf{v}(x,y)$ 를 구하세요.

영어 원문 보기

Find a vector field $\mathbf{v}(x,y)$ for which

$\begin{aligned} x(t) &= e^{-t}\cos t \\ y(t) &= e^{-t}\sin t \\ \end{aligned}$

is a field line.

정답·풀이 보기

도함수는 다음과 같다.

$\begin{aligned} x'(t) &= -e^{-t}\cos t - e^{-t}\sin t &&= -x(t)-y(t) \\ y'(t) &= -e^{-t}\sin t + e^{-t}\cos t &&= -y(t)+x(t) \end{aligned}$

따라서 $\big(x(t),y(t)\big)$ 는 연립미분방정식

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} &= v_1(x,y) = -x-y \\ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} &= v_2(x,y) = \phantom{-}x-y \end{aligned}$

의 해이다.

그러므로 벡터장은 $\mathbf{v}(x,y) = \big(v_1(x,y)\,,\,v_2(x,y)\big) = (-x-y\,,\,x-y)$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

The derivatives

$\begin{aligned} x'(t) &= -e^{-t}\cos t - e^{-t}\sin t &&= -x(t)-y(t) \\ y'(t) &= -e^{-t}\sin t + e^{-t}\cos t &&= -y(t)+x(t) \end{aligned}$

So $\big(x(t),y(t)\big)$ is a solution of the system of differential equations

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} &= v_1(x,y) = -x-y \\ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} &= v_2(x,y) = \phantom{-}x-y \end{aligned}$

So the vector field is $\mathbf{v}(x,y) = \big(v_1(x,y)\,,\,v_2(x,y)\big) = (-x-y\,,\,x-y)$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-4 · 2.2절 · 5번우리말 번역

벡터장 $\mathbf{F}= x\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+ 3y\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}$ 의 역선을 구하고 그래프를 그리세요.

다 풀었으면 정답 확인

역선은 다음을 만족한다.

$\begin{aligned} &\frac{\mathrm{d}x}{x}=\frac{\mathrm{d}y}{3y}\qquad\text{ $x,y\ne 0$ 일 때}\\ &\implies 3\ln |x|=\ln |y|+C\\ &\implies |x|^3=e^C|y| \\ &\implies y=\pm e^{-C}x^3 \\ &\implies y=C'x^3 \end{aligned}$

여기서 $C'$ 은 0이 아닌 상수이다. $y$ 축 위에서는 $\mathbf{F}\parallel\hat{\boldsymbol{\jmath}}$ 이고 $x$ 축 위에서는 $\mathbf{F}\parallel\hat{\boldsymbol{\imath}}$ 이므로 $x=0$ 과 $y=0$ 도 역선이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 벡터장과 흐름선계산자동 분류