벡터장과 흐름선 연습문제 — CLP-4 · 2.2절 · 5번

CLP-4 · 2.2절 · 5번대학 수준우리말 번역

벡터장 $\mathbf{F}= x\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+ 3y\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}$ 의 역선을 구하고 그래프를 그리세요.

영어 원문 보기

Find and sketch the field lines of the vector field $\mathbf{F}= x\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+ 3y\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}$ .

정답·풀이 보기

역선은 다음을 만족한다.

$\begin{aligned} &\frac{\mathrm{d}x}{x}=\frac{\mathrm{d}y}{3y}\qquad\text{ $x,y\ne 0$ 일 때}\\ &\implies 3\ln |x|=\ln |y|+C\\ &\implies |x|^3=e^C|y| \\ &\implies y=\pm e^{-C}x^3 \\ &\implies y=C'x^3 \end{aligned}$

여기서 $C'$ 은 0이 아닌 상수이다. $y$ 축 위에서는 $\mathbf{F}\parallel\hat{\boldsymbol{\jmath}}$ 이고 $x$ 축 위에서는 $\mathbf{F}\parallel\hat{\boldsymbol{\imath}}$ 이므로 $x=0$ 과 $y=0$ 도 역선이다.

원본 교재 풀이(영어)

The field lines obey

$\begin{aligned} &\frac{\mathrm{d}x}{x}=\frac{\mathrm{d}y}{3y}\qquad\text{ if $x,y\ne 0$}\\ &\implies 3\ln |x|=\ln |y|+C\\ &\implies |x|^3=e^C|y| \\ &\implies y=\pm e^{-C}x^3 \\ &\implies y=C'x^3 \end{aligned}$

with $C'$ a nonzero constant. $x=0$ and $y=0$ are also field lines, since on the $y$ -axis $\mathbf{F}\parallel\hat{\boldsymbol{\jmath}}$ and on the $x$ -axis $\mathbf{F}\parallel\hat{\boldsymbol{\imath}}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-4 · 2.2절 · 4번우리말 번역

벡터장 $\mathbf{F}= 2y\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+ \frac{x}{y^2}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+e^y\hat{\mathbf{k}}$ 의 장선 중에서 $(1,1,e)$ 를 지나는 것을 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

장선은 다음을 만족한다.

$\frac{\mathrm{d}x}{2y}=\frac{\mathrm{d}y}{x/y^2}=\frac{\mathrm{d}z}{e^y} \qquad\text{ $x,y\ne 0$ 일 때}$

특히

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}x}{2y}=\frac{y^2\,\mathrm{d}y}{x} \implies x\,\mathrm{d}x=2y^3\,\mathrm{d}y \implies \frac{1}{2}x^2=\frac{1}{2}y^4+C \end{aligned}$

$x=1$ 일 때 $y=1$ 이므로 $C=0$ 이다. 따라서 $x=y^2$ 이고

$\frac{\mathrm{d}y}{x/y^2}=\frac{\mathrm{d}z}{e^y} \implies e^ydy=dz \implies z=e^y+D$

$y=1$ 일 때 $z=e$ 이므로 $D=0$ 이다. 따라서 장선은 다음과 같다.

$x=y^2 \qquad z=e^y$

이 문제로 이어서 풀기

# 벡터장과 흐름선그래프·표 해석보통자동 분류