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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 벡터 미적분

보존 벡터장

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-4 · 2.3절 · 4번대학 수준우리말 번역

다음 각 명제를 증명하거나, 반례를 찾으세요.

a. F\mathbf{F} 가 보존장이고 G\mathbf{G} 가 비보존장이면, F+G\mathbf{F}+\mathbf{G} 는 비보존장이다. b. F\mathbf{F} 와 G\mathbf{G} 가 모두 비보존장이면, F+G\mathbf{F}+\mathbf{G} 는 비보존장이다. c. F\mathbf{F} 와 G\mathbf{G} 가 모두 보존장이면, F+G\mathbf{F}+\mathbf{G} 는 보존장이다.

영어 원문 보기

Prove, or find a counterexample to, each of the following statements.

a. If F\mathbf{F} is a conservative field and G\mathbf{G} is a non-conservative field, then F+G\mathbf{F}+\mathbf{G} is non-conservative. b. If F\mathbf{F} and G\mathbf{G} are both non-conservative fields, then F+G\mathbf{F}+\mathbf{G} is non-conservative. c. If F\mathbf{F} and G\mathbf{G} are both conservative fields, then F+G\mathbf{F}+\mathbf{G} is conservative.

정답·풀이 보기

a. 어떤 F\mathbf{F}, G\mathbf{G} 에 대해 F+G\mathbf{F}+\mathbf{G} 가 보존장이라고 하면, 정의에 따라 F+G=∇φ\mathbf{F}+\mathbf{G} = { \boldsymbol{\nabla} } \varphi 를 만족하는 퍼텐셜 φ\varphi 가 존재한다.

F\mathbf{F} 가 보존장이므로, F=∇ψ\mathbf{F} = { \boldsymbol{\nabla} } \psi 를 만족하는 퍼텐셜 ψ\psi 도 존재한다.

그러면 G=(F+G)−F=∇φ−∇ψ=∇(φ−ψ)\mathbf{G} = (\mathbf{F}+\mathbf{G})-\mathbf{F}={ \boldsymbol{\nabla} } \varphi - { \boldsymbol{\nabla} } \psi = { \boldsymbol{\nabla} }(\varphi-\psi) 이다. 즉 함수 (φ−ψ)(\varphi-\psi) 는 GG 의 퍼텐셜이다. 그러나 이는 불가능하다. G\mathbf{G} 가 비보존장이므로 이러한 성질을 갖는 함수는 존재하지 않기 때문이다.

따라서 F+G\mathbf{F}+\mathbf{G} 가 보존장일 수는 없다. 즉 비보존장이다. b. 반례: F=−G\mathbf{F} = -\mathbf{G} 이면, 임의의 상수 cc 에 대해 F+G=0=∇c\mathbf{F}+\mathbf{G} = \mathbf 0 = { \boldsymbol{\nabla} } c 이다. c. 두 장이 모두 보존장이므로 둘 다 퍼텐셜을 갖는다. 이를 F=∇φ\mathbf{F}={ \boldsymbol{\nabla} } \varphi, G=∇ψ\mathbf{G} = { \boldsymbol{\nabla} } \psi 라 하자. 그러면 F+G=∇φ+∇ψ=∇(φ+ψ)\mathbf{F}+\mathbf{G} = { \boldsymbol{\nabla} }\varphi+{ \boldsymbol{\nabla} }\psi={ \boldsymbol{\nabla} }(\varphi+\psi) 이다. 즉 (φ+ψ)(\varphi+\psi) 는 F+G\mathbf{F}+\mathbf{G} 의 퍼텐셜이므로 F+G\mathbf{F}+\mathbf{G} 는 보존장이다.

원본 교재 풀이(영어)

a. If F+G\mathbf{F}+\mathbf{G} is conservative for any particular F\mathbf{F} and G\mathbf{G}, then by definition, there exists a potential φ\varphi with F+G=∇φ\mathbf{F}+\mathbf{G} = { \boldsymbol{\nabla} } \varphi.

Since F\mathbf{F} is conservative, there also exists a potential ψ\psi with F=∇ψ\mathbf{F} = { \boldsymbol{\nabla} } \psi.

But now G=(F+G)−F=∇φ−∇ψ=∇(φ−ψ)\mathbf{G} = (\mathbf{F}+\mathbf{G})-\mathbf{F}={ \boldsymbol{\nabla} } \varphi - { \boldsymbol{\nabla} } \psi = { \boldsymbol{\nabla} }(\varphi-\psi). That means the function (φ−ψ)(\varphi-\psi) is a potential for GG. However, this is impossible: since G\mathbf{G} is non-conservative, no function with this property exists.

So it is not possible that F+G\mathbf{F}+\mathbf{G} is conservative. It must be non-conservative. b. Counterexample: if F=−G\mathbf{F} = -\mathbf{G}, then F+G=0=∇c\mathbf{F}+\mathbf{G} = \mathbf 0 = { \boldsymbol{\nabla} } c for any constant cc. c. Since both fields are conservative, they both have potentials, say F=∇φ\mathbf{F}={ \boldsymbol{\nabla} } \varphi and G=∇ψ\mathbf{G} = { \boldsymbol{\nabla} } \psi. Then F+G=∇φ+∇ψ=∇(φ+ψ)\mathbf{F}+\mathbf{G} = { \boldsymbol{\nabla} }\varphi+{ \boldsymbol{\nabla} }\psi={ \boldsymbol{\nabla} }(\varphi+\psi). That is, (φ+ψ)(\varphi+\psi) is a potential for F+G\mathbf{F}+\mathbf{G}, so F+G\mathbf{F}+\mathbf{G} is conservative.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 3권 · 6.3절 · 7번우리말 번역

[계산기 사용] F(x,y)=(exsin⁡y−y)i+(excos⁡y−x−2)j\text{F}(x,y)=({e}^{x}\sin y-y)\text{i}+({e}^{x}\cos y-x-2)\text{j} 이고, C 가 0≤t≤10\le t\le 1 에서 r(t)=[t3sin⁡ πt2]i−[π2cos⁡(πt2+π2)]jr(t)=\left[{t}^{3}\sin \,\frac{\pi t}{2}\right]\text{i}-\left[\frac{\pi }{2}\cos \left(\frac{\pi t}{2}+\frac{\pi }{2}\right)\right]\text{j} 로 주어진 경로일 때, 선적분 ∫CF⋅dr{\int }_{C}^{}\text{F}\cdot d\text{r} 의 값을 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

∫CF⋅dr=e−3π2{\int }_{C}^{}\text{F}\cdot d\text{r}=e-\frac{3\pi }{2}

이 문제로 이어서 풀기
# 보존 벡터장증명·논술기본자동 분류
CLP-4 Vector Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)

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