보존 벡터장 연습문제 — OpenStax 3권 · 6.3절 · 7번

OpenStax 3권 · 6.3절 · 7번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] $\text{F}(x,y)=({e}^{x}\sin y-y)\text{i}+({e}^{x}\cos y-x-2)\text{j}$ 이고, C 가 $0\le t\le 1$ 에서 $r(t)=\left[{t}^{3}\sin \,\frac{\pi t}{2}\right]\text{i}-\left[\frac{\pi }{2}\cos \left(\frac{\pi t}{2}+\frac{\pi }{2}\right)\right]\text{j}$ 로 주어진 경로일 때, 선적분 ${\int }_{C}^{}\text{F}\cdot d\text{r}$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

[T] Evaluate line integral ${\int }_{C}^{}\text{F}\cdot d\text{r},$ where $\text{F}(x,y)=({e}^{x}\sin y-y)\text{i}+({e}^{x}\cos y-x-2)\text{j},$ and C is the path given by $r(t)=\left[{t}^{3}\sin \,\frac{\pi t}{2}\right]\text{i}-\left[\frac{\pi }{2}\cos \left(\frac{\pi t}{2}+\frac{\pi }{2}\right)\right]\text{j}$ for $0\le t\le 1.$

정답·풀이 보기

${\int }_{C}^{}\text{F}\cdot d\text{r}=e-\frac{3\pi }{2}$

원본 교재 풀이(영어)

${\int }_{C}^{}\text{F}\cdot d\text{r}=e-\frac{3\pi }{2}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-4 · 2.3절 · 6번우리말 번역

$\mathbf{F}(x,y)=(x+y)\hat{\boldsymbol{\imath}}+(x-y)\hat{\boldsymbol{\jmath}}$ 의 퍼텐셜 $\varphi$ 를 구하거나, 퍼텐셜이 존재하지 않음을 증명하세요.

다 풀었으면 정답 확인

$\varphi$ 가 $\mathbf{F}$ 의 퍼텐셜이면 다음이 성립한다.

$\frac{\partial \varphi}{\partial x}=x+y$ 이므로 $\varphi = \frac{1}{2}x^2+xy+\psi_1(y)$
$\frac{\partial \varphi}{\partial y}=x-y$ 이므로 $\varphi = xy-\frac{1}{2}y^2+\psi_2(x)$

따라서 예를 들어 $\varphi = \frac{1}{2}x^2+xy-\frac{1}{2}y^2$ 은 $\mathbf{F}$ 의 퍼텐셜이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 보존 벡터장계산자동 분류