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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 벡터 미적분

보존 벡터장

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-4 · 2.3절 · 6번대학 수준우리말 번역

F(x,y)=(x+y)ı^+(x−y)ȷ^\mathbf{F}(x,y)=(x+y)\hat{\boldsymbol{\imath}}+(x-y)\hat{\boldsymbol{\jmath}} 의 퍼텐셜 φ\varphi 를 구하거나, 퍼텐셜이 존재하지 않음을 증명하세요.

영어 원문 보기

Find a potential φ\varphi for F(x,y)=(x+y)ı^+(x−y)ȷ^\mathbf{F}(x,y)=(x+y)\hat{\boldsymbol{\imath}}+(x-y)\hat{\boldsymbol{\jmath}}, or prove none exists.

정답·풀이 보기

φ\varphi 가 F\mathbf{F} 의 퍼텐셜이면 다음이 성립한다.

  • ∂φ∂x=x+y\frac{\partial \varphi}{\partial x}=x+y 이므로 φ=12x2+xy+ψ1(y)\varphi = \frac{1}{2}x^2+xy+\psi_1(y)
  • ∂φ∂y=x−y\frac{\partial \varphi}{\partial y}=x-y 이므로 φ=xy−12y2+ψ2(x)\varphi = xy-\frac{1}{2}y^2+\psi_2(x)

따라서 예를 들어 φ=12x2+xy−12y2\varphi = \frac{1}{2}x^2+xy-\frac{1}{2}y^2 은 F\mathbf{F} 의 퍼텐셜이다.

원본 교재 풀이(영어)

If φ\varphi is a potential for F\mathbf{F}, then:

  • ∂φ∂x=x+y\frac{\partial \varphi}{\partial x}=x+y, so φ=12x2+xy+ψ1(y)\varphi = \frac{1}{2}x^2+xy+\psi_1(y)
  • ∂φ∂y=x−y\frac{\partial \varphi}{\partial y}=x-y, so φ=xy−12y2+ψ2(x)\varphi = xy-\frac{1}{2}y^2+\psi_2(x)

So, for instance, φ=12x2+xy−12y2\varphi = \frac{1}{2}x^2+xy-\frac{1}{2}y^2 is a potential for F\mathbf{F}.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 3권 · 6.3절 · 5번우리말 번역

F(x,y)=(2x+2y)i+(2x+2y)j\text{F}(x,y)=(2x+2y)\text{i}+(2x+2y)\text{j} 이고 C 가 원 x2+y2=25{x}^{2}+{y}^{2}=25 의 일부로서 (5, 0)에서 (3, 4)까지 반시계 방향으로 향하는 경우에, 매개변수화를 이용하여 적분을 계산하는 방법과 따로 퍼텐셜 함수를 찾는 방법으로 ∫CF⋅dr{\int }_{C}\text{F}\cdot d\text{r} 에 대한 선적분의 기본 정리를 확인하세요.

다 풀었으면 정답 확인

∫CF⋅dr=24{\int }_{C}^{}\text{F}\cdot d\text{r}=24

이 문제로 이어서 풀기
# 보존 벡터장증명·논술보통자동 분류
CLP-4 Vector Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)

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