보존 벡터장 연습문제 — OpenStax 3권 · 6.3절 · 5번

OpenStax 3권 · 6.3절 · 5번대학 수준우리말 번역

$\text{F}(x,y)=(2x+2y)\text{i}+(2x+2y)\text{j}$ 이고 C 가 원 ${x}^{2}+{y}^{2}=25$ 의 일부로서 (5, 0)에서 (3, 4)까지 반시계 방향으로 향하는 경우에, 매개변수화를 이용하여 적분을 계산하는 방법과 따로 퍼텐셜 함수를 찾는 방법으로 ${\int }_{C}\text{F}\cdot d\text{r}$ 에 대한 선적분의 기본 정리를 확인하세요.

영어 원문 보기

Verify the Fundamental Theorem of Line Integrals for ${\int }_{C}\text{F}\cdot d\text{r}$ by computing the integral using a parameterization and, separately, by finding a potential function for the case when $\text{F}(x,y)=(2x+2y)\text{i}+(2x+2y)\text{j}$ and C is a portion of circle ${x}^{2}+{y}^{2}=25$ oriented counterclockwise from (5, 0) to (3, 4).

정답·풀이 보기

${\int }_{C}^{}\text{F}\cdot d\text{r}=24$

원본 교재 풀이(영어)

${\int }_{C}^{}\text{F}\cdot d\text{r}=24$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-4 · 2.3절 · 7번우리말 번역

$\mathbf{F}(x,y)=\left( \frac{1}{x}-\frac{1}{y}\right)\hat{\boldsymbol{\imath}}+\left(\frac{x}{y^2}\right)\hat{\boldsymbol{\jmath}}$ 의 퍼텐셜 $\varphi$ 를 구하거나, 존재하지 않음을 증명하세요.

다 풀었으면 정답 확인

$\varphi$ 가 $\mathbf{F}$ 의 퍼텐셜이면 다음이 성립한다.

$\frac{\partial \varphi}{\partial x}=\frac1x-\frac1y$ 이므로 $\varphi = \ln|x|-\frac{x}{y}+\psi_1(y)$
$\frac{\partial \varphi}{\partial y}=\frac{x}{y^2}$ 이므로 $\varphi = -\frac{x}{y}+\psi_2(x)$

따라서 예를 들어 $\varphi=\ln |x| - \frac{x}{y}$ 는 $\mathbf{F}$ 의 퍼텐셜이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 보존 벡터장계산자동 분류