빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 벡터 미적분

보존 벡터장

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-4 · 2.3절 · 7번대학 수준우리말 번역

F(x,y)=(1x−1y)ı^+(xy2)ȷ^\mathbf{F}(x,y)=\left( \frac{1}{x}-\frac{1}{y}\right)\hat{\boldsymbol{\imath}}+\left(\frac{x}{y^2}\right)\hat{\boldsymbol{\jmath}} 의 퍼텐셜 φ\varphi 를 구하거나, 존재하지 않음을 증명하세요.

영어 원문 보기

Find a potential φ\varphi for F(x,y)=(1x−1y)ı^+(xy2)ȷ^\mathbf{F}(x,y)=\left( \frac{1}{x}-\frac{1}{y}\right)\hat{\boldsymbol{\imath}}+\left(\frac{x}{y^2}\right)\hat{\boldsymbol{\jmath}}, or prove none exists.

정답·풀이 보기

φ\varphi 가 F\mathbf{F} 의 퍼텐셜이면 다음이 성립한다.

  • ∂φ∂x=1x−1y\frac{\partial \varphi}{\partial x}=\frac1x-\frac1y 이므로 φ=ln⁡∣x∣−xy+ψ1(y)\varphi = \ln|x|-\frac{x}{y}+\psi_1(y)
  • ∂φ∂y=xy2\frac{\partial \varphi}{\partial y}=\frac{x}{y^2} 이므로 φ=−xy+ψ2(x)\varphi = -\frac{x}{y}+\psi_2(x)

따라서 예를 들어 φ=ln⁡∣x∣−xy\varphi=\ln |x| - \frac{x}{y} 는 F\mathbf{F} 의 퍼텐셜이다.

원본 교재 풀이(영어)

If φ\varphi is a potential for F\mathbf{F}, then:

  • ∂φ∂x=1x−1y\frac{\partial \varphi}{\partial x}=\frac1x-\frac1y, so φ=ln⁡∣x∣−xy+ψ1(y)\varphi = \ln|x|-\frac{x}{y}+\psi_1(y)
  • ∂φ∂y=xy2\frac{\partial \varphi}{\partial y}=\frac{x}{y^2}, so φ=−xy+ψ2(x)\varphi = -\frac{x}{y}+\psi_2(x)

So, for instance, φ=ln⁡∣x∣−xy\varphi=\ln |x| - \frac{x}{y} is a potential for F\mathbf{F}.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 3권 · 6.3절 · 9번우리말 번역

다음 연습문제에서 벡터장이 보존적인지 판단하고, 보존적이면 퍼텐셜 함수를 구하세요.

F(x,y)=(−y+exsin⁡y)i+[(x+2)excos⁡y]j\text{F}(x,y)=(-y+{e}^{x}\sin y)\text{i}+[(x+2){e}^{x}\cos y]\text{j}

다 풀었으면 정답 확인

보존적이지 않다

이 문제로 이어서 풀기
# 보존 벡터장증명·논술보통자동 분류
CLP-4 Vector Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)

「보존 벡터장」 문제 목록으로