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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 벡터 미적분

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먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-4 · 2.3절 · 9번대학 수준우리말 번역

F(x,y,z)=(xx2+y2+z2)ı^+(yx2+y2+z2)ȷ^+(zx2+y2+z2)k^\mathbf{F}(x,y,z)=\left( \frac{x}{x^2+y^2+z^2}\right)\hat{\boldsymbol{\imath}}+\left( \frac{y}{x^2+y^2+z^2}\right)\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\left( \frac{z}{x^2+y^2+z^2}\right)\hat{\mathbf{k}} 의 퍼텐셜 φ(x,y,z)\varphi(x,y,z) 를 구하거나, 존재하지 않음을 증명하세요.

영어 원문 보기

Find a potential φ(x,y,z)\varphi(x,y,z) for F(x,y,z)=(xx2+y2+z2)ı^+(yx2+y2+z2)ȷ^+(zx2+y2+z2)k^,\mathbf{F}(x,y,z)=\left( \frac{x}{x^2+y^2+z^2}\right)\hat{\boldsymbol{\imath}}+\left( \frac{y}{x^2+y^2+z^2}\right)\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\left( \frac{z}{x^2+y^2+z^2}\right)\hat{\mathbf{k}}, or prove none exists.

정답·풀이 보기

φ(x,y,z)\varphi(x,y,z) 가 F(x,y,z)\mathbf{F}(x,y,z) 의 퍼텐셜이면 다음이 성립한다.

  • ∂φ∂x(x,y,z)=xx2+y2+z2\frac{\partial \varphi}{\partial x}(x,y,z)=\frac{x}{x^2+y^2+z^2} 이므로 φ(x,y,z)=12ln⁡(x2+y2+z2)+ψ1(y,z)\varphi(x,y,z) = \frac12\ln(x^2+y^2+z^2)+\psi_1(y,z)
  • ∂φ∂y(x,y,z)=yx2+y2+z2\frac{\partial \varphi}{\partial y}(x,y,z)=\frac{y}{x^2+y^2+z^2} 이므로 φ(x,y,z)=12ln⁡(x2+y2+z2)+ψ2(x,z)\varphi(x,y,z) = \frac12\ln(x^2+y^2+z^2)+\psi_2(x,z)
  • ∂φ∂z(x,y,z)=zx2+y2+z2\frac{\partial \varphi}{\partial z}(x,y,z)=\frac{z}{x^2+y^2+z^2} 이므로 φ(x,y,z)=12ln⁡(x2+y2+z2)+ψ2(x,y)\varphi(x,y,z) = \frac12\ln(x^2+y^2+z^2)+\psi_2(x,y)

따라서 예를 들어 φ(x,y,z)=12ln⁡(x2+y2+z2)\varphi(x,y,z)= \frac{1}{2}\ln(x^2+y^2+z^2) 는 F(x,y,z)\mathbf{F}(x,y,z) 의 퍼텐셜이다.

원본 교재 풀이(영어)

If φ(x,y,z)\varphi(x,y,z) is a potential for F(x,y,z)\mathbf{F}(x,y,z), then:

  • ∂φ∂x(x,y,z)=xx2+y2+z2\frac{\partial \varphi}{\partial x}(x,y,z)=\frac{x}{x^2+y^2+z^2}, so φ(x,y,z)=12ln⁡(x2+y2+z2)+ψ1(y,z)\varphi(x,y,z) = \frac12\ln(x^2+y^2+z^2)+\psi_1(y,z)
  • ∂φ∂y(x,y,z)=yx2+y2+z2\frac{\partial \varphi}{\partial y}(x,y,z)=\frac{y}{x^2+y^2+z^2}, so φ(x,y,z)=12ln⁡(x2+y2+z2)+ψ2(x,z)\varphi(x,y,z) = \frac12\ln(x^2+y^2+z^2)+\psi_2(x,z)
  • ∂φ∂z(x,y,z)=zx2+y2+z2\frac{\partial \varphi}{\partial z}(x,y,z)=\frac{z}{x^2+y^2+z^2}, so φ(x,y,z)=12ln⁡(x2+y2+z2)+ψ2(x,y)\varphi(x,y,z) = \frac12\ln(x^2+y^2+z^2)+\psi_2(x,y)

So, for instance, φ(x,y,z)=12ln⁡(x2+y2+z2)\varphi(x,y,z)= \frac{1}{2}\ln(x^2+y^2+z^2) is a potential for F(x,y,z)\mathbf{F}(x,y,z).

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 3권 · 6.3절 · 43번우리말 번역

[계산기 사용] r:[1,2]→R2\text{r}:[1,2]\to {\mathbb{R}}^{2} 가 x=et−1,y=sin⁡(πt)x={e}^{t-1},y=\sin \left(\frac{\pi }{t}\right) 로 주어졌다고 하자. 컴퓨터를 이용하여 적분 ∫CF⋅dr=∫C2x cos⁡ydx−x2sin⁡ydy{\int }_{C}\text{F}\cdot d\text{r}={\int }_{C}2x\,\cos ydx-{x}^{2}\sin ydy 의 값을 구하세요. 여기서 F=(2x cos⁡y)i−(x2sin⁡y)j\text{F}=(2x\,\cos y)\text{i}-({x}^{2}\sin y)\text{j} 이다.

다 풀었으면 정답 확인

∫CF⋅dr≈2.9923{\int }_{C}\text{F}\cdot d\text{r}\approx 2.9923

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