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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 벡터 미적분

선적분

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-4 · 2.4절 · 1번대학 수준우리말 번역

반시계 방향으로 꼭짓점이 (0,0)(0,0), (1,0)(1,0), (1,1)(1,1), (0,1)(0,1) 인 정사각형을 따라 ∫Cx2y2 dx+x3y dy\int_\mathcal{C} x^2y^2\,\mathrm{d}x+x^3y\,\mathrm{d}y 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate ∫Cx2y2 dx+x3y dy\int_\mathcal{C} x^2y^2\,\mathrm{d}x+x^3y\,\mathrm{d}y counterclockwise around the square with vertices (0,0)(0,0), (1,0)(1,0), (1,1)(1,1) and (0,1)(0,1).

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정사각형은 네 변을 가지며, 각 변은 선분이다.

  • 첫 번째 변에서는 y=0y=0 이고 dy=0\mathrm{d}y=0 이다. 즉, 첫 번째 변은 0≤x≤10\le x\le 1 에서 r(x)=x ı^\mathbf{r}(x)=x\,\hat{\boldsymbol{\imath}} 로 매개화할 수 있다.
  • 두 번째 변에서는 x=1x=1 이고 dx=0\mathrm{d}x=0 이다. 두 번째 변은 0≤y≤10\le y\le 1 에서 r(y)=ı^+y ȷ^\mathbf{r}(y)=\hat{\boldsymbol{\imath}}+y\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} 로 매개화할 수 있다.
  • 세 번째 변에서는 y=1y=1 이고 dy=0\mathrm{d}y=0 이다. 세 번째 변은 xx 가 11 에서 00 까지 변하는 r(x)=x ı^+ȷ^\mathbf{r}(x)=x\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}} 로 매개화할 수 있다.
  • 마지막 변에서는 x=0x=0 이고 dx=0\mathrm{d}x=0 이다. 네 번째 변은 yy 가 11 에서 00 까지 변하는 r(y)=y ȷ^\mathbf{r}(y)=y\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} 로 매개화할 수 있다.

그림

따라서

∫Cx2y2 dx+x3y dy=∫01x2×02 dx+∫0113×y dy+∫10x2×12 dx+∫1003×y dy=12−13=16\begin{aligned} \int_\mathcal{C} x^2y^2\,\mathrm{d}x+x^3y\,\mathrm{d}y &=\int_0^1 x^2\times 0^2\,\mathrm{d}x +\int_0^1 1^3\times y\,\mathrm{d}y +\int_1^0 x^2\times 1^2\,\mathrm{d}x +\int_1^0 0^3\times y\,\mathrm{d}y \\ &=\frac{1}{2}-\frac{1}{3} =\frac{1}{6} \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

The square has four sides, each of which is a line segment.

  • On the first side, y=0y=0 and dy=0\mathrm{d}y=0. That is, we may parametrize the first side by r(x)=x ı^\mathbf{r}(x)=x\,\hat{\boldsymbol{\imath}} with 0≤x≤10\le x\le 1.
  • On the second side, x=1x=1 and dx=0\mathrm{d}x=0. We may parametrize the second side by r(y)=ı^+y ȷ^\mathbf{r}(y)=\hat{\boldsymbol{\imath}}+y\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} with 0≤y≤10\le y\le 1.
  • On the third side, y=1y=1 and dy=0\mathrm{d}y=0. We may parametrize the third side by r(x)=x ı^+ȷ^\mathbf{r}(x)=x\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}} with xx running from 11 to 00.
  • On the final side, x=0x=0 and dx=0\mathrm{d}x=0. We may parametrize the fourth side by r(y)=y ȷ^\mathbf{r}(y)=y\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} with yy running from 11 to 00.

figure

So

∫Cx2y2 dx+x3y dy=∫01x2×02 dx+∫0113×y dy+∫10x2×12 dx+∫1003×y dy=12−13=16\begin{aligned} \int_\mathcal{C} x^2y^2\,\mathrm{d}x+x^3y\,\mathrm{d}y &=\int_0^1 x^2\times 0^2\,\mathrm{d}x +\int_0^1 1^3\times y\,\mathrm{d}y +\int_1^0 x^2\times 1^2\,\mathrm{d}x +\int_1^0 0^3\times y\,\mathrm{d}y \\ &=\frac{1}{2}-\frac{1}{3} =\frac{1}{6} \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-4 · 2.4절 · 34번우리말 번역

아래 선적분의 값을 구하세요. (어떤 방법을 써도 좋습니다.)

(a) ∫C(x2+y) dx+x dy\int_C (x^2 + y)\,\mathrm{d}x + x\,\mathrm{d}y, 여기서 CC 는 포물선 y=9−x2y = 9 - x^2 의 호로서 (−3,0)(-3, 0) 에서 (3,0)(3, 0) 까지이다. (b) ∫CF⋅n^ ds\int_C \mathbf{F} \cdot\hat{\mathbf{n}}\, \mathrm{d}s, 여기서 F(x,y)=2x2ı^+yexȷ^\mathbf{F}(x, y) = 2x^2\hat{\boldsymbol{\imath}} + ye^x\hat{\boldsymbol{\jmath}} 이고, CC 는 정사각형 0≤x≤10 \le x \le 1, 0≤y≤10 \le y \le 1 의 경계이다. 여기서 n^\hat{\mathbf{n}} 은 정사각형의 바깥쪽을 향하는 단위법선벡터이고, ss 는 호의 길이이다.

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(a)
(b)
다 풀었으면 정답 확인

(a) 매개변수화

r(x)=x ı^+(9−x2) ȷ^\mathbf{r}(x) = x\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +(9-x^2)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}

를 이용하여 적분을 직접 계산하자. 단, −3≤x≤3-3\le x \le 3 이다.

r′(x)=ı^−2x ȷ^\mathbf{r}'(x) = \hat{\boldsymbol{\imath}} -2x\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} 이므로

∫C(x2+y) dx+x dy=∫−33(x2 + 9−x2⏞y +x(−2x)⏞dydx) dx=∫−33(9−2x2) dx=2∫03(9−2x2) dx=2(27−2333)=18\begin{aligned} \int_C (x^2 + y)\,\mathrm{d}x + x\,\mathrm{d}y &=\int_{-3}^3 \big(x^2\ +\ \overbrace{9-x^2}^{y}\ +x\overbrace{(-2x)}^{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}\big)\,\mathrm{d}x =\int_{-3}^3 \big(9-2x^2\big)\,\mathrm{d}x \\ &=2\int_0^3 \big(9-2x^2\big)\,\mathrm{d}x =2\left(27-2\frac{3^3}{3}\right) =18 \end{aligned}

(b) 이 풀이에서는 적분을 직접 계산한다. 그림과 같이 정사각형의 네 변을 L1L_1, L2L_2, L3L_3, L4L_4 라 하자.

그림

L1L_1 을 호의 길이로 매개변수화하면 r(s)=s ı^\mathbf{r}(s) = s\,\hat{\boldsymbol{\imath}}, 0≤s≤10\le s\le 1 이다. L1L_1 에서 바깥쪽을 향하는 법선벡터는 −ȷ^-\hat{\boldsymbol{\jmath}} 이므로

∫L1F⋅n^ ds=∫01F(s,0)⋅(−ȷ^) ds=∫01(−0) ds=0\begin{aligned} \int_{L_1} \mathbf{F} \cdot\hat{\mathbf{n}}\, \mathrm{d}s =\int_0^1 \mathbf{F}(s,0) \cdot(-\hat{\boldsymbol{\jmath}})\, \mathrm{d}s =\int_0^1 (-0)\, \mathrm{d}s =0 \end{aligned}

L2L_2 를 호의 길이로 매개변수화하면 r(s)=ı^+s ȷ^\mathbf{r}(s) = \hat{\boldsymbol{\imath}}+s\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}, 0≤s≤10\le s\le 1 이다. L2L_2 에서 바깥쪽을 향하는 법선벡터는 ı^\hat{\boldsymbol{\imath}} 이므로

∫L2F⋅n^ ds=∫01F(1,s)⋅ı^ ds=∫012 ds=2\begin{aligned} \int_{L_2} \mathbf{F} \cdot\hat{\mathbf{n}}\, \mathrm{d}s =\int_0^1 \mathbf{F}(1,s) \cdot \hat{\boldsymbol{\imath}}\, \mathrm{d}s =\int_0^1 2\, \mathrm{d}s =2 \end{aligned}

L3L_3 을 ((1,1)(1,1) 에서 시작하여) 호의 길이로 매개변수화하면 r(s)=(1−s) ı^+ȷ^\mathbf{r}(s) = (1-s)\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}}, 0≤s≤10\le s\le 1 이다. L3L_3 에서 바깥쪽을 향하는 법선벡터는 ȷ^\hat{\boldsymbol{\jmath}} 이므로

∫L3F⋅n^ ds=∫01F(1−s,1)⋅ȷ^ ds=∫01e1−s ds=[−e1−s]01=e−1\begin{aligned} \int_{L_3} \mathbf{F} \cdot\hat{\mathbf{n}}\, \mathrm{d}s =\int_0^1 \mathbf{F}(1-s,1) \cdot\hat{\boldsymbol{\jmath}}\, \mathrm{d}s =\int_0^1 e^{1-s}\, \mathrm{d}s =\Big[-e^{1-s}\Big]_0^1 =e-1 \end{aligned}

L4L_4 를 ((0,1)(0,1) 에서 시작하여) 호의 길이로 매개변수화하면 r(s)=(1−s) ȷ^\mathbf{r}(s) = (1-s)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}, 0≤s≤10\le s\le 1 이다. L4L_4 에서 바깥쪽을 향하는 법선벡터는 −ı^-\hat{\boldsymbol{\imath}} 이므로

∫L2F⋅n^ ds=∫01F(0,1−s)⋅(−ı^) ds=∫01(−0) ds=0\begin{aligned} \int_{L_2} \mathbf{F} \cdot\hat{\mathbf{n}}\, \mathrm{d}s =\int_0^1 \mathbf{F}(0,1-s) \cdot(- \hat{\boldsymbol{\imath}})\, \mathrm{d}s =\int_0^1 (-0)\, \mathrm{d}s =0 \end{aligned}

모두 합하면

∫CF⋅n^ ds=∫L1F⋅n^ ds+∫L2F⋅n^ ds+∫L3F⋅n^ ds+∫L4F⋅n^ ds=0+2+(e−1)+0=e+1\begin{aligned} \int_C \mathbf{F} \cdot\hat{\mathbf{n}}\, \mathrm{d}s &= \int_{L_1} \mathbf{F} \cdot\hat{\mathbf{n}}\, \mathrm{d}s +\int_{L_2} \mathbf{F} \cdot\hat{\mathbf{n}}\, \mathrm{d}s +\int_{L_3} \mathbf{F} \cdot\hat{\mathbf{n}}\, \mathrm{d}s +\int_{L_4} \mathbf{F} \cdot\hat{\mathbf{n}}\, \mathrm{d}s \\ &= 0+2+(e-1) +0 =e+1 \end{aligned}

이 문제로 이어서 풀기
# 선적분계산기본자동 분류
CLP-4 Vector Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)

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