선적분 연습문제 — CLP-4 · 2.4절 · 3번

CLP-4 · 2.4절 · 3번대학 수준우리말 번역

$\varphi(x,y,z)=e^{x^2+y^2}+\cos(z^2)$ 이라 하고, $\mathbf{F} = { \boldsymbol{\nabla} } \varphi$ 로 정의하자. 중심이 $(1,2,3)$ 이고 점 $(\sqrt5-1,-2,\sqrt5-3)$ , $((\sqrt5-2)/2,-1/2,(\sqrt5-6)/2)$ , $(-2,\sqrt 3-2,\sqrt3-3)$ 을 지나며 시계 방향으로 도는 타원인 닫힌 곡선 $C$ 에 대하여 $\int_C\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Let $\varphi(x,y,z)=e^{x^2+y^2}+\cos(z^2)$ , and define $\mathbf{F} = { \boldsymbol{\nabla} } \varphi$ . Evaluate $\int_C\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}$ over the closed curve $C$ that is an ellipse traversed clockwise, centred at $(1,2,3)$ , passing through the points $(\sqrt5-1,-2,\sqrt5-3)$ , $((\sqrt5-2)/2,-1/2,(\sqrt5-6)/2)$ , and $(-2,\sqrt 3-2,\sqrt3-3)$ .

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$\mathbf{F}$ 는 보존적이므로 임의의 닫힌 곡선 $C$ 에 대하여 $\int_C\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}=0$ 이다. 주어진 곡선은 닫힌 곡선이므로 적분값은 단순히 0이다.

원본 교재 풀이(영어)

Since $\mathbf{F}$ is conservative, $\int_C\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}=0$ over any closed curve $C$ . The given curve is closed, so the integral is simply zero.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-4 · 2.4절 · 1번우리말 번역

반시계 방향으로 꼭짓점이 $(0,0)$ , $(1,0)$ , $(1,1)$ , $(0,1)$ 인 정사각형을 따라 $\int_\mathcal{C} x^2y^2\,\mathrm{d}x+x^3y\,\mathrm{d}y$ 의 값을 구하세요.

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정사각형은 네 변을 가지며, 각 변은 선분이다.

첫 번째 변에서는 $y=0$ 이고 $\mathrm{d}y=0$ 이다. 즉, 첫 번째 변은 $0\le x\le 1$ 에서 $\mathbf{r}(x)=x\,\hat{\boldsymbol{\imath}}$ 로 매개화할 수 있다.
두 번째 변에서는 $x=1$ 이고 $\mathrm{d}x=0$ 이다. 두 번째 변은 $0\le y\le 1$ 에서 $\mathbf{r}(y)=\hat{\boldsymbol{\imath}}+y\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}$ 로 매개화할 수 있다.
세 번째 변에서는 $y=1$ 이고 $\mathrm{d}y=0$ 이다. 세 번째 변은 $x$ 가 $1$ 에서 $0$ 까지 변하는 $\mathbf{r}(x)=x\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}}$ 로 매개화할 수 있다.
마지막 변에서는 $x=0$ 이고 $\mathrm{d}x=0$ 이다. 네 번째 변은 $y$ 가 $1$ 에서 $0$ 까지 변하는 $\mathbf{r}(y)=y\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}$ 로 매개화할 수 있다.

따라서

$\begin{aligned} \int_\mathcal{C} x^2y^2\,\mathrm{d}x+x^3y\,\mathrm{d}y &=\int_0^1 x^2\times 0^2\,\mathrm{d}x +\int_0^1 1^3\times y\,\mathrm{d}y +\int_1^0 x^2\times 1^2\,\mathrm{d}x +\int_1^0 0^3\times y\,\mathrm{d}y \\ &=\frac{1}{2}-\frac{1}{3} =\frac{1}{6} \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

# 선적분계산기본자동 분류