선적분 연습문제 — CLP-4 · 2.4절 · 8번

CLP-4 · 2.4절 · 8번대학 수준우리말 번역

힘의 장 $\mathbf{F}=(x+y)\hat{\boldsymbol{\imath}}+(x-z)\hat{\boldsymbol{\jmath}}+(z-y)\hat{\mathbf{k}}$ 가 물체를 $(1,0,-1)$ 에서 $(0,-2,3)$ 까지 움직일 때 한 일 $\int_\mathcal{C}\mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}$ 을 구하세요. 한 일은 $(1,0,-1)$ 에서 $(0,-2,3)$ 까지 가는 데 사용한 경로에 따라 달라지나요?

영어 원문 보기

Find the work, $\int_\mathcal{C}\mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}$ , done by the force field $\mathbf{F}=(x+y)\hat{\boldsymbol{\imath}}+(x-z)\hat{\boldsymbol{\jmath}}+(z-y)\hat{\mathbf{k}}$ in moving an object from $(1,0,-1)$ to $(0,-2,3)$ . Does the work done depend on the path used to get from $(1,0,-1)$ to $(0,-2,3)$ ?

정답·풀이 보기

여기서 핵심은 $\mathbf{F}$ 가 보존장이라는 것이다.

$\mathbf{F}=\nabla\phi$ 이고

$\phi=\frac{x^2}{2}+yx-yz+\frac{z^2}{2}$

이다. 따라서 $\mathbf{r}(t_0)=(1,0,-1)$ 에서 $\mathbf{r}(t_1)=(0,-2,3)$ 까지의 모든 경로에 대해

$\begin{aligned} \int_\mathcal{C}\mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r} =\phi\big(\mathbf{r}(t_1)\big)-\phi\big(\mathbf{r}(t_0)\big) &=\phi(0, -2, 3)-\phi(1,0,-1) \\ &=\left[0+0+6+\frac{9}{2}\right]-\left[\frac{1}{2}+0-0+\frac{1}{2}\right] \\ &=9\frac{1}{2} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

The point here is that $\mathbf{F}$ is conservative, as $\mathbf{F}=\nabla\phi$ with

$\phi=\frac{x^2}{2}+yx-yz+\frac{z^2}{2}$

So, for all paths from $\mathbf{r}(t_0)=(1,0,-1)$ to $\mathbf{r}(t_1)=(0,-2,3)$ ,

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-4 · 2.4절 · 3번우리말 번역

$\varphi(x,y,z)=e^{x^2+y^2}+\cos(z^2)$ 이라 하고, $\mathbf{F} = { \boldsymbol{\nabla} } \varphi$ 로 정의하자. 중심이 $(1,2,3)$ 이고 점 $(\sqrt5-1,-2,\sqrt5-3)$ , $((\sqrt5-2)/2,-1/2,(\sqrt5-6)/2)$ , $(-2,\sqrt 3-2,\sqrt3-3)$ 을 지나며 시계 방향으로 도는 타원인 닫힌 곡선 $C$ 에 대하여 $\int_C\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}$ 의 값을 구하세요.

답 쓰고 채점

다 풀었으면 정답 확인

$\mathbf{F}$ 는 보존적이므로 임의의 닫힌 곡선 $C$ 에 대하여 $\int_C\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}=0$ 이다. 주어진 곡선은 닫힌 곡선이므로 적분값은 단순히 0이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 선적분계산기본자동 분류