선적분 연습문제 — CLP-4 · 2.4절 · 9번

CLP-4 · 2.4절 · 9번대학 수준우리말 번역

벡터장

$\mathbf{V}(x, y) = (e^x \cos y + x^2, x^2y + 3)$

을 생각하세요. $(0, 0)$ 에서 $(1,0)$ 을 거쳐 $(1, \pi)$ 로, 마지막으로 $(0, \pi)$ 로 직선 선분을 따라 움직여 얻은 방향이 있는 곡선 $C$ 를 따라 선적분 $\int_C\mathbf{V}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Consider the vector field

$\mathbf{V}(x, y) = (e^x \cos y + x^2, x^2y + 3)$

Evaluate the line integral $\int_C\mathbf{V}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}$ along the oriented curve $C$ obtained by moving from $(0, 0)$ to $(1,0)$ to $(1, \pi)$ and finally to $(0, \pi)$ along straight line segments.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

다음에 주목한다.

$(0, 0)$ 에서 $(1,0)$ 까지의 선분을 따라 $x$ 는 $0$ 에서 $1$ 까지 증가하고, $y$ 는 $y=0$ 으로 고정된다. 따라서 이 선분을 $\mathbf{r}(x) = x\,\hat{\boldsymbol{\imath}}$ , $0\le x\le 1$ 로 매개화할 수 있다.
$(1, 0)$ 에서 $(1,\pi)$ 까지의 선분을 따라 $y$ 는 $0$ 에서 $\pi$ 까지 증가하고, $x$ 는 $x=1$ 로 고정된다. 따라서 이 선분을 $\mathbf{r}(x) = \hat{\boldsymbol{\imath}} + y\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}$ , $0\le y\le\pi$ 로 매개화할 수 있다.
$(1, \pi)$ 에서 $(0,\pi)$ 까지의 선분을 따라 $x$ 는 $1$ 에서 $0$ 까지 감소하고, $y$ 는 $y=\pi$ 로 고정된다. 따라서 이 선분을 $x$ 가 $1$ 에서 $0$ 까지 변하는 $\mathbf{r}(x) = x\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+\pi\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}$ 로 매개화할 수 있다.

그러므로

$\begin{aligned} \int_C \mathbf{V}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r} &=\int_0^1 \mathbf{V}(x,0)\cdot\hat{\boldsymbol{\imath}}\ \mathrm{d}x+\int_0^\pi \mathbf{V}(1,y)\cdot\hat{\boldsymbol{\jmath}}\ \mathrm{d}y +\int_1^0 \mathbf{V}(x,\pi)\cdot\hat{\boldsymbol{\imath}}\ \mathrm{d}x\\ &=\int_0^1 (e^x+x^2)\ \mathrm{d}x +\int_0^\pi (y+3)\ \mathrm{d}y+\int_1^0 (-e^x+x^2)\ \mathrm{d}x\\ &=2\int_0^1 e^x\ \mathrm{d}x+\int_0^\pi (y+3)\ \mathrm{d}y\\ &=2(e-1)+\frac{\pi^2}{2}+3\pi \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

Note that:

Along the line segment from $(0, 0)$ to $(1,0)$ , $x$ increases from $0$ to $1$ , while $y$ is held fixed at $y=0$ . So we may parametrize this segment by $\mathbf{r}(x) = x\,\hat{\boldsymbol{\imath}}$ , $0\le x\le 1$ .
Along the line segment from $(1, 0)$ to $(1,\pi)$ , $y$ increases from $0$ to $\pi$ , while $x$ is held fixed at $x=1$ . So we may parametrize this segment by $\mathbf{r}(x) = \hat{\boldsymbol{\imath}} + y\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}$ , $0\le y\le\pi$ .
Along the line segment from $(1, \pi)$ to $(0,\pi)$ , $x$ decreases from $1$ to $0$ , while $y$ is held fixed at $y=\pi$ . So we may parametrize this segment by $\mathbf{r}(x) = x\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+\pi\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}$ with $x$ running from $1$ to $0$ .

Hence

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-4 · 2.4절 · 8번우리말 번역

힘의 장 $\mathbf{F}=(x+y)\hat{\boldsymbol{\imath}}+(x-z)\hat{\boldsymbol{\jmath}}+(z-y)\hat{\mathbf{k}}$ 가 물체를 $(1,0,-1)$ 에서 $(0,-2,3)$ 까지 움직일 때 한 일 $\int_\mathcal{C}\mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}$ 을 구하세요. 한 일은 $(1,0,-1)$ 에서 $(0,-2,3)$ 까지 가는 데 사용한 경로에 따라 달라지나요?

다 풀었으면 정답 확인

여기서 핵심은 $\mathbf{F}$ 가 보존장이라는 것이다.

$\mathbf{F}=\nabla\phi$ 이고

$\phi=\frac{x^2}{2}+yx-yz+\frac{z^2}{2}$

이다. 따라서 $\mathbf{r}(t_0)=(1,0,-1)$ 에서 $\mathbf{r}(t_1)=(0,-2,3)$ 까지의 모든 경로에 대해

$\begin{aligned} \int_\mathcal{C}\mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r} =\phi\big(\mathbf{r}(t_1)\big)-\phi\big(\mathbf{r}(t_0)\big) &=\phi(0, -2, 3)-\phi(1,0,-1) \\ &=\left[0+0+6+\frac{9}{2}\right]-\left[\frac{1}{2}+0-0+\frac{1}{2}\right] \\ &=9\frac{1}{2} \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

# 선적분계산보통자동 분류