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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 벡터 미적분

선적분

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-4 · 2.4절 · 10번대학 수준우리말 번역

다음 각 경우에 대해 ∫CF⋅dr\int_\mathcal{C}\mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r} 의 값을 구하세요.

(a) F(x,y)=xy ı^−x2 ȷ^\mathbf{F}(x,y)=xy\,\hat{\boldsymbol{\imath}}-x^2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} 이고, y=x2y=x^2 을 따라 (0,0)(0,0) 에서 (1,1)(1,1) 까지. (b) F(x,y,z)=(x−z) ı^+(y−z) ȷ^−(x+y) k^\mathbf{F}(x,y,z)=(x-z)\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+(y-z)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}-(x+y)\,\hat{\mathbf{k}} 이고, (0,0,0)(0,0,0) 에서 (1,0,0)(1,0,0) 을 거쳐 (1,1,0)(1,1,0) 을 지나 (1,1,1)(1,1,1) 까지 가는 꺾은선 경로를 따라.

영어 원문 보기

Evaluate ∫CF⋅dr\int_\mathcal{C}\mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r} for

(a) F(x,y)=xy ı^−x2 ȷ^\mathbf{F}(x,y)=xy\,\hat{\boldsymbol{\imath}}-x^2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} along y=x2y=x^2 from (0,0)(0,0) to (1,1)(1,1). (b) F(x,y,z)=(x−z) ı^+(y−z) ȷ^−(x+y) k^\mathbf{F}(x,y,z)=(x-z)\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+(y-z)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}-(x+y)\,\hat{\mathbf{k}} along the polygonal path from (0,0,0)(0,0,0) to (1,0,0)(1,0,0) to (1,1,0)(1,1,0) to (1,1,1)(1,1,1).

답 쓰고 채점
(a)
(b)
정답·풀이 보기

(a) 곡선을 r(t)=t ı^+t2 ȷ^\mathbf{r}(t)=t\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+t^2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}, 0≤t≤10\le t\le 1 로 매개화할 수 있다. 그러면 v(t)=drdt(t)=ı^+2t ȷ^\mathbf{v}(t)=\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}(t)=\hat{\boldsymbol{\imath}}+2t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} 이고 F(x(t),y(t))=t3 ı^−t2 ȷ^\mathbf{F}\big(x(t),y(t)\big)=t^3\,\hat{\boldsymbol{\imath}}-t^2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} 이므로

∫CF⋅dr=∫01F(x(t),y(t))⋅drdt(t) dt=∫01[t3 ı^−t2 ȷ^]⋅[ı^+2t ȷ^] dt=∫01[−t3] dt=−14\begin{aligned} \int_\mathcal{C}\mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r} &=\int_0^1 \mathbf{F}\big(x(t),y(t)\big)\cdot \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}(t)\ \mathrm{d}t =\int_0^1\big[t^3\,\hat{\boldsymbol{\imath}}-t^2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}\big] \cdot\big[\hat{\boldsymbol{\imath}}+2t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}\big]\,\mathrm{d}t =\int_0^1\big[-t^3\big]\,\mathrm{d}t \\ &=-\frac{1}{4} \end{aligned}

(b) 경로는 세 선분의 합이다.

  • 경로의 첫 번째 선분에서는 y=z=0y=z=0 이므로 F\mathbf{F} 는 x ı^−x k^x\,\hat{\boldsymbol{\imath}}-x\,\hat{\mathbf{k}} 로 간단해지고 dr=ı^ dx\mathrm{d}\mathbf{r}=\hat{\boldsymbol{\imath}}\ \mathrm{d}x 이다 (즉, 경로의 첫 번째 선분을 r(x)=x ı^\mathbf{r}(x)=x\,\hat{\boldsymbol{\imath}}, 0≤x≤10\le x\le 1 로 매개화할 수 있다). 따라서 F⋅dr=x dx\mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}=x\,\mathrm{d}x 이다.
  • 경로의 두 번째 선분에서는 x=1x=1, z=0z=0 이므로 F\mathbf{F} 는 ı^+yȷ^−(1+y)k^\hat{\boldsymbol{\imath}}+y\hat{\boldsymbol{\jmath}}-(1+y)\hat{\mathbf{k}} 로 간단해지고 dr=ȷ^ dy\mathrm{d}\mathbf{r}=\hat{\boldsymbol{\jmath}}\, \mathrm{d}y 이다 (경로의 두 번째 선분을 r(y)=ı^+y ȷ^ \mathbf{r}(y)=\hat{\boldsymbol{\imath}}+y\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}, 0≤y≤10\le y\le 1 로 매개화한다). 따라서 F⋅dr=y dy\mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}=y\,\mathrm{d}y 이다.
  • 경로의 마지막 선분에서는 x=y=1x=y=1 이므로 F\mathbf{F} 는 (1−z)ı^+(1−z)ȷ^−2k^(1-z)\hat{\boldsymbol{\imath}}+(1-z)\hat{\boldsymbol{\jmath}}-2\hat{\mathbf{k}} 로 간단해지고 dr=k^ dz\mathrm{d}\mathbf{r}=\hat{\mathbf{k}}\, \mathrm{d}z 이다 (경로의 세 번째 선분을 r(z)=ı^+ȷ^+z k^ \mathbf{r}(z)=\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}}+z\,\hat{\mathbf{k}}, 0≤z≤10\le z\le 1 로 매개화한다). 따라서 F⋅dr=−2 dz\mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}=-2\,\mathrm{d}z 이다.

그러므로

∫CF⋅dr=∫01x dx+∫01y dy+∫01(−2) dz=12+12−2=−1\int_\mathcal{C}\mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}=\int_0^1 x\,\mathrm{d}x +\int_0^1 y\,\mathrm{d}y+\int_0^1(-2)\,\mathrm{d}z =\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-2 =-1

원본 교재 풀이(영어)

(a) We may parametrize the curve by r(t)=t ı^+t2 ȷ^\mathbf{r}(t)=t\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+t^2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} with 0≤t≤10\le t\le 1. Then v(t)=drdt(t)=ı^+2t ȷ^\mathbf{v}(t)=\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}(t)=\hat{\boldsymbol{\imath}}+2t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} and F(x(t),y(t))=t3 ı^−t2 ȷ^\mathbf{F}\big(x(t),y(t)\big)=t^3\,\hat{\boldsymbol{\imath}}-t^2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} so

∫CF⋅dr=∫01F(x(t),y(t))⋅drdt(t) dt=∫01[t3 ı^−t2 ȷ^]⋅[ı^+2t ȷ^] dt=∫01[−t3] dt=−14\begin{aligned} \int_\mathcal{C}\mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r} &=\int_0^1 \mathbf{F}\big(x(t),y(t)\big)\cdot \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}(t)\ \mathrm{d}t =\int_0^1\big[t^3\,\hat{\boldsymbol{\imath}}-t^2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}\big] \cdot\big[\hat{\boldsymbol{\imath}}+2t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}\big]\,\mathrm{d}t =\int_0^1\big[-t^3\big]\,\mathrm{d}t \\ &=-\frac{1}{4} \end{aligned}

(b) The path is the union of three line segments.

  • On the first segment of the path y=z=0y=z=0 so F\mathbf{F} simplifies to x ı^−x k^x\,\hat{\boldsymbol{\imath}}-x\,\hat{\mathbf{k}} and dr=ı^ dx\mathrm{d}\mathbf{r}=\hat{\boldsymbol{\imath}}\ \mathrm{d}x (i.e. we can parametrize the first segment of the path by r(x)=x ı^\mathbf{r}(x)=x\,\hat{\boldsymbol{\imath}} with 0≤x≤10\le x\le 1), so F⋅dr=x dx\mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}=x\,\mathrm{d}x.
  • On the second segment of the path x=1x=1, z=0z=0 so F\mathbf{F} simplifies to ı^+yȷ^−(1+y)k^\hat{\boldsymbol{\imath}}+y\hat{\boldsymbol{\jmath}}-(1+y)\hat{\mathbf{k}} and dr=ȷ^ dy\mathrm{d}\mathbf{r}=\hat{\boldsymbol{\jmath}}\, \mathrm{d}y (parametrize the second segment of the path by r(y)=ı^+y ȷ^ \mathbf{r}(y)=\hat{\boldsymbol{\imath}}+y\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} with 0≤y≤10\le y\le 1), so F⋅dr=y dy\mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}=y\,\mathrm{d}y.
  • On the final segment of the path x=y=1x=y=1 so F\mathbf{F} simplifies to (1−z)ı^+(1−z)ȷ^−2k^(1-z)\hat{\boldsymbol{\imath}}+(1-z)\hat{\boldsymbol{\jmath}}-2\hat{\mathbf{k}} and dr=k^ dz\mathrm{d}\mathbf{r}=\hat{\mathbf{k}}\, \mathrm{d}z (parametrize the third segment of the path by r(z)=ı^+ȷ^+z k^ \mathbf{r}(z)=\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}}+z\,\hat{\mathbf{k}} with 0≤z≤10\le z\le 1), so F⋅dr=−2 dz\mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}=-2\,\mathrm{d}z.

So

∫CF⋅dr=∫01x dx+∫01y dy+∫01(−2) dz=12+12−2=−1\int_\mathcal{C}\mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}=\int_0^1 x\,\mathrm{d}x +\int_0^1 y\,\mathrm{d}y+\int_0^1(-2)\,\mathrm{d}z =\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-2 =-1

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-4 · 2.4절 · 11번우리말 번역

C\mathcal{C} 를 xyz=8xyz=8 과 x=2yx=2y 의 교선 중에서 두 점 (2,1,4)(2,1,4) 와 (4,2,1)(4,2,1) 사이에 놓인 부분이라고 하자. 다음을 계산하세요. ∫CF⋅dr\int_\mathcal{C} \mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r} 여기서 F=x2 ı^+(x−2y) ȷ^+x2y k^\mathbf{F} = x^2\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+(x-2y)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+x^2 y\,\hat{\mathbf{k}}

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yy 를 매개변수로 하여 곡선을 매개변수로 나타낸다. 그러면 y=ty=t, x=2y=2tx=2y=2t, z=8xy=82t2z=\frac{8}{xy}=\frac{8}{2t^2} 이므로:

r(t)=2t ı^+t ȷ^+4t2 k^,1≤t≤2r′(t)=2 ı^+ȷ^−8t3 k^F(r(t))=4t2 ı^+4t3 k^F(r(t))⋅r′(t)=8t2−32\begin{aligned} \mathbf{r}(t)&=2t\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\frac{4}{t^2}\,\hat{\mathbf{k}},\qquad 1\le t\le 2\\ \mathbf{r}'(t)&=2\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}}-\frac{8}{t^3}\,\hat{\mathbf{k}}\\ \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))&= 4t^2\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+4t^3\,\hat{\mathbf{k}}\\ \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t)&=8t^2-32 \end{aligned}

따라서 ∫CF⋅dr=∫12F(r(t))⋅r′(t) dt=∫12(8t2−32) dt=[83t3−32t]12=−403\int_\mathcal{C} \mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r} =\int_1^2 \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t)\ \mathrm{d}t =\int_1^2 \big(8t^2-32\big)\ \mathrm{d}t = \left[\frac{8}{3}t^3-32t\right]_1^2 =-\frac{40}{3}

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CLP-4 Vector Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)

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