선적분 연습문제 — CLP-4 · 2.4절 · 18번

CLP-4 · 2.4절 · 18번대학 수준우리말 번역

적분

$\begin{aligned} \int_C xy \,\mathrm{d}x + yz \,\mathrm{d}y + zx \,\mathrm{d}z \end{aligned}$

의 값을 구하세요. 단, $C$ 는 꼭짓점이 $(1, 0, 0)$ , $(0, 1, 0)$ , $(0, 0, 1)$ 인 삼각형의 둘레이고, 점 $(1, 1, 1)$ 에서 볼 때 시계 방향으로 향하는 곡선이다.

영어 원문 보기

Evaluate the integral

$\begin{aligned} \int_C xy \,\mathrm{d}x + yz \,\mathrm{d}y + zx \,\mathrm{d}z \end{aligned}$

around the triangle with vertices $(1, 0, 0)$ , $(0, 1, 0)$ , and $(0, 0, 1)$ , oriented clockwise as seen from the point $(1, 1, 1)$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

다음은 $C$ 의 개략적인 그림이다.

다음에 주목한다.

$(1, 0, 0)$ 에서 $(0,0,1)$ 까지의 선분 위에서 $y=0$ 이므로 적분은 그 선분 위에서 $\int zx \,\mathrm{d}z$ 로 간단해진다.
$(0,0,1)$ 에서 $(0, 1, 0)$ 까지의 선분 위에서 $x=0$ 이므로 적분은 그 선분 위에서 $\int yz \,\mathrm{d}y$ 로 간단해진다.
$(0, 1, 0)$ 에서 $(1, 0, 0)$ 까지의 선분 위에서 $z=0$ 이므로 적분은 그 선분 위에서 $\int xy \,\mathrm{d}x$ 로 간단해진다.

따라서 적분을 직접 계산할 수 있어 보인다. 위의 그림과 같이 삼각형의 변을 $C_1$ , $C_2$ , $C_3$ 이라 하자.

$C_1$ 을 $\mathbf{r}(t) = (1,0,0) + t[(0,0,1)-(1,0,0)] = (1-t\,,\,0\,,\,t)$ , $0\le t\le 1$ 로 매개화한다. 그러므로

$\begin{aligned} \int_{C_1} xy \,\mathrm{d}x + yz \,\mathrm{d}y + zx \,\mathrm{d}z &= \int_{C_1} zx \,\mathrm{d}z =\int_0^1 \overbrace{(1-t)}^{x} \overbrace{(t)}^{z} \overbrace{(1)}^{z'(t)}\,\mathrm{d}t =\int_0^1 (t-t^2)\,\mathrm{d}t \\ &=\frac{1}{2}-\frac{1}{3} =\frac{1}{6} \end{aligned}$

$C_2$ 를 $\mathbf{r}(t) = (0,0,1) + t[(0,1,0)-(0,0,1)] = (0\,,\,t\,,\,1-t)$ , $0\le t\le 1$ 로 매개화한다. 그러므로

$\begin{aligned} \int_{C_2} xy \,\mathrm{d}x + yz \,\mathrm{d}y + zx \,\mathrm{d}z &= \int_{C_2} yz \,\mathrm{d}y =\int_0^1 \overbrace{(t)}^{y} \overbrace{(1-t)}^{z} \overbrace{(1)}^{y'(t)}\,\mathrm{d}t =\int_0^1 (t-t^2)\,\mathrm{d}t \\ &=\frac{1}{2}-\frac{1}{3} =\frac{1}{6} \end{aligned}$

$C_3$ 을 $\mathbf{r}(t) = (0,1,0) + t[(1,0,0)-(0,1,0)] = (t\,,\,1-t\,,\,0)$ , $0\le t\le 1$ 로 매개화한다. 그러므로

$\begin{aligned} \int_{C_3} xy \,\mathrm{d}x + yz \,\mathrm{d}y + zx \,\mathrm{d}z &= \int_{C_3} xy \,\mathrm{d}x =\int_0^1 \overbrace{(t)}^{x} \overbrace{(1-t)}^{y} \overbrace{(1)}^{x'(t)}\,\mathrm{d}t =\int_0^1 (t-t^2)\,\mathrm{d}t \\ &=\frac{1}{2}-\frac{1}{3} =\frac{1}{6} \end{aligned}$

모두 합하면

$\begin{aligned} \int_{C} xy \,\mathrm{d}x + yz \,\mathrm{d}y + zx \,\mathrm{d}z &=\sum_{\ell=1}^3\int_{C_\ell} xy \,\mathrm{d}x + yz \,\mathrm{d}y + zx \,\mathrm{d}z =3\times\frac{1}{6}=\frac{1}{2} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

Here is a sketch of $C$ .

Note that

$y=0$ on the line segment from $(1, 0, 0)$ to $(0,0,1)$ so that the integral reduces to $\int zx \,\mathrm{d}z$ on that line segment and
$x=0$ on the line segment from $(0,0,1)$ to $(0, 1, 0)$ so that the integral reduces to $\int yz \,\mathrm{d}y$ on that line segment and
$z=0$ on the line segment from $(0, 1, 0)$ to $(1, 0, 0)$ so that the integral reduces to $\int xy \,\mathrm{d}x$ on that line segment.

So it looks feasible to evaluate the integral directly. Label the sides of the triangle $C_1$ , $C_2$ and $C_3$ as in the sketch above.

We parametrize $C_1$ by $\mathbf{r}(t) = (1,0,0) + t[(0,0,1)-(1,0,0)] = (1-t\,,\,0\,,\,t)$ , $0\le t\le 1$ . So

We parametrize $C_2$ by $\mathbf{r}(t) = (0,0,1) + t[(0,1,0)-(0,0,1)] = (0\,,\,t\,,\,1-t)$ , $0\le t\le 1$ . So

We parametrize $C_3$ by $\mathbf{r}(t) = (0,1,0) + t[(1,0,0)-(0,1,0)] = (t\,,\,1-t\,,\,0)$ , $0\le t\le 1$ . So

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한 번 더 — 비슷한 문제CLP-4 · 2.4절 · 19번우리말 번역

선적분 $\int_C \mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}$ 의 값을 구하세요. 여기서 $\mathbf{F}$ 는 보존 벡터장

$\mathbf{F} (x, y, z) = \big(y + ze^x , x + e^y \sin z, z + e^x + e^y \cos z\big)$

이고 $C$ 는 다음 매개변수 표현으로 주어진 곡선이다.

$\mathbf{r}(t) = (t, e^t , \sin t),\qquad \text{$t$ 는 $0$ 에서 $\pi$ 까지} .$

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다 풀었으면 정답 확인

$\mathbf{F}$ 가 보존적이라고 주어져 있다. ${ \boldsymbol{\nabla} }\varphi = \mathbf{F}$ 를 만족하는 퍼텐셜 $\varphi$ 를 찾자. 즉,

$\begin{aligned} \frac{\partial\varphi}{\partial x} &= y + ze^x \\ \frac{\partial\varphi}{\partial y} &= x + e^y \sin z \\ \frac{\partial\varphi}{\partial z} &= z + e^x + e^y \cos z \end{aligned}$

첫째 식으로부터 $\varphi(x,y,z) = xy +ze^x +\psi(y,z)$ 이다. 이를 둘째 식에 대입하면 $x+\frac{\partial\psi}{\partial y}(y,z) = x + e^y \sin z$ 즉 $\frac{\partial\psi}{\partial y}(y,z) = e^y \sin z$ 이므로 $\psi(y,z) = e^y\sin z +\zeta(z)$ 이다. 따라서 지금까지 $\varphi(x,y,z) = xy +ze^x +e^y\sin z +\zeta(z)$ 를 얻었다. 이를 셋째 식에 대입하면 $e^x +e^y\cos z +\zeta'(z) = z + e^x + e^y \cos z$ 즉 $\zeta'(z) = z$ 이므로 어떤 상수 $C$ 에 대해 $\zeta(z) = \frac{z^2}{2}+C$ 이고, 여기서 $C$ 는 0으로 택한다. 따라서 퍼텐셜은

$\varphi(x,y,z) = xy +ze^x +e^y\sin z +\frac{z^2}{2}$

이다. 그러므로 선적분은

$\int_C \mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r} =\varphi\big(\mathbf{r}(\pi)\big) -\varphi\big(\mathbf{r}(0)\big) =\varphi\big(\pi,e^\pi,0\big) -\varphi\big(0,1,0\big) =\pi e^\pi$

이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 선적분계산보통자동 분류