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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 벡터 미적분

선적분

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-4 · 2.4절 · 19번대학 수준우리말 번역

선적분 ∫CF⋅dr\int_C \mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r} 의 값을 구하세요. 여기서 F\mathbf{F} 는 보존 벡터장

F(x,y,z)=(y+zex,x+eysin⁡z,z+ex+eycos⁡z)\mathbf{F} (x, y, z) = \big(y + ze^x , x + e^y \sin z, z + e^x + e^y \cos z\big)

이고 CC 는 다음 매개변수 표현으로 주어진 곡선이다.

r(t)=(t,et,sin⁡t),t 는 0 에서 π 까지.\mathbf{r}(t) = (t, e^t , \sin t),\qquad \text{$t$ 는 $0$ 에서 $\pi$ 까지} .

영어 원문 보기

Evaluate the line integral ∫CF⋅dr\int_C \mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}, where F\mathbf{F} is the conservative vector field

F(x,y,z)=(y+zex,x+eysin⁡z,z+ex+eycos⁡z)\mathbf{F} (x, y, z) = \big(y + ze^x , x + e^y \sin z, z + e^x + e^y \cos z\big)

and CC is the curve given by the parametrization

r(t)=(t,et,sin⁡t),t from 0 to π.\mathbf{r}(t) = (t, e^t , \sin t),\qquad \text{$t$ from $0$ to $\pi$} .

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F\mathbf{F} 가 보존적이라고 주어져 있다. ∇φ=F{ \boldsymbol{\nabla} }\varphi = \mathbf{F} 를 만족하는 퍼텐셜 φ\varphi 를 찾자. 즉,

∂φ∂x=y+zex∂φ∂y=x+eysin⁡z∂φ∂z=z+ex+eycos⁡z\begin{aligned} \frac{\partial\varphi}{\partial x} &= y + ze^x \\ \frac{\partial\varphi}{\partial y} &= x + e^y \sin z \\ \frac{\partial\varphi}{\partial z} &= z + e^x + e^y \cos z \end{aligned}

첫째 식으로부터 φ(x,y,z)=xy+zex+ψ(y,z)\varphi(x,y,z) = xy +ze^x +\psi(y,z) 이다. 이를 둘째 식에 대입하면 x+∂ψ∂y(y,z)=x+eysin⁡zx+\frac{\partial\psi}{\partial y}(y,z) = x + e^y \sin z 즉 ∂ψ∂y(y,z)=eysin⁡z\frac{\partial\psi}{\partial y}(y,z) = e^y \sin z 이므로 ψ(y,z)=eysin⁡z+ζ(z)\psi(y,z) = e^y\sin z +\zeta(z) 이다. 따라서 지금까지 φ(x,y,z)=xy+zex+eysin⁡z+ζ(z)\varphi(x,y,z) = xy +ze^x +e^y\sin z +\zeta(z) 를 얻었다. 이를 셋째 식에 대입하면 ex+eycos⁡z+ζ′(z)=z+ex+eycos⁡ze^x +e^y\cos z +\zeta'(z) = z + e^x + e^y \cos z 즉 ζ′(z)=z\zeta'(z) = z 이므로 어떤 상수 CC 에 대해 ζ(z)=z22+C\zeta(z) = \frac{z^2}{2}+C 이고, 여기서 CC 는 0으로 택한다. 따라서 퍼텐셜은

φ(x,y,z)=xy+zex+eysin⁡z+z22\varphi(x,y,z) = xy +ze^x +e^y\sin z +\frac{z^2}{2}

이다. 그러므로 선적분은

∫CF⋅dr=φ(r(π))−φ(r(0))=φ(π,eπ,0)−φ(0,1,0)=πeπ\int_C \mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r} =\varphi\big(\mathbf{r}(\pi)\big) -\varphi\big(\mathbf{r}(0)\big) =\varphi\big(\pi,e^\pi,0\big) -\varphi\big(0,1,0\big) =\pi e^\pi

이다.

원본 교재 풀이(영어)

We are told that F\mathbf{F} is conservative. Let's find a potential φ\varphi obeying ∇φ=F{ \boldsymbol{\nabla} }\varphi = \mathbf{F}. That is,

∂φ∂x=y+zex∂φ∂y=x+eysin⁡z∂φ∂z=z+ex+eycos⁡z\begin{aligned} \frac{\partial\varphi}{\partial x} &= y + ze^x \\ \frac{\partial\varphi}{\partial y} &= x + e^y \sin z \\ \frac{\partial\varphi}{\partial z} &= z + e^x + e^y \cos z \end{aligned}

The first equation forces φ(x,y,z)=xy+zex+ψ(y,z)\varphi(x,y,z) = xy +ze^x +\psi(y,z). Substituting this into the second equation gives x+∂ψ∂y(y,z)=x+eysin⁡zx+\frac{\partial\psi}{\partial y}(y,z) = x + e^y \sin z or ∂ψ∂y(y,z)=eysin⁡z\frac{\partial\psi}{\partial y}(y,z) = e^y \sin z which forces ψ(y,z)=eysin⁡z+ζ(z)\psi(y,z) = e^y\sin z +\zeta(z). So far, we have φ(x,y,z)=xy+zex+eysin⁡z+ζ(z)\varphi(x,y,z) = xy +ze^x +e^y\sin z +\zeta(z). Substituting this into the third equation gives ex+eycos⁡z+ζ′(z)=z+ex+eycos⁡ze^x +e^y\cos z +\zeta'(z) = z + e^x + e^y \cos z or ζ′(z)=z\zeta'(z) = z which forces ζ(z)=z22+C\zeta(z) = \frac{z^2}{2}+C, for some constant CC, which we take to be zero. So our potential is

φ(x,y,z)=xy+zex+eysin⁡z+z22\varphi(x,y,z) = xy +ze^x +e^y\sin z +\frac{z^2}{2}

So the line integral

∫CF⋅dr=φ(r(π))−φ(r(0))=φ(π,eπ,0)−φ(0,1,0)=πeπ\int_C \mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r} =\varphi\big(\mathbf{r}(\pi)\big) -\varphi\big(\mathbf{r}(0)\big) =\varphi\big(\pi,e^\pi,0\big) -\varphi\big(0,1,0\big) =\pi e^\pi

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-4 · 2.4절 · 10번우리말 번역

다음 각 경우에 대해 ∫CF⋅dr\int_\mathcal{C}\mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r} 의 값을 구하세요.

(a) F(x,y)=xy ı^−x2 ȷ^\mathbf{F}(x,y)=xy\,\hat{\boldsymbol{\imath}}-x^2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} 이고, y=x2y=x^2 을 따라 (0,0)(0,0) 에서 (1,1)(1,1) 까지. (b) F(x,y,z)=(x−z) ı^+(y−z) ȷ^−(x+y) k^\mathbf{F}(x,y,z)=(x-z)\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+(y-z)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}-(x+y)\,\hat{\mathbf{k}} 이고, (0,0,0)(0,0,0) 에서 (1,0,0)(1,0,0) 을 거쳐 (1,1,0)(1,1,0) 을 지나 (1,1,1)(1,1,1) 까지 가는 꺾은선 경로를 따라.

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(a)
(b)
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(a) 곡선을 r(t)=t ı^+t2 ȷ^\mathbf{r}(t)=t\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+t^2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}, 0≤t≤10\le t\le 1 로 매개화할 수 있다. 그러면 v(t)=drdt(t)=ı^+2t ȷ^\mathbf{v}(t)=\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}(t)=\hat{\boldsymbol{\imath}}+2t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} 이고 F(x(t),y(t))=t3 ı^−t2 ȷ^\mathbf{F}\big(x(t),y(t)\big)=t^3\,\hat{\boldsymbol{\imath}}-t^2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} 이므로

∫CF⋅dr=∫01F(x(t),y(t))⋅drdt(t) dt=∫01[t3 ı^−t2 ȷ^]⋅[ı^+2t ȷ^] dt=∫01[−t3] dt=−14\begin{aligned} \int_\mathcal{C}\mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r} &=\int_0^1 \mathbf{F}\big(x(t),y(t)\big)\cdot \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}(t)\ \mathrm{d}t =\int_0^1\big[t^3\,\hat{\boldsymbol{\imath}}-t^2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}\big] \cdot\big[\hat{\boldsymbol{\imath}}+2t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}\big]\,\mathrm{d}t =\int_0^1\big[-t^3\big]\,\mathrm{d}t \\ &=-\frac{1}{4} \end{aligned}

(b) 경로는 세 선분의 합이다.

  • 경로의 첫 번째 선분에서는 y=z=0y=z=0 이므로 F\mathbf{F} 는 x ı^−x k^x\,\hat{\boldsymbol{\imath}}-x\,\hat{\mathbf{k}} 로 간단해지고 dr=ı^ dx\mathrm{d}\mathbf{r}=\hat{\boldsymbol{\imath}}\ \mathrm{d}x 이다 (즉, 경로의 첫 번째 선분을 r(x)=x ı^\mathbf{r}(x)=x\,\hat{\boldsymbol{\imath}}, 0≤x≤10\le x\le 1 로 매개화할 수 있다). 따라서 F⋅dr=x dx\mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}=x\,\mathrm{d}x 이다.
  • 경로의 두 번째 선분에서는 x=1x=1, z=0z=0 이므로 F\mathbf{F} 는 ı^+yȷ^−(1+y)k^\hat{\boldsymbol{\imath}}+y\hat{\boldsymbol{\jmath}}-(1+y)\hat{\mathbf{k}} 로 간단해지고 dr=ȷ^ dy\mathrm{d}\mathbf{r}=\hat{\boldsymbol{\jmath}}\, \mathrm{d}y 이다 (경로의 두 번째 선분을 r(y)=ı^+y ȷ^ \mathbf{r}(y)=\hat{\boldsymbol{\imath}}+y\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}, 0≤y≤10\le y\le 1 로 매개화한다). 따라서 F⋅dr=y dy\mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}=y\,\mathrm{d}y 이다.
  • 경로의 마지막 선분에서는 x=y=1x=y=1 이므로 F\mathbf{F} 는 (1−z)ı^+(1−z)ȷ^−2k^(1-z)\hat{\boldsymbol{\imath}}+(1-z)\hat{\boldsymbol{\jmath}}-2\hat{\mathbf{k}} 로 간단해지고 dr=k^ dz\mathrm{d}\mathbf{r}=\hat{\mathbf{k}}\, \mathrm{d}z 이다 (경로의 세 번째 선분을 r(z)=ı^+ȷ^+z k^ \mathbf{r}(z)=\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}}+z\,\hat{\mathbf{k}}, 0≤z≤10\le z\le 1 로 매개화한다). 따라서 F⋅dr=−2 dz\mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}=-2\,\mathrm{d}z 이다.

그러므로

∫CF⋅dr=∫01x dx+∫01y dy+∫01(−2) dz=12+12−2=−1\int_\mathcal{C}\mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}=\int_0^1 x\,\mathrm{d}x +\int_0^1 y\,\mathrm{d}y+\int_0^1(-2)\,\mathrm{d}z =\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-2 =-1

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# 선적분계산보통자동 분류
CLP-4 Vector Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)

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