선적분 연습문제 — CLP-4 · 2.4절 · 23번

CLP-4 · 2.4절 · 23번대학 수준우리말 번역

한 물리학자가 벡터장 $\mathbf{F}$ 를 연구하고 있다. 실험으로부터 $\mathbf{F}$ 는 다음 꼴임이 알려져 있다.

$\mathbf{F} = (x - a)ye^x\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + (xe^x + z^3 )\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + byz^2\,\hat{\mathbf{k}}$

여기서 $a$ 와 $b$ 는 어떤 실수이다. 이론적 고찰로부터 $\mathbf{F}$ 가 보존적임이 알려져 있다.

(a) $a$ 와 $b$ 를 구하세요. (b) ${ \boldsymbol{\nabla} } f = \mathbf{F}$ 를 만족시키는 퍼텐셜 $f(x,y,z)$ 를 구하세요. (c) $C$ 가 다음과 같이 정의된 곡선일 때, 선적분 $\int_C\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}$ 의 값을 구하세요.

$\mathbf{r}(t) = \big(t\,,\, \cos 2t\,,\, \cos t\big), \qquad 0 \le t \le \pi$ (d) 다음 선적분의 값을 구하세요.

$I = \int_C (x + 1)ye^x \,\mathrm{d}x + (xe^x + z^3 ) \,\mathrm{d}y + 4yz^2 \,\mathrm{d}z,$

여기서 $C$ 는 (c)와 같은 곡선이다. [참고: 마지막 항의 "4"는 오타가 아니다!]

영어 원문 보기

A physicist studies a vector field $\mathbf{F}$ . From experiments, it is known that $\mathbf{F}$ is of the form

$\mathbf{F} = (x - a)ye^x\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + (xe^x + z^3 )\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + byz^2\,\hat{\mathbf{k}}$

where $a$ and $b$ are some real numbers. From theoretical considerations, it is known that $\mathbf{F}$ is conservative.

(a) Determine $a$ and $b$ . (b) Find a potential $f(x,y,z)$ such that ${ \boldsymbol{\nabla} } f = \mathbf{F}$ . (c) Evaluate the line intgeral $\int_C\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}$ where $C$ is the curve defined by

$\mathbf{r}(t) = \big(t\,,\, \cos 2t\,,\, \cos t\big), \qquad 0 \le t \le \pi$ (d) Evaluate the line integral

$I = \int_C (x + 1)ye^x \,\mathrm{d}x + (xe^x + z^3 ) \,\mathrm{d}y + 4yz^2 \,\mathrm{d}z,$

where $C$ is the same curve as in part (c). [Note: the “4” in the last term is not a misprint!].

정답·풀이 보기

(a) $\mathbf{F}$ 가 보존적이려면 다음 판정 조건을 만족해야 한다.

$\begin{aligned} \mathbf{0} = { \boldsymbol{\nabla} }\times\mathbf{F} &=\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} &\hat{\boldsymbol{\jmath}} &\hat{\mathbf{k}} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z} \\ (x - a)ye^x & xe^x + z^3 & byz^2 \end{matrix} \right] \\ &= \big(bz^2-3z^2)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} -\big(0-0\big)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +\big(e^x+xe^x-(x-a)e^x\big)\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}$

이것이 성립하기 위한 필요충분조건은 $b=3$ 이고 $a=-1$ 인 것이다.

(b) $a=-1$ , $b=3$ 으로 놓는다. $f$ 가 $\mathbf{F}$ 의 퍼텐셜이려면 다음을 만족해야 한다.

$\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial x}(x,y,z) &= (x + 1)ye^x \\ \frac{\partial f}{\partial y}(x,y,z) &= xe^x + z^3 \\ \frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z) &= 3yz^2 \end{aligned}$

이 중 두 번째 식을 적분하면 다음을 얻는다.

$f(x,y,z) = xye^x + yz^3 +g(x,z)$

이것을 마지막 식에 대입하면 다음과 같다.

$3yz^2+\frac{\partial g}{\partial z}(x,z) = 3yz^2\qquad\text{또는}\qquad \frac{\partial g}{\partial z}(x,z)=0$

따라서 다음이 성립한다.

$g(x,z) = h(x)$

마지막으로 $f(x,y,z) = xye^x + yz^3 + h(x)$ 를 첫 번째 식에 대입하면 다음과 같다.

$xye^x + ye^x + h'(x) =(x + 1)ye^x \quad\text{또는}\quad h'(x) = 0$

따라서 $h(x) = C$ 이고, $f(x,y,z) = xye^x + yz^3 + C$ 는 임의의 상수 $C$ 에 대해 퍼텐셜이 된다.

$\begin{aligned} \int_C\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r} &=\int_C{ \boldsymbol{\nabla} } f\cdot\mathrm{d}\mathbf{r} =f\big(\mathbf{r}(\pi)) - f(\big(\mathbf{r}(0)\big) =f(\pi,1,-1)-f(0,1,1) \\ &=\big[\pi e^\pi -1 \big]-\big[ 1\big] =\pi e^\pi-2 \end{aligned}$

이다.

(d) 다음이 성립하므로

$\int_C\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r} =\int_C (x + 1)ye^x \,\mathrm{d}x + (xe^x + z^3 ) \,\mathrm{d}y + 3yz^2 \,\mathrm{d}z$

다음을 얻는다.

$\begin{aligned} I &= \int_C\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r} + \int_C yz^2\mathrm{d}z \\ &= \pi e^\pi-2 +\int_0^\pi \overbrace{(\cos 2t)}^{y} \overbrace{\cos^2 t}^{z^2} \overbrace{(-\sin t)\,\mathrm{d}t}^{\mathrm{d}z} \\ &= \pi e^\pi-2 +\int_0^\pi (2\cos^2t-1) \cos^2 t (-\sin t)\,\mathrm{d}t \\ &= \pi e^\pi-2 +\int_1^{-1} (2u^2-1)u^2\,\mathrm{d}u \qquad\text{여기서 } u=\cos t,\ \mathrm{d}u=-\sin t\,\mathrm{d}t \\ &= \pi e^\pi-2 +\Big[\frac{2u^5}{5} -\frac{u^3}{3}\Big]_{1}^{-1}\\ &= \pi e^\pi-2 +\Big[-\frac{4}{5} +\frac{2}{3}\Big] \\ &= \pi e^\pi -\frac{32}{15} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

(a) For $\mathbf{F}$ to be conservative, it must pass the screening test

This is the case if and only if $b=3$ and $a=-1$

(b) Set $a=-1$ and $b=3$ . For $f$ to be a potential for $\mathbf{F}$ , it must obey

$\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial x}(x,y,z) &= (x + 1)ye^x \\ \frac{\partial f}{\partial y}(x,y,z) &= xe^x + z^3 \\ \frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z) &= 3yz^2 \end{aligned}$

Integrating the second of these equations gives

$f(x,y,z) = xye^x + yz^3 +g(x,z)$

Substituting this into the last equation gives

$3yz^2+\frac{\partial g}{\partial z}(x,z) = 3yz^2\qquad\text{or}\qquad \frac{\partial g}{\partial z}(x,z)=0$

which forces

$g(x,z) = h(x)$

Finally, substituting $f(x,y,z) = xye^x + yz^3 + h(x)$ into the first equation gives

$xye^x + ye^x + h'(x) =(x + 1)ye^x \quad\text{or}\quad h'(x) = 0$

So $h(x) = C$ and hence $f(x,y,z) = xye^x + yz^3 + C$ works for any constant $C$ .

(d) Since

$\int_C\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r} =\int_C (x + 1)ye^x \,\mathrm{d}x + (xe^x + z^3 ) \,\mathrm{d}y + 3yz^2 \,\mathrm{d}z$

we have

$\begin{aligned} I &= \int_C\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r} + \int_C yz^2\mathrm{d}z \\ &= \pi e^\pi-2 +\int_0^\pi \overbrace{(\cos 2t)}^{y} \overbrace{\cos^2 t}^{z^2} \overbrace{(-\sin t)\,\mathrm{d}t}^{\mathrm{d}z} \\ &= \pi e^\pi-2 +\int_0^\pi (2\cos^2t-1) \cos^2 t (-\sin t)\,\mathrm{d}t \\ &= \pi e^\pi-2 +\int_1^{-1} (2u^2-1)u^2\,\mathrm{d}u \qquad\text{with } u=\cos t,\ \mathrm{d}u=-\sin t\,\mathrm{d}t \\ &= \pi e^\pi-2 +\Big[\frac{2u^5}{5} -\frac{u^3}{3}\Big]_{1}^{-1}\\ &= \pi e^\pi-2 +\Big[-\frac{4}{5} +\frac{2}{3}\Big] \\ &= \pi e^\pi -\frac{32}{15} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-4 · 2.4절 · 9번우리말 번역

벡터장

$\mathbf{V}(x, y) = (e^x \cos y + x^2, x^2y + 3)$

을 생각하세요. $(0, 0)$ 에서 $(1,0)$ 을 거쳐 $(1, \pi)$ 로, 마지막으로 $(0, \pi)$ 로 직선 선분을 따라 움직여 얻은 방향이 있는 곡선 $C$ 를 따라 선적분 $\int_C\mathbf{V}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}$ 의 값을 구하세요.

답 쓰고 채점

다 풀었으면 정답 확인

다음에 주목한다.

$(0, 0)$ 에서 $(1,0)$ 까지의 선분을 따라 $x$ 는 $0$ 에서 $1$ 까지 증가하고, $y$ 는 $y=0$ 으로 고정된다. 따라서 이 선분을 $\mathbf{r}(x) = x\,\hat{\boldsymbol{\imath}}$ , $0\le x\le 1$ 로 매개화할 수 있다.
$(1, 0)$ 에서 $(1,\pi)$ 까지의 선분을 따라 $y$ 는 $0$ 에서 $\pi$ 까지 증가하고, $x$ 는 $x=1$ 로 고정된다. 따라서 이 선분을 $\mathbf{r}(x) = \hat{\boldsymbol{\imath}} + y\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}$ , $0\le y\le\pi$ 로 매개화할 수 있다.
$(1, \pi)$ 에서 $(0,\pi)$ 까지의 선분을 따라 $x$ 는 $1$ 에서 $0$ 까지 감소하고, $y$ 는 $y=\pi$ 로 고정된다. 따라서 이 선분을 $x$ 가 $1$ 에서 $0$ 까지 변하는 $\mathbf{r}(x) = x\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+\pi\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}$ 로 매개화할 수 있다.

그러므로

$\begin{aligned} \int_C \mathbf{V}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r} &=\int_0^1 \mathbf{V}(x,0)\cdot\hat{\boldsymbol{\imath}}\ \mathrm{d}x+\int_0^\pi \mathbf{V}(1,y)\cdot\hat{\boldsymbol{\jmath}}\ \mathrm{d}y +\int_1^0 \mathbf{V}(x,\pi)\cdot\hat{\boldsymbol{\imath}}\ \mathrm{d}x\\ &=\int_0^1 (e^x+x^2)\ \mathrm{d}x +\int_0^\pi (y+3)\ \mathrm{d}y+\int_1^0 (-e^x+x^2)\ \mathrm{d}x\\ &=2\int_0^1 e^x\ \mathrm{d}x+\int_0^\pi (y+3)\ \mathrm{d}y\\ &=2(e-1)+\frac{\pi^2}{2}+3\pi \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

# 선적분계산보통자동 분류