빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 벡터 미적분

매개변수 곡면

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-4 · 3.1절 · 6번대학 수준우리말 번역

다음 곡면을 생각하세요.

  • S1S_1 은 방정식 x2+y2+z2=4x^2 + y^2 + z^2 = 4 (단, z≥0z\ge 0)로 주어지는 반구이다.
  • S2S_2 는 방정식 x2+y2=1x^2 + y^2 = 1 로 주어지는 원기둥이다.
  • S3S_3 은 방정식 z2=x2+y2z^2 = x^2 + y^2 (단, z≥0z\ge 0)로 주어지는 원뿔이다.

다음의 매개변수 표현을 생각하세요.

A. r(θ,ϕ)=(4cos⁡θsin⁡ϕ , 4sin⁡θsin⁡ϕ , 4cos⁡ϕ),0≤θ≤2π,0≤ϕ≤π/6\mathbf{r}(\theta, \phi) =\big(\sqrt{4}\cos\theta\sin\phi\,,\, \sqrt{4}\sin\theta\sin\phi\,,\, \sqrt{4}\cos\phi\big),\qquad 0\le\theta\le2\pi,\quad 0\le\phi\le\pi/6 B. r(θ,ϕ)=(4cos⁡θsin⁡ϕ , 4sin⁡θsin⁡ϕ , 4cos⁡ϕ),0≤θ≤2π,0≤ϕ≤π/4\mathbf{r}(\theta, \phi) =\big(\sqrt{4}\cos\theta\sin\phi\,,\, \sqrt{4}\sin\theta\sin\phi\,,\, \sqrt{4}\cos\phi\big),\qquad 0\le\theta\le2\pi,\quad 0\le\phi\le\pi/4 C. r(θ,ϕ)=(4cos⁡θsin⁡ϕ , 4sin⁡θsin⁡ϕ , 4cos⁡ϕ),0≤θ≤2π,0≤ϕ≤π/3\mathbf{r}(\theta, \phi) =\big(\sqrt{4}\cos\theta\sin\phi\,,\, \sqrt{4}\sin\theta\sin\phi\,,\, \sqrt{4}\cos\phi\big),\qquad 0\le\theta\le2\pi,\quad 0\le\phi\le\pi/3 D. r(θ,z)=(4−z2cos⁡θ , 4−z2sin⁡θ , z)0≤θ≤2π,1≤z≤2\mathbf{r}(\theta,z) = \big(\sqrt{4-z^2}\cos\theta\,,\,\sqrt{4-z^2}\sin\theta\,,\,z\big)\qquad 0\le\theta\le2\pi,\quad 1\le z\le 2 E. r(θ,z)=(4−z2cos⁡θ , 4−z2sin⁡θ , z)0≤θ≤2π,2≤z≤2\mathbf{r}(\theta,z) = \big(\sqrt{4-z^2}\cos\theta\,,\,\sqrt{4-z^2}\sin\theta\,,\,z\big)\qquad 0\le\theta\le2\pi,\quad \sqrt{2}\le z\le 2 F. r(θ,z)=(4−z2cos⁡θ , 4−z2sin⁡θ , z)0≤θ≤2π,3≤z≤2\mathbf{r}(\theta,z) = \big(\sqrt{4-z^2}\cos\theta\,,\,\sqrt{4-z^2}\sin\theta\,,\,z\big)\qquad 0\le\theta\le2\pi,\quad \sqrt{3}\le z\le 2 G. r(θ,z)=(zcos⁡θ , zsin⁡θ , z)0≤θ≤2π,0≤z≤1\mathbf{r}(\theta,z) = \big(z\cos\theta\,,\,z\sin\theta\,,\,z\big)\qquad 0\le\theta\le2\pi,\quad 0\le z\le 1 H. r(θ,z)=(zcos⁡θ , zsin⁡θ , z)0≤θ≤2π,0≤z≤2\mathbf{r}(\theta,z) = \big(z\cos\theta\,,\,z\sin\theta\,,\,z\big)\qquad 0\le\theta\le2\pi,\quad 0\le z\le \sqrt{2} I. r(θ,z)=(zcos⁡θ , zsin⁡θ , z)0≤θ≤2π,0≤z≤3\mathbf{r}(\theta,z) = \big(z\cos\theta\,,\,z\sin\theta\,,\,z\big)\qquad 0\le\theta\le2\pi,\quad 0\le z\le \sqrt{3} J. r(x,y)=(x , y , x2+y2)x2+y2≤1\mathbf{r}(x,y) =\big(x\,,\,y\,,\,\sqrt{x^2+y^2}\big)\qquad x^2+y^2\le 1 K. r(x,y)=(x , y , x2+y2)x2+y2≤2\mathbf{r}(x,y) =\big(x\,,\,y\,,\,\sqrt{x^2+y^2}\big)\qquad x^2+y^2\le \sqrt{2} L. r(x,y)=(x , y , x2+y2)x2+y2≤2\mathbf{r}(x,y) =\big(x\,,\,y\,,\,\sqrt{x^2+y^2}\big)\qquad x^2+y^2\le 2

다음 각각에 대해, 위의 매개변수 표현 중에서 주어진 곡면의 올바른 매개변수 표현을 모두 고르세요. 각 곡면에 대해 올바른 매개변수 표현이 하나 이상 있을 수 있으며, 위의 매개변수 표현이 모두 사용되는 것은 아님에 유의하세요.

(a) S1S_1 중에서 S2S_2 의 안쪽에 있는 부분: (b) S1S_1 중에서 S3S_3 의 안쪽에 있는 부분: (c) S3S_3 중에서 S2S_2 의 안쪽에 있는 부분: (d) S3S_3 중에서 S1S_1 의 안쪽에 있는 부분:

영어 원문 보기

Consider the following surfaces

  • S1S_1 is the hemisphere given by the equation x2+y2+z2=4x^2 + y^2 + z^2 = 4 with z≥0z\ge 0.
  • S2S_2 is the cylinder given by the equation x2+y2=1x^2 + y^2 = 1.
  • S3S_3 is the cone given by the equation z2=x2+y2z^2 = x^2 + y^2 with z≥0z\ge 0.

Consider the following parameterizations:

A. r(θ,ϕ)=(4cos⁡θsin⁡ϕ , 4sin⁡θsin⁡ϕ , 4cos⁡ϕ),0≤θ≤2π,0≤ϕ≤π/6\mathbf{r}(\theta, \phi) =\big(\sqrt{4}\cos\theta\sin\phi\,,\, \sqrt{4}\sin\theta\sin\phi\,,\, \sqrt{4}\cos\phi\big),\qquad 0\le\theta\le2\pi,\quad 0\le\phi\le\pi/6 B. r(θ,ϕ)=(4cos⁡θsin⁡ϕ , 4sin⁡θsin⁡ϕ , 4cos⁡ϕ),0≤θ≤2π,0≤ϕ≤π/4\mathbf{r}(\theta, \phi) =\big(\sqrt{4}\cos\theta\sin\phi\,,\, \sqrt{4}\sin\theta\sin\phi\,,\, \sqrt{4}\cos\phi\big),\qquad 0\le\theta\le2\pi,\quad 0\le\phi\le\pi/4 C. r(θ,ϕ)=(4cos⁡θsin⁡ϕ , 4sin⁡θsin⁡ϕ , 4cos⁡ϕ),0≤θ≤2π,0≤ϕ≤π/3\mathbf{r}(\theta, \phi) =\big(\sqrt{4}\cos\theta\sin\phi\,,\, \sqrt{4}\sin\theta\sin\phi\,,\, \sqrt{4}\cos\phi\big),\qquad 0\le\theta\le2\pi,\quad 0\le\phi\le\pi/3 D. r(θ,z)=(4−z2cos⁡θ , 4−z2sin⁡θ , z)0≤θ≤2π,1≤z≤2\mathbf{r}(\theta,z) = \big(\sqrt{4-z^2}\cos\theta\,,\,\sqrt{4-z^2}\sin\theta\,,\,z\big)\qquad 0\le\theta\le2\pi,\quad 1\le z\le 2 E. r(θ,z)=(4−z2cos⁡θ , 4−z2sin⁡θ , z)0≤θ≤2π,2≤z≤2\mathbf{r}(\theta,z) = \big(\sqrt{4-z^2}\cos\theta\,,\,\sqrt{4-z^2}\sin\theta\,,\,z\big)\qquad 0\le\theta\le2\pi,\quad \sqrt{2}\le z\le 2 F. r(θ,z)=(4−z2cos⁡θ , 4−z2sin⁡θ , z)0≤θ≤2π,3≤z≤2\mathbf{r}(\theta,z) = \big(\sqrt{4-z^2}\cos\theta\,,\,\sqrt{4-z^2}\sin\theta\,,\,z\big)\qquad 0\le\theta\le2\pi,\quad \sqrt{3}\le z\le 2 G. r(θ,z)=(zcos⁡θ , zsin⁡θ , z)0≤θ≤2π,0≤z≤1\mathbf{r}(\theta,z) = \big(z\cos\theta\,,\,z\sin\theta\,,\,z\big)\qquad 0\le\theta\le2\pi,\quad 0\le z\le 1 H. r(θ,z)=(zcos⁡θ , zsin⁡θ , z)0≤θ≤2π,0≤z≤2\mathbf{r}(\theta,z) = \big(z\cos\theta\,,\,z\sin\theta\,,\,z\big)\qquad 0\le\theta\le2\pi,\quad 0\le z\le \sqrt{2} I. r(θ,z)=(zcos⁡θ , zsin⁡θ , z)0≤θ≤2π,0≤z≤3\mathbf{r}(\theta,z) = \big(z\cos\theta\,,\,z\sin\theta\,,\,z\big)\qquad 0\le\theta\le2\pi,\quad 0\le z\le \sqrt{3} J. r(x,y)=(x , y , x2+y2)x2+y2≤1\mathbf{r}(x,y) =\big(x\,,\,y\,,\,\sqrt{x^2+y^2}\big)\qquad x^2+y^2\le 1 K. r(x,y)=(x , y , x2+y2)x2+y2≤2\mathbf{r}(x,y) =\big(x\,,\,y\,,\,\sqrt{x^2+y^2}\big)\qquad x^2+y^2\le \sqrt{2} L. r(x,y)=(x , y , x2+y2)x2+y2≤2\mathbf{r}(x,y) =\big(x\,,\,y\,,\,\sqrt{x^2+y^2}\big)\qquad x^2+y^2\le 2

For each of the following, choose from above all of the valid parameterization of each of the given surfaces. Note that there may be one or more valid parameterization for each surface, and not necessarily all of the above parameterizations will be used.

(a) The part of S1S_1 contained inside S2S_2: (b) The part of S1S_1 contained inside S3S_3: (c) The part of S3S_3 contained inside S2S_2: (d) The part of S3S_3 contained inside S1S_1:

정답·풀이 보기

먼저 다음에 유의한다.

  • A, B, C에서 r(θ,ϕ)=x(θ,ϕ) ı^+y(θ,ϕ) ȷ^+z(θ,ϕ) k^\mathbf{r}(\theta, \phi) =x(\theta, \phi)\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+ y(\theta, \phi)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+z(\theta, \phi)\,\hat{\mathbf{k}} 는

x(θ,ϕ)2+y(θ,ϕ)2+z(θ,ϕ)2=4x(\theta, \phi)^2+ y(\theta, \phi)^2+z(\theta, \phi)^2 = 4

를 만족하므로 S1S_1 위에 있다.

  • D, E, F에서 r(θ,z)=x(θ,z) ı^+y(θ,z) ȷ^+z(θ,z) k^\mathbf{r}(\theta, z) =x(\theta, z)\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+ y(\theta, z)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+z(\theta, z)\,\hat{\mathbf{k}} 는

x(θ,z)2+y(θ,z)2=4−z(θ,z)2x(\theta, z)^2+ y(\theta, z)^2=4-z(\theta, z)^2

을 만족하므로 S1S_1 위에 있다.

  • G, H, I에서 r(θ,z)=x(θ,z) ı^+y(θ,z) ȷ^+z(θ,z) k^\mathbf{r}(\theta, z) =x(\theta, z)\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+ y(\theta, z)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+z(\theta, z)\,\hat{\mathbf{k}} 는

x(θ,z)2+y(θ,z)2=z(θ,z)2x(\theta, z)^2+ y(\theta, z)^2=z(\theta, z)^2

을 만족하므로 S3S_3 위에 있다.

  • J, K, L에서 r(x,y)=x(x,y) ı^+y(x,y) ȷ^+z(x,y) k^\mathbf{r}(x, y) =x(x, y)\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+ y(x, y)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+z(x, y)\,\hat{\mathbf{k}} 는

x(x,y)2+y(x,y)2=z(x,y)2x(x, y)^2+ y(x, y)^2=z(x, y)^2

을 만족하므로 S3S_3 위에 있다.

(a) S1S_1 의 일부를 얻으려면 매개변수 표현 A, B, C, D, E, F 중 하나를 써야 한다. A, B, C의 경우, r(θ,ϕ)=x(θ,ϕ) ı^+y(θ,ϕ) ȷ^+z(θ,ϕ) k^\mathbf{r}(\theta, \phi) =x(\theta, \phi)\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+ y(\theta, \phi)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+z(\theta, \phi)\,\hat{\mathbf{k}} 가 S2S_2 의 안쪽에 있으려면 (S1S_1 의 모든 점에서 z(θ,ϕ)≥0z(\theta,\phi)\ge 0 이므로 0≤ϕ≤π/20\le\phi\le{\pi}/{2} 임을 떠올리면)

x(θ,ϕ)2+y(θ,ϕ)2≤1  ⟺  4sin⁡2ϕ≤1  ⟺  sin⁡ϕ≤12  ⟺  0≤ϕ≤π6\begin{aligned} x(\theta, \phi)^2 + y(\theta, \phi)^2 \le 1 &\iff 4\sin^2\phi \le 1 \iff \sin\phi \le \frac{1}{2} \iff 0\le\phi\le \frac{\pi}{6} \end{aligned}

이어야 한다.

D, E, F의 경우, r(θ,z)=x(θ,z) ı^+y(θ,z) ȷ^+z(θ,z) k^\mathbf{r}(\theta, z) =x(\theta, z)\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+ y(\theta, z)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+z(\theta, z)\,\hat{\mathbf{k}} 가 S2S_2 의 안쪽에 있으려면 (S1S_1 의 모든 점에서 z(θ,z)≥0z(\theta,z)\ge 0 이므로 z≥0z\ge 0 임을 떠올리면)

x(θ,z)2+y(θ,z)2≤1  ⟺  4−z2≤1  ⟺  z≥3\begin{aligned} x(\theta, z)^2 + y(\theta, z)^2 \le 1 &\iff 4-z^2 \le 1 \iff z \ge \sqrt{3} \end{aligned}

이어야 한다.

따라서 매개변수 표현 A와 F가 알맞다.

(b) S1S_1 의 일부를 얻으려면 매개변수 표현 A, B, C, D, E, F 중 하나를 써야 한다. A, B, C의 경우, r(θ,ϕ)=x(θ,ϕ) ı^+y(θ,ϕ) ȷ^+z(θ,ϕ) k^\mathbf{r}(\theta, \phi) =x(\theta, \phi)\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+ y(\theta, \phi)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+z(\theta, \phi)\,\hat{\mathbf{k}} 가 S3S_3 의 안쪽에 있으려면 (S1S_1 의 모든 점에서 z(θ,ϕ)≥0z(\theta,\phi)\ge 0 이므로 0≤ϕ≤π/20\le\phi\le{\pi}/{2} 임을 떠올리면)

x(θ,ϕ)2+y(θ,ϕ)2≤z(θ,ϕ)2  ⟺  4sin⁡2ϕ≤4cos⁡2ϕ  ⟺  tan⁡ϕ≤1  ⟺  0≤ϕ≤π4\begin{aligned} x(\theta, \phi)^2 + y(\theta, \phi)^2 \le z(\theta,\phi)^2 &\iff 4\sin^2\phi \le 4\cos^2\phi \iff \tan\phi \le 1 \iff 0\le\phi\le \frac{\pi}{4} \end{aligned}

이어야 한다.

D, E, F의 경우, r(θ,z)=x(θ,z) ı^+y(θ,z) ȷ^+z(θ,z) k^\mathbf{r}(\theta, z) =x(\theta, z)\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+ y(\theta, z)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+z(\theta, z)\,\hat{\mathbf{k}} 가 S3S_3 의 안쪽에 있으려면 (S1S_1 의 모든 점에서 z(θ,z)≥0z(\theta,z)\ge 0 이므로 z≥0z\ge 0 임을 떠올리면)

x(θ,z)2+y(θ,z)2≤z(θ,z)2  ⟺  4−z2≤z2  ⟺  z≥2\begin{aligned} x(\theta, z)^2 + y(\theta, z)^2 \le z(\theta, z)^2 &\iff 4-z^2 \le z^2 \iff z \ge \sqrt{2} \end{aligned}

이어야 한다.

따라서 매개변수 표현 B와 E가 알맞다.

(c) S3S_3 의 일부를 얻으려면 매개변수 표현 G, H, I, J, K, L 중 하나를 써야 한다. G, H, I의 경우, r(θ,z)=x(θ,z) ı^+y(θ,z) ȷ^+z(θ,z) k^\mathbf{r}(\theta, z) =x(\theta, z)\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+ y(\theta, z)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+z(\theta, z)\,\hat{\mathbf{k}} 가 S2S_2 의 안쪽에 있으려면 (S3S_3 의 모든 점에서 z≥0z\ge 0 임을 떠올리면)

x(θ,z)2+y(θ,z)2≤1  ⟺  z2≤1  ⟺  0≤z≤1\begin{aligned} x(\theta, z)^2 + y(\theta, z)^2 \le 1 &\iff z^2 \le 1 \iff 0\le z\le 1 \end{aligned}

이어야 한다.

J, K, L의 경우, r(x,y)=x(x,y) ı^+y(x,y) ȷ^+z(x,y) k^\mathbf{r}(x, y) =x(x, y)\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+ y(x, y)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+z(x, y)\,\hat{\mathbf{k}} 가 S3S_3 의 안쪽에 있으려면

x(x,y)2+y(x,y)2≤1  ⟺  x2+y2≤1\begin{aligned} x(x, y)^2 + y(x, y)^2 \le 1 &\iff x^2+y^2 \le 1 \end{aligned}

이어야 한다.

따라서 매개변수 표현 G와 J가 알맞다.

(d) S3S_3 의 일부를 얻으려면 매개변수 표현 G, H, I, J, K, L 중 하나를 써야 한다. G, H, I의 경우, r(θ,z)=x(θ,z) ı^+y(θ,z) ȷ^+z(θ,z) k^\mathbf{r}(\theta, z) =x(\theta, z)\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+ y(\theta, z)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+z(\theta, z)\,\hat{\mathbf{k}} 가 S1S_1 의 안쪽에 있으려면 (S3S_3 의 모든 점에서 z≥0z\ge 0 임을 떠올리면)

x(θ,z)2+y(θ,z)2+z(θ,z)2≤4  ⟺  2z2≤4  ⟺  0≤z≤2\begin{aligned} x(\theta, z)^2 + y(\theta, z)^2+ z(\theta, z)^2 \le 4 &\iff 2z^2 \le 4 \iff 0\le z\le \sqrt{2} \end{aligned}

이어야 한다.

J, K, L의 경우, r(x,y)=x(x,y) ı^+y(x,y) ȷ^+z(x,y) k^\mathbf{r}(x, y) =x(x, y)\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+ y(x, y)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+z(x, y)\,\hat{\mathbf{k}} 가 S3S_3 의 안쪽에 있으려면

x(x,y)2+y(x,y)2+z(x,y)2≤4  ⟺  2x2+2y2≤4\begin{aligned} x(x, y)^2 + y(x, y)^2 + z(x, y)^2 \le 4 &\iff 2x^2+2y^2 \le 4 \end{aligned}

이어야 한다.

따라서 매개변수 표현 H와 L이 알맞다.

원본 교재 풀이(영어)

First note that,

  • for A, B and C, r(θ,ϕ)=x(θ,ϕ) ı^+y(θ,ϕ) ȷ^+z(θ,ϕ) k^\mathbf{r}(\theta, \phi) =x(\theta, \phi)\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+ y(\theta, \phi)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+z(\theta, \phi)\,\hat{\mathbf{k}} obeys

x(θ,ϕ)2+y(θ,ϕ)2+z(θ,ϕ)2=4x(\theta, \phi)^2+ y(\theta, \phi)^2+z(\theta, \phi)^2 = 4

and so lies on S1S_1

  • for D, E and F, r(θ,z)=x(θ,z) ı^+y(θ,z) ȷ^+z(θ,z) k^\mathbf{r}(\theta, z) =x(\theta, z)\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+ y(\theta, z)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+z(\theta, z)\,\hat{\mathbf{k}} obeys

x(θ,z)2+y(θ,z)2=4−z(θ,z)2x(\theta, z)^2+ y(\theta, z)^2=4-z(\theta, z)^2

and so lies on S1S_1

  • for G, H and I, r(θ,z)=x(θ,z) ı^+y(θ,z) ȷ^+z(θ,z) k^\mathbf{r}(\theta, z) =x(\theta, z)\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+ y(\theta, z)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+z(\theta, z)\,\hat{\mathbf{k}} obeys

x(θ,z)2+y(θ,z)2=z(θ,z)2x(\theta, z)^2+ y(\theta, z)^2=z(\theta, z)^2

and so lies on S3S_3

  • for J, K and L, r(x,y)=x(x,y) ı^+y(x,y) ȷ^+z(x,y) k^\mathbf{r}(x, y) =x(x, y)\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+ y(x, y)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+z(x, y)\,\hat{\mathbf{k}} obeys

x(x,y)2+y(x,y)2=z(x,y)2x(x, y)^2+ y(x, y)^2=z(x, y)^2

and so lies on S3S_3

(a) To get a part of S1S_1, we need to use one of the parametrizations A, B, C, D, E, F. In the cases of A, B, C, for r(θ,ϕ)=x(θ,ϕ) ı^+y(θ,ϕ) ȷ^+z(θ,ϕ) k^\mathbf{r}(\theta, \phi) =x(\theta, \phi)\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+ y(\theta, \phi)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+z(\theta, \phi)\,\hat{\mathbf{k}} to lie inside S2S_2 we need (recalling that all points of S1S_1 have z(θ,ϕ)≥0z(\theta,\phi)\ge 0 and hence 0≤ϕ≤π/20\le\phi\le{\pi}/{2})

x(θ,ϕ)2+y(θ,ϕ)2≤1  ⟺  4sin⁡2ϕ≤1  ⟺  sin⁡ϕ≤12  ⟺  0≤ϕ≤π6\begin{aligned} x(\theta, \phi)^2 + y(\theta, \phi)^2 \le 1 &\iff 4\sin^2\phi \le 1 \iff \sin\phi \le \frac{1}{2} \iff 0\le\phi\le \frac{\pi}{6} \end{aligned}

In the cases of D, E, F, for r(θ,z)=x(θ,z) ı^+y(θ,z) ȷ^+z(θ,z) k^\mathbf{r}(\theta, z) =x(\theta, z)\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+ y(\theta, z)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+z(\theta, z)\,\hat{\mathbf{k}} to lie inside S2S_2 we need (recalling that all points of S1S_1 have z(θ,z)≥0z(\theta,z)\ge 0 and hence z≥0z\ge 0)

x(θ,z)2+y(θ,z)2≤1  ⟺  4−z2≤1  ⟺  z≥3\begin{aligned} x(\theta, z)^2 + y(\theta, z)^2 \le 1 &\iff 4-z^2 \le 1 \iff z \ge \sqrt{3} \end{aligned}

So parametrizations A and F work.

(b) To get a part of S1S_1, we need to use one of the parametrizations A, B, C, D, E, F. In the cases of A, B, C, for r(θ,ϕ)=x(θ,ϕ) ı^+y(θ,ϕ) ȷ^+z(θ,ϕ) k^\mathbf{r}(\theta, \phi) =x(\theta, \phi)\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+ y(\theta, \phi)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+z(\theta, \phi)\,\hat{\mathbf{k}} to lie inside S3S_3 we need (recalling that all points of S1S_1 have z(θ,ϕ)≥0z(\theta,\phi)\ge 0 and hence 0≤ϕ≤π/20\le\phi\le{\pi}/{2})

x(θ,ϕ)2+y(θ,ϕ)2≤z(θ,ϕ)2  ⟺  4sin⁡2ϕ≤4cos⁡2ϕ  ⟺  tan⁡ϕ≤1  ⟺  0≤ϕ≤π4\begin{aligned} x(\theta, \phi)^2 + y(\theta, \phi)^2 \le z(\theta,\phi)^2 &\iff 4\sin^2\phi \le 4\cos^2\phi \iff \tan\phi \le 1 \iff 0\le\phi\le \frac{\pi}{4} \end{aligned}

In the cases of D, E, F, for r(θ,z)=x(θ,z) ı^+y(θ,z) ȷ^+z(θ,z) k^\mathbf{r}(\theta, z) =x(\theta, z)\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+ y(\theta, z)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+z(\theta, z)\,\hat{\mathbf{k}} to lie inside S3S_3 we need (recalling that all points of S1S_1 have z(θ,z)≥0z(\theta,z)\ge 0 and hence z≥0z\ge 0)

x(θ,z)2+y(θ,z)2≤z(θ,z)2  ⟺  4−z2≤z2  ⟺  z≥2\begin{aligned} x(\theta, z)^2 + y(\theta, z)^2 \le z(\theta, z)^2 &\iff 4-z^2 \le z^2 \iff z \ge \sqrt{2} \end{aligned}

So parametrizations B and E work.

(c) To get a part of S3S_3, we need to use one of the parametrizations G, H, I, J, K, L. In the cases of G, H, I, for r(θ,z)=x(θ,z) ı^+y(θ,z) ȷ^+z(θ,z) k^\mathbf{r}(\theta, z) =x(\theta, z)\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+ y(\theta, z)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+z(\theta, z)\,\hat{\mathbf{k}} to lie inside S2S_2 we need (recalling that all points of S3S_3 have z≥0z\ge 0)

x(θ,z)2+y(θ,z)2≤1  ⟺  z2≤1  ⟺  0≤z≤1\begin{aligned} x(\theta, z)^2 + y(\theta, z)^2 \le 1 &\iff z^2 \le 1 \iff 0\le z\le 1 \end{aligned}

In the cases of J, K, L, for r(x,y)=x(x,y) ı^+y(x,y) ȷ^+z(x,y) k^\mathbf{r}(x, y) =x(x, y)\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+ y(x, y)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+z(x, y)\,\hat{\mathbf{k}} to lie inside S3S_3 we need

x(x,y)2+y(x,y)2≤1  ⟺  x2+y2≤1\begin{aligned} x(x, y)^2 + y(x, y)^2 \le 1 &\iff x^2+y^2 \le 1 \end{aligned}

So parametrizations G and J work.

(d) To get a part of S3S_3, we need to use one of the parametrizations G, H, I, J, K, L. In the cases of G, H, I, for r(θ,z)=x(θ,z) ı^+y(θ,z) ȷ^+z(θ,z) k^\mathbf{r}(\theta, z) =x(\theta, z)\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+ y(\theta, z)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+z(\theta, z)\,\hat{\mathbf{k}} to lie inside S1S_1 we need (recalling that all points of S3S_3 have z≥0z\ge 0)

x(θ,z)2+y(θ,z)2+z(θ,z)2≤4  ⟺  2z2≤4  ⟺  0≤z≤2\begin{aligned} x(\theta, z)^2 + y(\theta, z)^2+ z(\theta, z)^2 \le 4 &\iff 2z^2 \le 4 \iff 0\le z\le \sqrt{2} \end{aligned}

In the cases of J, K, L, for r(x,y)=x(x,y) ı^+y(x,y) ȷ^+z(x,y) k^\mathbf{r}(x, y) =x(x, y)\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+ y(x, y)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+z(x, y)\,\hat{\mathbf{k}} to lie inside S3S_3 we need

x(x,y)2+y(x,y)2+z(x,y)2≤4  ⟺  2x2+2y2≤4\begin{aligned} x(x, y)^2 + y(x, y)^2 + z(x, y)^2 \le 4 &\iff 2x^2+2y^2 \le 4 \end{aligned}

So parametrizations H and L work.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-4 · 3.1절 · 5번우리말 번역

SS 를 포물면 z+x2+y2=4z + x^2 + y^2 = 4 의 일부로서 평면 z=0z = 0 과 z=1z = 1 사이에 놓인 부분이라고 하자. 다음 각각이 곡면 SS 를 올바르게 매개화하는지 판단하세요.

(a) r(u,v)=u ı^+v ȷ^+(4−u2−v2) k^\mathbf{r}(u,v) = u\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + v\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + (4 - u^2 - v^2)\,\hat{\mathbf{k}}, 0≤u2+v2≤10 \le u^2 + v^2 \le 1 (b) r(u,v)=(4−u cos⁡v) ı^+(4−u sin⁡v) ȷ^+u k^\mathbf{r}(u,v) = (\sqrt{4-u}\,\cos v)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + (\sqrt{4-u}\, \sin v)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + u\,\hat{\mathbf{k}},

0≤u≤10 \le u \le 1, 0≤v≤2π0 \le v \le 2\pi (c) r(u,v)=(ucos⁡v) ı^+(usin⁡v) ȷ^+(4−u2) k^\mathbf{r}(u, v) = (u \cos v)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + (u \sin v)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + (4 - u^2 )\,\hat{\mathbf{k}}, 3≤u≤2\sqrt{3} \le u \le 2, 0≤v≤2π0 \le v \le 2\pi

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(a)
(b)
(c)
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(a) 아니요. u=v=0u=v=0 일 때 z=4z=4 는 00 과 11 사이에 있지 않다.

(b) 예. x=4−u cos⁡vx=\sqrt{4-u}\,\cos v, y=4−u sin⁡vy=\sqrt{4-u}\,\sin v, z=uz= u 이고 0≤u≤10 \le u \le 1, 0≤v≤2π0 \le v \le 2\pi 일 때 다음이 성립한다.

  • z+x2+y2=4z+x^2+y^2=4
  • 0≤z=u≤10\le z=u\le 1
  • 00 과 11 사이의 각각의 고정된 z=uz=u 에 대해, vv 가 00 에서 2π2\pi 까지 변할 때 (x,y)(x,y) 는 원 x2+y2=4−z=4−ux^2+y^2 =4-z =4-u 를 꼭 한 바퀴 돈다.

(c) 예. x=u cos⁡vx=u\,\cos v, y=u sin⁡vy=u\,\sin v, z=4−u2z= 4-u^2 이고 3≤u≤2\sqrt{3} \le u \le 2, 0≤v≤2π0 \le v \le 2\pi 일 때 다음이 성립한다.

  • z+x2+y2=4z+x^2+y^2=4
  • 0≤z=4−u2≤10\le z=4-u^2\le 1
  • 00 과 11 사이의 각각의 고정된 z=4−u2z=4-u^2 에 대해, vv 가 00 에서 2π2\pi 까지 변할 때 (x,y)(x,y) 는 원 x2+y2=4−z=u2x^2+y^2 =4-z =u^2 을 꼭 한 바퀴 돈다.
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# 매개변수 곡면계산도전자동 분류
CLP-4 Vector Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)

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