매개변수 곡면 연습문제 | 빌드라인 스쿨

1.APEX · 14.5절 · 1번대학 수준우리말 번역

방향을 줄 수 있는 곡면이 무엇인지 자신의 말로 설명하세요.

영어 원문 보기

In your own words, describe what an orientable surface is.

정답·풀이 보기

답은 다양할 수 있으나, 일반적으로 “양면”과 같은 용어가 의미 있게 포함되어야 한다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary, though generally should meaningfully include terms like “two sided”.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 14.5절 · 2번

# 매개변수 곡면개념 확인자동 분류

2.APEX · 14.5절 · 2번대학 수준우리말 번역

방향을 줄 수 없는 곡면의 예를 하나 드세요.

영어 원문 보기

Give an example of a non-orientable surface.

정답·풀이 보기

가능한 답은 많으며, 교재에서 든 예는 뫼비우스 띠이다.

원본 교재 풀이(영어)

Many possible answers exist; the one given by the book is the Mobius band.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 3.1절 · 3번

# 매개변수 곡면개념 확인자동 분류

3.APEX · 14.5절 · 3번대학 수준우리말 번역

연습문제 3–4에서, 함수 $z=f(x,y)$ 로 정의된 곡면을 $x$ - $y$ 평면의 주어진 각 영역 $R$ 위에서 매개화하세요.

$z = 3x^2y$ ;

(a) $R$ 은 $-1\leq x\leq 1$ 과 $0\leq y\leq 2$ 로 유계인 직사각형이다. (b) $R$ 은 중심이 $(1,2)$ 이고 반지름이 3인 원이다. (c) $R$ 은 꼭짓점이 $(0,0)$ , $(1,0)$ , $(0,2)$ 인 삼각형이다. (d) $R$ 은 $x$ 축과 $y = 1-x^2$ 의 그래프로 유계인 영역이다.

영어 원문 보기

In Exercises 3–4, parametrize the surface defined by the function $z=f(x,y)$ over each of the given regions $R$ of the $x$ - $y$ plane.

$z = 3x^2y$ ;

(a) $R$ is the rectangle bounded by $-1\leq x\leq 1$ and $0\leq y\leq 2$ . (b) $R$ is the circle of radius 3, centered at $(1,2)$ . (c) $R$ is the triangle with vertices $(0,0)$ , $(1,0)$ and $(0,2)$ . (d) $R$ is the region bounded by the $x$ -axis and the graph of $y = 1-x^2$ .

정답·풀이 보기

(a) $\vec r(u,v) = \langle u, v, 3u^2v\rangle$ on $-1\leq u\leq 1$ , $0\leq v\leq 2$ . (b) $\vec r(u,v) = \langle 3v\cos u+1, 3v\sin u+2, 3(3v\cos u+1)^2(3v\sin u+2)\rangle$ , on $0\leq u\leq 2\pi$ , $0\leq v\leq 1$ . (c) $\vec r(u,v) = \langle u, v(2-2u), 3u^2v(2-2u)\rangle$ on $0\leq u, v\leq 1$ . (d) $\vec r(u,v) = \langle u, v(1-u^2), 3u^2v(1-u^2)\rangle$ on $-1\leq u\leq 1$ , $0\leq v\leq 1$ .

원본 교재 풀이(영어)

(a) $\vec r(u,v) = \langle u, v, 3u^2v\rangle$ on $-1\leq u\leq 1$ , $0\leq v\leq 2$ . (b) $\vec r(u,v) = \langle 3v\cos u+1, 3v\sin u+2, 3(3v\cos u+1)^2(3v\sin u+2)\rangle$ , on $0\leq u\leq 2\pi$ , $0\leq v\leq 1$ . (c) $\vec r(u,v) = \langle u, v(2-2u), 3u^2v(2-2u)\rangle$ on $0\leq u, v\leq 1$ . (d) $\vec r(u,v) = \langle u, v(1-u^2), 3u^2v(1-u^2)\rangle$ on $-1\leq u\leq 1$ , $0\leq v\leq 1$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 3.1절 · 3번

# 매개변수 곡면그래프·표 해석자동 분류

4.APEX · 14.5절 · 4번대학 수준우리말 번역

연습문제 3–4에서, 함수 $z=f(x,y)$ 로 정의된 곡면을 $x$ - $y$ 평면의 주어진 각 영역 $R$ 위에서 매개화하세요.

$z = 4x+2y^2$ ;

(a) $R$ 은 $1\leq x\leq 4$ 와 $5\leq y\leq 7$ 로 유계인 직사각형이다. (b) $R$ 은 원점을 중심으로 하고, 길이가 8인 장축은 $x$ 축에 평행하며 길이가 6인 단축은 $y$ 축에 평행한 타원이다. (c) $R$ 은 꼭짓점이 $(0,0)$ , $(2,2)$ , $(0,4)$ 인 삼각형이다. (d) $R$ 은 원점을 중심으로 하는 반지름 2인 원과 반지름 5인 원 사이로 유계인 원환이다.

영어 원문 보기

In Exercises 3–4, parametrize the surface defined by the function $z=f(x,y)$ over each of the given regions $R$ of the $x$ - $y$ plane.

$z = 4x+2y^2$ ;

(a) $R$ is the rectangle bounded by $1\leq x\leq 4$ and $5\leq y\leq 7$ . (b) $R$ is the ellipse with major axis of length 8 parallel to the $x$ -axis, and minor axis of length 6 parallel to the $y$ -axis, centered at the origin. (c) $R$ is the triangle with vertices $(0,0)$ , $(2,2)$ and $(0,4)$ . (d) $R$ is the annulus bounded between the circles, centered at the origin, with radius 2 and radius 5.

정답·풀이 보기

(a) $\vec r(u,v) = \langle u, v, 4u+2u^2\rangle$ on $1\leq u\leq 4$ , $5\leq v\leq 7$ . (b) $\vec r(u,v) = \langle 4v\cos u, 3v\sin u, 16v\cos u+2(3v\sin u)^2\rangle$ , on $0\leq u\leq 2\pi$ , $0\leq v\leq 1$ . (c) $\vec r(u,v) = \langle u, u+v(4-2u), 4u+2\big(u+v(4-2u)\big)^2\rangle$ on $0\leq u\leq 2$ , $0\leq v\leq 1$ . (d) $\vec r(u,v) = \langle v\cos u, v\sin u, 4v\cos u + 2(v\sin u)^2\rangle$ on $0\leq u\leq 2\pi$ , $2\leq v\leq 5$ .

원본 교재 풀이(영어)

(a) $\vec r(u,v) = \langle u, v, 4u+2u^2\rangle$ on $1\leq u\leq 4$ , $5\leq v\leq 7$ . (b) $\vec r(u,v) = \langle 4v\cos u, 3v\sin u, 16v\cos u+2(3v\sin u)^2\rangle$ , on $0\leq u\leq 2\pi$ , $0\leq v\leq 1$ . (c) $\vec r(u,v) = \langle u, u+v(4-2u), 4u+2\big(u+v(4-2u)\big)^2\rangle$ on $0\leq u\leq 2$ , $0\leq v\leq 1$ . (d) $\vec r(u,v) = \langle v\cos u, v\sin u, 4v\cos u + 2(v\sin u)^2\rangle$ on $0\leq u\leq 2\pi$ , $2\leq v\leq 5$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 3.1절 · 7번

# 매개변수 곡면계산자동 분류

5.APEX · 14.5절 · 5번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–8에서는 공간에 있는 곡면 $\mathcal{S}$ 가 주어지며, 이 곡면은 함수 $z=f(x,y)$ 로 나타낼 수 없다. $\mathcal{S}$ 의 매개변수화를 구하세요.

$\mathcal{S}$ 는 꼭짓점이 $(0,0,0)$ , $(0,2,0)$ , $(0,2,1)$ , $(0,0,1)$ 인 공간의 직사각형이다.

영어 원문 보기

In Exercises 5–8, a surface $\mathcal{S}$ in space is described that cannot be defined in terms of a function $z=f(x,y)$ . Give a parametrization of $\mathcal{S}$ .

$\mathcal{S}$ is the rectangle in space with corners at $(0,0,0)$ , $(0,2,0)$ , $(0,2,1)$ and $(0,0,1)$ .

정답·풀이 보기

$\vec r(u,v) = \langle 0, u, v\rangle$ , 단 $0\leq u\leq 2$ , $0\leq v\leq 1$ .

원본 교재 풀이(영어)

$\vec r(u,v) = \langle 0, u, v\rangle$ with $0\leq u\leq 2$ , $0\leq v\leq 1$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 3.1절 · 4번

# 매개변수 곡면계산자동 분류

6.APEX · 14.5절 · 6번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–8에서는 공간에 있는 곡면 $\mathcal{S}$ 가 주어지며, 이 곡면은 함수 $z=f(x,y)$ 로 나타낼 수 없다. $\mathcal{S}$ 의 매개변수화를 구하세요.

$\mathcal{S}$ 는 꼭짓점이 $(1,0,0)$ , $(1,0,1)$ , $(0,0,1)$ 인 공간의 삼각형이다.

영어 원문 보기

In Exercises 5–8, a surface $\mathcal{S}$ in space is described that cannot be defined in terms of a function $z=f(x,y)$ . Give a parametrization of $\mathcal{S}$ .

$\mathcal{S}$ is the triangle in space with corners at $(1,0,0)$ , $(1,0,1)$ and $(0,0,1)$ .

정답·풀이 보기

$\vec r(u,v) = \langle u, 0, 1-u+vu\rangle$ , 단 $0\leq u\leq 1$ , $0\leq v\leq 1$ .

원본 교재 풀이(영어)

$\vec r(u,v) = \langle u, 0, 1-u+vu\rangle$ with $0\leq u\leq 1$ , $0\leq v\leq 1$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 3.2절 · 13번

# 매개변수 곡면계산자동 분류

7.APEX · 14.5절 · 7번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–8에서는 공간에 있는 곡면 $\mathcal{S}$ 가 주어지며, 이 곡면은 함수 $z=f(x,y)$ 로 나타낼 수 없다. $\mathcal{S}$ 의 매개변수화를 구하세요.

$\mathcal{S}$ 는 타원체 $\displaystyle \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4}+\frac{z^2}{16} = 1$ 이다.

영어 원문 보기

In Exercises 5–8, a surface $\mathcal{S}$ in space is described that cannot be defined in terms of a function $z=f(x,y)$ . Give a parametrization of $\mathcal{S}$ .

$\mathcal{S}$ is the ellipsoid $\displaystyle \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4}+\frac{z^2}{16} = 1$ .

정답·풀이 보기

$\vec r(u,v) = \langle 3\sin u\cos v, 2\sin u\sin v, 4\cos u\rangle$ , 단 $0\leq u\leq \pi$ , $0\leq v\leq 2\pi$ .

원본 교재 풀이(영어)

$\vec r(u,v) = \langle 3\sin u\cos v, 2\sin u\sin v, 4\cos u\rangle$ with $0\leq u\leq \pi$ , $0\leq v\leq 2\pi$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 3.2절 · 15번

# 매개변수 곡면계산자동 분류

8.APEX · 14.5절 · 8번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–8에서는 공간에 있는 곡면 $\mathcal{S}$ 가 주어지며, 이 곡면은 함수 $z=f(x,y)$ 로 나타낼 수 없다. $\mathcal{S}$ 의 매개변수화를 구하세요.

$\mathcal{S}$ 는 $-1 \leq y \leq 5$ 에서 타원뿔 $\displaystyle y^2= x^2+\frac{z^2}{16}$ 이다.

영어 원문 보기

In Exercises 5–8, a surface $\mathcal{S}$ in space is described that cannot be defined in terms of a function $z=f(x,y)$ . Give a parametrization of $\mathcal{S}$ .

$\mathcal{S}$ is the elliptic cone $\displaystyle y^2= x^2+\frac{z^2}{16}$ , for $-1 \leq y \leq 5$ .

정답·풀이 보기

답은 여러 가지일 수 있다. 한 가지 풀이는 $\vec r(u,v) = \langle v\cos u, v, 4v\sin u\rangle$ , 단 $0\leq u\leq 2\pi$ , $-1\leq v\leq 5$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers may vary; one solution is $\vec r(u,v) = \langle v\cos u, v, 4v\sin u\rangle$ with $0\leq u\leq 2\pi$ , $-1\leq v\leq 5$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 14.5절 · 2번

# 매개변수 곡면계산자동 분류

9.APEX · 14.5절 · 9번대학 수준우리말 번역

연습문제 9–16에서는 공간의 정의역 $D$ 가 주어진다. $D$ 의 경계를 이루는 각 곡면을 매개변수화하세요.

$D$ 는 평면 $z = \frac12(3-x)$ , $x=1$ , $y=0$ , $y=2$ , $z=0$ 으로 둘러싸인 정의역이다.

영어 원문 보기

In Exercises 9–16, a domain $D$ in space is given. Parametrize each of the bounding surfaces of $D$ .

$D$ is the domain bounded by the planes $z = \frac12(3-x)$ , $x=1$ , $y=0$ , $y=2$ and $z=0$ .

정답·풀이 보기

답은 여러 가지일 수 있다.

$z = \frac12(3-x)$ 에 대해: $\vec r(u,v) = \langle u, v , \frac12(3-u)\rangle$ , 단 $1\leq u\leq 3$ , $0\leq v\leq 2$ .

$x=1$ 에 대해: $\vec r(u,v) = \langle 0,u,v\rangle$ , 단 $0\leq u\leq 2$ , $0\leq v\leq 1$

$y=0$ 에 대해: $\vec r(u,v) = \langle u,0,v/2(3-u)\rangle$ , 단 $1\leq u\leq 3$ , $0\leq v\leq 1$

$y=2$ 에 대해: $\vec r(u,v) = \langle u,2,v/2(3-u)\rangle$ , 단 $1\leq u\leq 3$ , $0\leq v\leq 1$

$z=0$ 에 대해: $\vec r(u,v) = \langle u,v,0\rangle$ , 단 $1\leq u\leq 3$ , $0\leq v\leq 2$

원본 교재 풀이(영어)

Answers may vary.

For $z = \frac12(3-x)$ : $\vec r(u,v) = \langle u, v , \frac12(3-u)\rangle$ , with $1\leq u\leq 3$ and $0\leq v\leq 2$ .

For $x=1$ : $\vec r(u,v) = \langle 0,u,v\rangle$ , with $0\leq u\leq 2$ , $0\leq v\leq 1$

For $y=0$ : $\vec r(u,v) = \langle u,0,v/2(3-u)\rangle$ , with $1\leq u\leq 3$ , $0\leq v\leq 1$

For $y=2$ : $\vec r(u,v) = \langle u,2,v/2(3-u)\rangle$ , with $1\leq u\leq 3$ , $0\leq v\leq 1$

For $z=0$ : $\vec r(u,v) = \langle u,v,0\rangle$ , with $1\leq u\leq 3$ , $0\leq v\leq 2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 3.1절 · 1번

# 매개변수 곡면그래프·표 해석자동 분류

10.APEX · 14.5절 · 10번대학 수준우리말 번역

연습문제 9–16번에서 공간의 정의역 $D$ 가 주어져 있다. $D$ 를 둘러싸는 각 곡면을 매개변수로 나타내세요.

$D$ 는 평면 $z=2x+4y-4$ , $x=2$ , $y=1$ , $z=0$ 으로 둘러싸인 정의역이다.

영어 원문 보기

In Exercises 9–16, a domain $D$ in space is given. Parametrize each of the bounding surfaces of $D$ .

$D$ is the domain bounded by the planes $z=2x+4y-4$ , $x=2$ , $y=1$ and $z=0$ .

정답·풀이 보기

답은 여러 가지가 될 수 있다.

$z=2x+4y-4$ 에 대해: $\vec r(u,v) = \langle u, 1-u/2+uv/2, 2u+4(1-u/2+uv/2)-4\rangle$ , $0\leq u\leq 2$ , $0\leq v\leq 1$ .

$x=2$ 에 대해: $\vec r(u,v) = \langle 2,u,4uv\rangle$ , $0\leq u\leq 1$ , $0\leq v\leq 1$

$y=1$ 에 대해: $\vec r(u,v) = \langle u,1,2uv\rangle$ , $0\leq u\leq 2$ , $0\leq v\leq 1$

$z=0$ 에 대해: $\vec r(u,v) = \langle u, 1-u/2+uv/2,0\rangle$ , $0\leq u\leq 2$ , $0\leq v\leq 1$

원본 교재 풀이(영어)

Answers may vary.

For $z=2x+4y-4$ : $\vec r(u,v) = \langle u, 1-u/2+uv/2, 2u+4(1-u/2+uv/2)-4\rangle$ , with $0\leq u\leq 2$ , $0\leq v\leq 1$ .

For $x=2$ : $\vec r(u,v) = \langle 2,u,4uv\rangle$ , with $0\leq u\leq 1$ , $0\leq v\leq 1$

For $y=1$ : $\vec r(u,v) = \langle u,1,2uv\rangle$ , with $0\leq u\leq 2$ , $0\leq v\leq 1$

For $z=0$ : $\vec r(u,v) = \langle u, 1-u/2+uv/2,0\rangle$ , with $0\leq u\leq 2$ , $0\leq v\leq 1$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 3.1절 · 3번

# 매개변수 곡면그래프·표 해석자동 분류

11.APEX · 14.5절 · 11번대학 수준우리말 번역

연습문제 9–16에서 공간의 정의역 $D$ 가 주어져 있다. $D$ 의 경계를 이루는 각 곡면을 매개변수로 나타내세요.

$D$ 는 $z=2y$ , $y=4-x^2$ , $z=0$ 으로 둘러싸인 정의역이다.

영어 원문 보기

In Exercises 9–16, a domain $D$ in space is given. Parametrize each of the bounding surfaces of $D$ .

$D$ is the domain bounded by $z=2y$ , $y=4-x^2$ and $z=0$ .

정답·풀이 보기

답은 다를 수 있다.

$z=2y: \vec r(u,v) = \langle u, v(4-u^2), 2v(4-u^2)\rangle$ 에 대해 $-2\leq u\leq 2$ 이고 $0\leq v\leq 1$ 이다.

$y=4-x^2: \vec r(u,v) = \langle u, 4-u^2, 2v(4-u^2)\rangle$ 에 대해 $-2\leq u\leq 2$ 이고 $0\leq v\leq 1$ 이다.

$z=0$ : $\vec r(u,v) = \langle u, v(4-u^2), 0\rangle$ 에 대해 $-2\leq u\leq 2$ 이고 $0\leq v\leq 1$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers may vary.

For $z=2y: \vec r(u,v) = \langle u, v(4-u^2), 2v(4-u^2)\rangle$ with $-2\leq u\leq 2$ and $0\leq v\leq 1$ .

For $y=4-x^2: \vec r(u,v) = \langle u, 4-u^2, 2v(4-u^2)\rangle$ with $-2\leq u\leq 2$ and $0\leq v\leq 1$ .

For $z=0$ : $\vec r(u,v) = \langle u, v(4-u^2), 0\rangle$ with $-2\leq u\leq 2$ and $0\leq v\leq 1$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 3.2절 · 18번

# 매개변수 곡면그래프·표 해석자동 분류

12.APEX · 14.5절 · 12번대학 수준우리말 번역

연습문제 9–16번에서 공간의 정의역 $D$ 가 주어져 있다. $D$ 를 둘러싸는 각 곡면을 매개변수로 나타내세요.

$D$ 는 $y=1-z^2$ , $y=1-x^2$ , $x=0$ , $y=0$ , $z=0$ 으로 둘러싸인 정의역이다.

영어 원문 보기

In Exercises 9–16, a domain $D$ in space is given. Parametrize each of the bounding surfaces of $D$ .

$D$ is the domain bounded by $y=1-z^2$ , $y=1-x^2$ , $x=0$ , $y=0$ and $z=0$ .

정답·풀이 보기

답은 여러 가지가 될 수 있다.

$y=1-z^2$ 에 대해: $\vec r(u,v) = \langle u, v(1-u^2), \sqrt{1-v(1-u^2)}\rangle$ , $0\leq u\leq 1$ , $0\leq v\leq 1$ .

$y=1-x^2$ 에 대해: $\vec r(u,v) = \langle u, 1-u^2, uv\rangle$ , $0\leq u\leq 1$ , $0\leq v\leq 1$ .

$x=0$ 에 대해: $\vec r(u,v) = \langle 0, v(1-u^2),u\rangle$ , $0\leq u\leq 1$ , $0\leq v\leq 1$ .

$y=0$ 에 대해: $\vec r(u,v) = \langle u, 0,v\rangle$ , $0\leq u\leq 1$ , $0\leq v\leq 1$ .

$z=0$ 에 대해: $\vec r(u,v) = \langle u, v(1-u^2), 0rangle$ , $0\leq u\leq 1$ , $0\leq v\leq 1$ .

원본 교재 풀이(영어)

Answers may vary.

For $y=1-z^2$ : $\vec r(u,v) = \langle u, v(1-u^2), \sqrt{1-v(1-u^2)}\rangle$ with $0\leq u\leq 1$ and $0\leq v\leq 1$ .

For $y=1-x^2$ : $\vec r(u,v) = \langle u, 1-u^2, uv\rangle$ with $0\leq u\leq 1$ and $0\leq v\leq 1$ .

For $x=0$ : $\vec r(u,v) = \langle 0, v(1-u^2),u\rangle$ with $0\leq u\leq 1$ and $0\leq v\leq 1$ .

For $y=0$ : $\vec r(u,v) = \langle u, 0,v\rangle$ with $0\leq u\leq 1$ and $0\leq v\leq 1$ .

For $z=0$ : $\vec r(u,v) = \langle u, v(1-u^2), 0rangle$ with $0\leq u\leq 1$ and $0\leq v\leq 1$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 3.2절 · 17번

# 매개변수 곡면그래프·표 해석자동 분류

13.APEX · 14.5절 · 13번대학 수준우리말 번역

연습문제 9–16번에서 공간의 정의역 $D$ 가 주어져 있다. $D$ 를 둘러싸는 각 곡면을 매개변수로 나타내세요.

$D$ 는 원기둥 $x+y^2/9=1$ 과 평면 $z=1$ , $z=3$ 으로 둘러싸인 정의역이다.

영어 원문 보기

In Exercises 9–16, a domain $D$ in space is given. Parametrize each of the bounding surfaces of $D$ .

$D$ is the domain bounded by the cylinder $x+y^2/9=1$ and the planes $z=1$ and $z=3$ .

정답·풀이 보기

답은 여러 가지가 될 수 있다.

$x+y^2/9=1$ 에 대해: $\vec r(u,v) = \langle \cos u, 3\sin u, v\rangle$ , $0\leq u\leq 2\pi$ , $1\leq v\leq 3$ .

$z=1$ 에 대해: $\vec r(u,v) = \langle v\cos u, 3v\sin u, 1\rangle$ , $0\leq u\leq 2\pi$ , $0\leq v\leq 1$ .

$z=3$ 에 대해: $\vec r(u,v) = \langle v\cos u, 3v\sin u, 3\rangle$ , $0\leq u\leq 2\pi$ , $0\leq v\leq 1$ .

원본 교재 풀이(영어)

Answers may vary.

For $x+y^2/9=1$ : $\vec r(u,v) = \langle \cos u, 3\sin u, v\rangle$ with $0\leq u\leq 2\pi$ and $1\leq v\leq 3$ .

For $z=1$ : $\vec r(u,v) = \langle v\cos u, 3v\sin u, 1\rangle$ with $0\leq u\leq 2\pi$ and $0\leq v\leq 1$ .

For $z=3$ : $\vec r(u,v) = \langle v\cos u, 3v\sin u, 3\rangle$ with $0\leq u\leq 2\pi$ and $0\leq v\leq 1$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 3.2절 · 15번

# 매개변수 곡면그래프·표 해석자동 분류

14.APEX · 14.5절 · 14번대학 수준우리말 번역

연습문제 9–16에서 공간의 영역 $D$ 가 주어져 있습니다. $D$ 의 경계를 이루는 각 곡면을 매개변수로 나타내세요.

$D$ 는 원뿔 $x^2+y^2=(z-1)^2$ 과 평면 $z=0$ 으로 둘러싸인 영역입니다.

영어 원문 보기

In Exercises 9–16, a domain $D$ in space is given. Parametrize each of the bounding surfaces of $D$ .

$D$ is the domain bounded by the cone $x^2+y^2=(z-1)^2$ and the plane $z=0$ .

정답·풀이 보기

답은 여러 가지가 될 수 있다.

$x^2+y^2=(z-1)^2$ 에 대해: $\vec r(u,v) = \langle v\cos u, v\sin u, 1-v\rangle$ , 단 $0\leq u\leq 2\pi$ 이고 $0\leq v\leq 1$ 이다.

$z=0$ 에 대해: $\vec r(u,v) = \langle v\cos u, v\sin u, 0\rangle$ , 단 $0\leq u\leq 2\pi$ 이고 $0\leq v\leq 1$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers may vary.

For $x^2+y^2=(z-1)^2$ : $\vec r(u,v) = \langle v\cos u, v\sin u, 1-v\rangle$ with $0\leq u\leq 2\pi$ and $0\leq v\leq 1$ .

For $z=0$ : $\vec r(u,v) = \langle v\cos u, v\sin u, 0\rangle$ with $0\leq u\leq 2\pi$ and $0\leq v\leq 1$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 3.1절 · 7번

# 매개변수 곡면그래프·표 해석자동 분류

15.APEX · 14.5절 · 15번대학 수준우리말 번역

연습문제 9–16에서 공간의 영역 $D$ 가 주어져 있습니다. $D$ 의 경계를 이루는 각 곡면을 매개변수로 나타내세요.

$D$ 는 기둥면 $z=1-x^2$ 과 평면 $y=-1$ , $y=2$ , $z=0$ 으로 둘러싸인 영역입니다.

영어 원문 보기

In Exercises 9–16, a domain $D$ in space is given. Parametrize each of the bounding surfaces of $D$ .

$D$ is the domain bounded by the cylinder $z=1-x^2$ and the planes $y=-1$ , $y=2$ and $z=0$ .

정답·풀이 보기

답은 여러 가지가 될 수 있다.

$z=1-x^2$ 에 대해: $\vec r(u,v) = \langle u,v,1-u^2\rangle$ , 단 $-1\leq u\leq 1$ 이고 $-1\leq v\leq 2$ 이다.

$y=-1$ 에 대해: $\vec r(u,v) = \langle u,-1,v(1-u^2)\rangle$ , 단 $-1\leq u\leq 1$ 이고 $0\leq v\leq 1$ 이다.

$y=2$ 에 대해: $\vec r(u,v) = \langle u,2,v(1-u^2)\rangle$ , 단 $-1\leq u\leq 1$ 이고 $0\leq v\leq 1$ 이다.

$z=0$ 에 대해: $\vec r(u,v) = \langle u,v,0\rangle$ , 단 $-1\leq u\leq 1$ 이고 $-1\leq v\leq 2$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers may vary.

For $z=1-x^2$ : $\vec r(u,v) = \langle u,v,1-u^2\rangle$ with $-1\leq u\leq 1$ and $-1\leq v\leq 2$ .

For $y=-1$ : $\vec r(u,v) = \langle u,-1,v(1-u^2)\rangle$ with $-1\leq u\leq 1$ and $0\leq v\leq 1$ .

For $y=2$ : $\vec r(u,v) = \langle u,2,v(1-u^2)\rangle$ with $-1\leq u\leq 1$ and $0\leq v\leq 1$ .

For $z=0$ : $\vec r(u,v) = \langle u,v,0\rangle$ with $-1\leq u\leq 1$ and $-1\leq v\leq 2$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 3.1절 · 4번

# 매개변수 곡면그래프·표 해석자동 분류

16.APEX · 14.5절 · 16번대학 수준우리말 번역

연습문제 9–16에서 공간의 영역 $D$ 가 주어져 있습니다. $D$ 의 경계를 이루는 각 곡면을 매개변수로 나타내세요.

$D$ 는 포물면 $z=4-x^2-4y^2$ 과 평면 $z=0$ 으로 둘러싸인 영역입니다.

영어 원문 보기

In Exercises 9–16, a domain $D$ in space is given. Parametrize each of the bounding surfaces of $D$ .

$D$ is the domain bounded by the paraboloid $z=4-x^2-4y^2$ and the plane $z=0$ .

정답·풀이 보기

답은 여러 가지가 될 수 있다.

$z=4-x^2-4y^2$ 에 대해: $\vec r(u,v) = \langle 2v\cos u,v\sin u,4-(2v\cos u)^2-4(v\sin u)^2\rangle$ , 단 $0\leq u\leq 2\pi$ 이고 $0\leq v\leq 1$ 이다.

$z=0$ 에 대해: $\vec r(u,v) = \langle 2v\cos u,v\sin u,0\rangle$ , 단 $0\leq u\leq 2\pi$ 이고 $0\leq v\leq 1$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers may vary.

For $z=4-x^2-4y^2$ : $\vec r(u,v) = \langle 2v\cos u,v\sin u,4-(2v\cos u)^2-4(v\sin u)^2\rangle$ with $0\leq u\leq 2\pi$ and $0\leq v\leq 1$ .

For $z=0$ : $\vec r(u,v) = \langle 2v\cos u,v\sin u,0\rangle$ with $0\leq u\leq 2\pi$ and $0\leq v\leq 1$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 3.2절 · 18번

# 매개변수 곡면그래프·표 해석자동 분류

17.APEX · 14.5절 · 17번대학 수준우리말 번역

연습문제 17–20에서 주어진 곡면 $\mathcal{S}$ 의 겉넓이 $S$ 를 구하세요. (관련된 적분은 공학 도구의 도움 없이 계산할 수 있습니다.)

$\mathcal{S}$ 는 직사각형 $-1\leq x\leq 1$ , $2\leq v \leq 3$ 위에 놓인 평면 $z=2x+3y$ 입니다.

영어 원문 보기

In Exercises 17–20, find the surface area $S$ of the given surface $\mathcal{S}$ . (The associated integrals are computable without the assistance of technology.)

$\mathcal{S}$ is the plane $z=2x+3y$ over the rectangle $-1\leq x\leq 1$ , $2\leq v \leq 3$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$S = 2\sqrt{14}$ .

원본 교재 풀이(영어)

$S = 2\sqrt{14}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 3.2절 · 1번

# 매개변수 곡면계산자동 분류

18.APEX · 14.5절 · 18번대학 수준우리말 번역

연습문제 17–20에서 주어진 곡면 $\mathcal{S}$ 의 겉넓이 $S$ 를 구하세요. (관련된 적분은 공학 도구의 도움 없이 계산할 수 있습니다.)

$\mathcal{S}$ 는 꼭짓점이 $(0,0)$ , $(1,0)$ , $(0,1)$ 인 삼각형 위에 놓인 평면 $z=x+2y$ 입니다.

영어 원문 보기

In Exercises 17–20, find the surface area $S$ of the given surface $\mathcal{S}$ . (The associated integrals are computable without the assistance of technology.)

$\mathcal{S}$ is the plane $z=x+2y$ over the triangle with vertices at $(0,0)$ , $(1,0)$ and $(0,1)$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$S = \sqrt{6}/2$ .

원본 교재 풀이(영어)

$S = \sqrt{6}/2$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 3.2절 · 15번

# 매개변수 곡면계산자동 분류

19.APEX · 14.5절 · 19번대학 수준우리말 번역

연습문제 17–20에서 주어진 곡면 $\mathcal{S}$ 의 겉넓이 $S$ 를 구하세요. (관련된 적분은 기술의 도움 없이 계산할 수 있습니다.)

$\mathcal{S}$ 는 원점을 중심으로 하고 반지름이 2인 원판 위에 있는 평면 $z=x+y$ 입니다.

영어 원문 보기

In Exercises 17–20, find the surface area $S$ of the given surface $\mathcal{S}$ . (The associated integrals are computable without the assistance of technology.)

$\mathcal{S}$ is the plane $z=x+y$ over the circular disk, centered at the origin, with radius 2.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$S = 4\sqrt{3}\pi$ .

원본 교재 풀이(영어)

$S = 4\sqrt{3}\pi$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 3.2절 · 13번

# 매개변수 곡면계산자동 분류

20.APEX · 14.5절 · 20번대학 수준우리말 번역

연습문제 17–20에서 주어진 곡면 $\mathcal{S}$ 의 겉넓이 $S$ 를 구하세요. (관련된 적분은 기술의 도움 없이 계산할 수 있습니다.)

$\mathcal{S}$ 는 원점을 중심으로 하고 반지름이 1, 반지름이 2인 두 원으로 둘러싸인 고리 모양 영역 위에 있는 평면 $z=x+y$ 입니다.

영어 원문 보기

In Exercises 17–20, find the surface area $S$ of the given surface $\mathcal{S}$ . (The associated integrals are computable without the assistance of technology.)

$\mathcal{S}$ is the plane $z=x+y$ over the annulus bounded by the circles, centered at the origin, with radius 1 and radius 2.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$S = 3\sqrt{3}\pi$ .

원본 교재 풀이(영어)

$S = 3\sqrt{3}\pi$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 3.1절 · 4번

# 매개변수 곡면계산자동 분류