매개변수 곡면 연습문제 — CLP-4 · 3.2절 · 13번

CLP-4 · 3.2절 · 13번대학 수준우리말 번역

곡면 $x^2 + 9y^2 + 4z^2 = 17$ 위의 점 중에서 접평면이 평면 $x - 8z = 0$ 과 평행인 점을 모두 구하세요.

영어 원문 보기

Find all the points on the surface $x^2 + 9y^2 + 4z^2 = 17$ where the tangent plane is parallel to the plane $x - 8z = 0$ .

정답·풀이 보기

곡면 $x^2 + 9y^2 + 4z^2 = 17$ 의 점 $(x,y,z)$ 에서의 법선벡터는 $( 2x\,,\, 18y\,,\,8z)$ 이다. 평면 $x - 8z = 0$ 의 법선벡터는 $( 1\,,\,0\,,\,-8)$ 이다. 따라서 $( 2x\,,\, 18y\,,\,8z)$ 가 $( 1\,,\,0\,,\,-8)$ 과 평행, 즉 $( 1\,,\,0\,,\,-8)$ 의 0이 아닌 상수배가 되어야 한다. 이는 $x\ne 0$ 이면서 $y=0$ 이고 $z=-2x$ 일 때 성립한다. 또한 $(x,y,z)$ 는 곡면 $x^2 + 9y^2 + 4z^2 = 17$ 위에 있어야 한다. 따라서 $y=0$ , $z=-2x$ 이고

$\begin{aligned} 17= x^2 + 9y^2 + 4z^2 =x^2 +4(-2x)^2=17x^2 \implies x=\pm 1 \end{aligned}$

이다. 그러므로 구하는 점은 $\pm(1,0,-2)$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

A normal vector to the surface $x^2 + 9y^2 + 4z^2 = 17$ at the point $(x,y,z)$ is $( 2x\,,\, 18y\,,\,8z)$ . A normal vector to the plane $x - 8z = 0$ is $( 1\,,\,0\,,\,-8)$ . So we want $( 2x\,,\, 18y\,,\,8z)$ to be parallel to $( 1\,,\,0\,,\,-8)$ , i.e. to be a nonzero constant times $( 1\,,\,0\,,\,-8)$ . This is the case whenever $y=0$ and $z=-2x$ with $x\ne 0$ . In addition, we want $(x,y,z)$ to lie on the surface $x^2 + 9y^2 + 4z^2 = 17$ . So we want $y=0$ , $z=-2x$ and

$\begin{aligned} 17= x^2 + 9y^2 + 4z^2 =x^2 +4(-2x)^2=17x^2 \implies x=\pm 1 \end{aligned}$

So the allowed points are $\pm(1,0,-2)$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-4 · 3.2절 · 17번우리말 번역

곡선

$\mathbf{r}(t) = t^3\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + t^2\,\hat{\mathbf{k}},\qquad (0 \le t <\infty)$

이 곡면

$z^3 + xyz -2 = 0$

과 만나는 점을 $P$ 라 하자.

$P$ 에서 곡선과 곡면 사이의 (예각) 각을 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

$\mathbf{r}(t)=( x(t)\,,\,y(t)\,,\,z(t))$ 가 $z^3 + xyz -2 = 0$ 과 만나는 것은 다음과 같을 때이다.

$z(t)^3+x(t)\,y(t)\,z(t)-2=0\iff \big(t^2\big)^3 + \big(t^3)(t)\big(t^2\big)-2=0 \iff 2t^6=2\iff t=1$

$t$ 는 양수여야 하기 때문이다. $t=1$ 에서 곡선의 방향벡터는

$\mathbf{r}'(1)=3\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}}+2\,\hat{\mathbf{k}}$

$\mathbf{r}(1)=( 1,1,1)$ 에서 곡면의 법선벡터는

${ \boldsymbol{\nabla} }(z^3+xyz)\big|_{(1,1,1)}=[yz\hat{\boldsymbol{\imath}}+xz\hat{\boldsymbol{\jmath}}+(3z^2+xy)\hat{\mathbf{k}}]_{(1,1,1)} =\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}}+4\hat{\mathbf{k}}$

곡선과 곡면의 법선벡터 사이의 각 $\theta$ 는 다음으로 정해진다.

$\begin{aligned} \big|( 3,1,2)\big|\,\big|( 1,1,4)\big|\cos\theta =( 3,1,2) \cdot( 1,1,4) &\iff \sqrt{14}\sqrt{18}\cos\theta=12 \\ &\iff \sqrt{7\times 36}\cos\theta=12 \\ &\iff \cos\theta=\frac{2}{\sqrt{7}} \\ &\iff \theta=40.89^\circ \end{aligned}$

곡선과 곡면 사이의 각은 $90-40.89=49.11^\circ$ (소수 둘째 자리까지)이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 매개변수 곡면계산보통자동 분류