빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 벡터 미적분

매개변수 곡면

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-4 · 3.2절 · 15번대학 수준우리말 번역

쌍곡면 z2=4x2+y2−1z^2=4x^2+y^2-1 위의 점 중에서 접평면이 평면 2x−y+z=02x-y+z=0 과 평행인 점을 모두 구하세요.

영어 원문 보기

Find all points on the hyperboloid z2=4x2+y2−1z^2=4x^2+y^2-1 where the tangent plane is parallel to the plane 2x−y+z=02x-y+z=0.

정답·풀이 보기

(x0,y0,z0)(x_0,y_0,z_0) 을 쌍곡면 z2=4x2+y2−1z^2=4x^2+y^2-1 위의 점 중에서 접평면이 평면 2x−y+z=02x-y+z=0 과 평행인 점이라 하자. 평면 2x−y+z=02x-y+z=0 의 법선벡터는 (2,−1,1)( 2,-1,1) 이다. 쌍곡면은 G(x,y,z)=4x2+y2−z2−1G(x,y,z)=4x^2+y^2-z^2-1 이고 ∇G(x,y,z)=(8x,2y,−2z){ \boldsymbol{\nabla} } G(x,y,z) = ( 8x,2y,-2z) 이므로, (x0,y0,z0)(x_0,y_0,z_0) 에서 쌍곡면의 법선벡터는 ∇G(x0,y0,z0)=(8x0,2y0,−2z0){ \boldsymbol{\nabla} } G(x_0,y_0,z_0)=( 8x_0,2y_0,-2z_0) 이다. 따라서 (x0,y0,z0)(x_0,y_0,z_0) 이 주어진 조건을 만족시키는 것은 다음을 만족시키는 0이 아닌 tt 가 존재하는 것과 같다.

(8x0,2y0,−2z0)=t(2,−1,1) 그리고 z02=4x02+y02−1  ⟺  x0=t4, y0=z0=−t2 그리고 z02=4x02+y02−1  ⟺  t24=t24+t24−1 그리고 x0=t4, y0=z0=−t2  ⟺  t=±2(x0,y0,z0)=±(12,−1,−1)\begin{aligned} &( 8x_0,2y_0,-2z_0) =t( 2,-1,1) \text{ 그리고 } z_0^2=4x_0^2+y_0^2-1\\ &\iff x_0=\frac{t}{4},\ y_0=z_0=-\frac{t}{2}\text{ 그리고 } z_0^2=4x_0^2+y_0^2-1\\ &\iff \frac{t^2}{4}= \frac{t^2}{4}+ \frac{t^2}{4}-1\text{ 그리고 } x_0=\frac{t}{4},\ y_0=z_0=-\frac{t}{2}\\ & \iff t=\pm 2\qquad (x_0,y_0,z_0)=\pm \big(\tfrac{1}{2},-1,-1\big) \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

Let (x0,y0,z0)(x_0,y_0,z_0) be a point on the hyperboloid z2=4x2+y2−1z^2=4x^2+y^2-1 where the tangent plane is parallel to the plane 2x−y+z=02x-y+z=0. A normal vector to the plane 2x−y+z=02x-y+z=0 is (2,−1,1)( 2,-1,1). Because the hyperboloid is G(x,y,z)=4x2+y2−z2−1G(x,y,z)=4x^2+y^2-z^2-1 and ∇G(x,y,z)=(8x,2y,−2z){ \boldsymbol{\nabla} } G(x,y,z) = ( 8x,2y,-2z), a normal vector to the hyperboloid at (x0,y0,z0)(x_0,y_0,z_0) is ∇G(x0,y0,z0)=(8x0,2y0,−2z0){ \boldsymbol{\nabla} } G(x_0,y_0,z_0)=( 8x_0,2y_0,-2z_0). So (x0,y0,z0)(x_0,y_0,z_0) satisfies the required conditions if and only if there is a nonzero tt obeying

(8x0,2y0,−2z0)=t(2,−1,1) and z02=4x02+y02−1  ⟺  x0=t4, y0=z0=−t2 and z02=4x02+y02−1  ⟺  t24=t24+t24−1 and x0=t4, y0=z0=−t2  ⟺  t=±2(x0,y0,z0)=±(12,−1,−1)\begin{aligned} &( 8x_0,2y_0,-2z_0) =t( 2,-1,1) \text{ and } z_0^2=4x_0^2+y_0^2-1\\ &\iff x_0=\frac{t}{4},\ y_0=z_0=-\frac{t}{2}\text{ and } z_0^2=4x_0^2+y_0^2-1\\ &\iff \frac{t^2}{4}= \frac{t^2}{4}+ \frac{t^2}{4}-1\text{ and } x_0=\frac{t}{4},\ y_0=z_0=-\frac{t}{2}\\ & \iff t=\pm 2\qquad (x_0,y_0,z_0)=\pm \big(\tfrac{1}{2},-1,-1\big) \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-4 · 3.2절 · 18번우리말 번역

방정식

z=xye−(x2+y2)/2z=xy e^{-(x^2+y^2)/2}

인 곡면에 접하는 수평인 평면을 모두 구하세요.

이 곡면 위에서 zz 의 최댓값과 최솟값은 각각 얼마입니까?

다 풀었으면 정답 확인

(x0,y0,z0)(x_0,y_0,z_0) 을 곡면 위의 임의의 점이라 하자. 점 (x0,y0,z0)(x_0,y_0,z_0) 에서 곡면에 수직인 벡터는

∇(xye−(x2+y2)/2−z)∣(x0,y0,z0)=(y0e−(x02+y02)/2−x02y0e−(x02+y02)/2,x0e−(x02+y02)/2−x0y02e−(x02+y02)/2,−1)\begin{aligned} &{ \boldsymbol{\nabla} }\Big(xy e^{-(x^2+y^2)/2}-z\Big)\bigg|_{(x_0,y_0,z_0)} \\& =\left( y_0 e^{-(x_0^2+y_0^2)/2}-x_0^2y_0 e^{-(x_0^2+y_0^2)/2}, x_0 e^{-(x_0^2+y_0^2)/2}-x_0y_0^2 e^{-(x_0^2+y_0^2)/2},-1\right) \end{aligned}

이다.

점 (x0,y0,z0)(x_0,y_0,z_0) 에서 곡면의 접평면이 수평인 것은 이 벡터가 수직인 것과 필요충분조건이고, 이는 xx성분과 yy성분이 모두 0인 것과 필요충분조건이며, 이는 다시 다음과 필요충분조건이다.

y0(1−x02)=0 그리고 x0(1−y02)=0  ⟺  {y0=0 또는 x0=1 또는 x0=−1} 그리고 {x0=0 또는 y0=1 또는 y0=−1}  ⟺  (x0,y0)=(0,0) 또는 (1,1) 또는 (1,−1) 또는 (−1,1) 또는 (−1,−1)\begin{aligned} &y_0(1-x_0^2)=0\text{ 그리고 }x_0(1-y_0^2)=0\\ &\iff\big\{y_0=0\text{ 또는 }x_0=1\text{ 또는 }x_0=-1\big\} \text{ 그리고 }\big\{x_0=0\text{ 또는 }y_0=1\text{ 또는 }y_0=-1\big\}\\ &\iff (x_0,y_0)=(0,0)\text{ 또는 }(1,1)\text{ 또는 }(1,-1) \text{ 또는 }(-1,1)\text{ 또는 }(-1,-1) \end{aligned}

이 점들에서 z0z_0 의 값은 각각 00, e−1e^{-1}, −e−1-e^{-1}, −e−1-e^{-1}, e−1e^{-1} 이다. 따라서 수평인 접평면은 z=0z=0, z=e−1z=e^{-1}, z=−e−1z=-e^{-1} 이다. 곡면의 가장 높은 점과 가장 낮은 점에서 접평면은 수평이다. 따라서 zz 의 최댓값과 최솟값은 각각 e−1e^{-1} 과 −e−1-e^{-1} 이다.

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# 매개변수 곡면계산보통자동 분류
CLP-4 Vector Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)

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