발산과 회전 연습문제 — CLP-4 · 4.1절 · 6번

CLP-4 · 4.1절 · 6번대학 수준우리말 번역

다음에서 기호 $\mathbf{r} = x\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + y\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + z\,\hat{\mathbf{k}}$ , $r = |\mathbf{r}|$ 를 사용하고, $k$ 는 $k = 0, 1, -1, 2, -2, \dots$ 중 어떤 수이다.

(a) 다음을 만족하는 $k$ 의 값을 구하세요.

${ \boldsymbol{\nabla} } (r^k) = -3\frac{\mathbf{r}}{r^5}$ (b) 다음을 만족하는 $k$ 의 값을 구하세요.

${ \boldsymbol{\nabla} } \cdot (r^k\mathbf{r}) = 5r^2$ (c) 다음을 만족하는 $k$ 의 값을 구하세요.

${ \boldsymbol{\nabla} }^2 (r^k) = \frac{2}{r^4}$

영어 원문 보기

In the following, we use the notation $\mathbf{r} = x\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + y\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + z\,\hat{\mathbf{k}}$ , $r = |\mathbf{r}|$ , and $k$ is some number $k = 0, 1, -1, 2, -2, \dots$ .

(a) Find the value $k$ for which

${ \boldsymbol{\nabla} } (r^k) = -3\frac{\mathbf{r}}{r^5}$ (b) Find the value $k$ for which

${ \boldsymbol{\nabla} } \cdot (r^k\mathbf{r}) = 5r^2$ (c) Find the value $k$ for which

${ \boldsymbol{\nabla} }^2 (r^k) = \frac{2}{r^4}$

답 쓰고 채점

(a)

(b)

(c)

정답·풀이 보기

(a) $r^k=\big(x^2+y^2+z^2\big)^{k/2}$ 이므로,

$\begin{aligned} \frac{\partial }{\partial x} r^k & = 2x\ \frac{k}{2}\big(x^2+y^2+z^2\big)^{\frac{k}{2}-1} = k\ (\mathbf{r}\cdot\hat{\boldsymbol{\imath}})\ r^{k-2} \\ \frac{\partial }{\partial y} r^k & = 2y\ \frac{k}{2}\big(x^2+y^2+z^2\big)^{\frac{k}{2}-1} = k\ (\mathbf{r}\cdot\hat{\boldsymbol{\jmath}})\ r^{k-2} \\ \frac{\partial }{\partial z} r^k & = 2z\ \frac{k}{2}\big(x^2+y^2+z^2\big)^{\frac{k}{2}-1} = k\ (\mathbf{r}\cdot\hat{\mathbf{k}})\ r^{k-2} \end{aligned}$

구하는 값은 $k=-3$ 이다.

(b) (a)의 계산을 이용하면

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } \cdot (r^k\mathbf{r}) &= \frac{\partial }{\partial x} (x r^k) + \frac{\partial }{\partial y} (y r^k) + \frac{\partial }{\partial z} (z r^k) \\ &= 3r^k + x \frac{\partial }{\partial x} r^k + y \frac{\partial }{\partial y} r^k + z \frac{\partial }{\partial z} r^k \\ &= 3r^k + x \big(kx\ r^{k-2}\big) + y \big(ky\ r^{k-2}\big) + z \big(kz\ r^{k-2}\big) \\ &= \big(3+k\big)r^k \end{aligned}$

구하는 값은 $k=2$ 이다.

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} }^2 (r^k ) &={ \boldsymbol{\nabla} }\cdot\big({ \boldsymbol{\nabla} }(r^k)\big) \\ &={ \boldsymbol{\nabla} }\cdot(k r^{k-2}\,\mathbf{r}) &\text{(a)에 의해} \\ &=k(3+k-2)r^{k-2} &\text{(b)에 의해, 단 $k$ 를 $k-2$ 로 바꾼다} \end{aligned}$

구하는 값은 $k=-2$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Since $r^k=\big(x^2+y^2+z^2\big)^{k/2}$ ,

We want $k=-3$ .

(b) Using the computation in part (a)

We want $k=2$ .

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} }^2 (r^k ) &={ \boldsymbol{\nabla} }\cdot\big({ \boldsymbol{\nabla} }(r^k)\big) \\ &={ \boldsymbol{\nabla} }\cdot(k r^{k-2}\,\mathbf{r}) &\text{by part (a)} \\ &=k(3+k-2)r^{k-2} &\text{by part (b), but with $k$ replaced by $k-2$} \end{aligned}$

We want $k=-2$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-4 · 4.1절 · 7번우리말 번역

$\mathbf{r}$ 를 벡터장 $\mathbf{r} = x\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + y\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + z\,\hat{\mathbf{k}}$ 라 하고, $r$ 를 함수 $r = |\mathbf{r}|$ 라 하자. $\mathbf{a}$ 를 상수 벡터 $\mathbf{a} = a_1\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + a_2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + a_3\,\hat{\mathbf{k}}$ 라 하자. 다음 양을 계산하여 간단히 하세요. 답은 $\mathbf{a}$ , $\mathbf{r}$ , $r$ 로 나타내야 합니다. 답에 $x$ , $y$ , $z$ 가 들어 있으면 안 됩니다.

(a) ${ \boldsymbol{\nabla} }\cdot\mathbf{r}$ (b) ${ \boldsymbol{\nabla} }(r^2)$ (c) ${ \boldsymbol{\nabla} }\times(\mathbf{r}\times\mathbf{a})$ (d) ${ \boldsymbol{\nabla} }\cdot\big({ \boldsymbol{\nabla} }(r)\big)$

다 풀었으면 정답 확인

(a)

${ \boldsymbol{\nabla} }\cdot\mathbf{r} =\frac{\partial x}{\partial x} +\frac{\partial y}{\partial y} +\frac{\partial z}{\partial z} =3$

(b)

${ \boldsymbol{\nabla} }(r^2) =\left(\hat{\boldsymbol{\imath}}\frac{\partial }{\partial x} +\hat{\boldsymbol{\jmath}}\frac{\partial }{\partial y} +\hat{\mathbf{k}}\frac{\partial }{\partial z} \right) \big(x^2+y^2+z^2\big) =2x\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +2y\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +2z\,\hat{\mathbf{k}} =2\mathbf{r}$

$\mathbf{r}\times\mathbf{a} = \det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ x & y & z \\ a_1 & a_2 & a_3 \end{matrix}\right] =\hat{\boldsymbol{\imath}}\big(a_3y-a_2z\big) +\hat{\boldsymbol{\jmath}}\big(a_1z-a_3x\big) +\hat{\mathbf{k}}\big(a_2x-a_1y\big)$

다음을 얻는다.

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} }\times(\mathbf{r}\times\mathbf{a}) &= \det\left[\begin{matrix}\hat{\boldsymbol{\imath}}&\hat{\boldsymbol{\jmath}}&\hat{\mathbf{k}}\\[0.03in] \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\[0.03in] a_3y-a_2z& a_1z-a_3x & a_2x-a_1y\end{matrix}\right] =-2a_1\,\hat{\boldsymbol{\imath}} -2a_2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} -2a_3\,\hat{\mathbf{k}} \\ &=-2\mathbf{a} \end{aligned}$

(d) 다음과 같으므로

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} }(r) &= \left(\hat{\boldsymbol{\imath}}\frac{\partial }{\partial x} +\hat{\boldsymbol{\jmath}}\frac{\partial }{\partial y} +\hat{\mathbf{k}}\frac{\partial }{\partial z} \right) \big(x^2+y^2+z^2\big)^{1/2} \\ &=\hat{\boldsymbol{\imath}}\frac{x}{\big(x^2+y^2+z^2\big)^{1/2}} +\hat{\boldsymbol{\jmath}}\frac{y}{\big(x^2+y^2+z^2\big)^{1/2}} +\hat{\mathbf{k}}\frac{x}{\big(x^2+y^2+z^2\big)^{1/2}} \end{aligned}$

다음을 얻는다.

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} }\cdot\big({ \boldsymbol{\nabla} }(r)\big) &= \frac{\partial }{\partial x} \frac{x}{\big(x^2+y^2+z^2\big)^{1/2}} +\frac{\partial }{\partial y} \frac{y}{\big(x^2+y^2+z^2\big)^{1/2}} +\frac{\partial }{\partial z} \frac{z}{\big(x^2+y^2+z^2\big)^{1/2}} \\ &= \frac{3}{\big(x^2+y^2+z^2\big)^{1/2}} -\frac{1}{2}\frac{2x^2+2y^2+2z^2}{\big(x^2+y^2+z^2\big)^{3/2}} =\frac{2}{\big(x^2+y^2+z^2\big)^{1/2}} =\frac{2}{r} \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

# 발산과 회전계산보통자동 분류