발산과 회전 연습문제 — CLP-4 · 4.1절 · 8번

CLP-4 · 4.1절 · 8번대학 수준우리말 번역

다음과 같이 두자.

$\mathbf{r} = x\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + y\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + z\,\hat{\mathbf{k}},\qquad r = |\mathbf{r}|$

(a) ${ \boldsymbol{\nabla} }\big(\frac{1}{r}\big) =- r^a\,\mathbf{r}$ 를 만족하는 $a$ 의 값을 구하세요. (b) ${ \boldsymbol{\nabla} }\cdot\big(r\,\mathbf{r}\big) = ar$ 를 만족하는 $a$ 의 값을 구하세요. (c) ${ \boldsymbol{\nabla} }\cdot\big({ \boldsymbol{\nabla} }(r^3)\big) = ar$ 를 만족하는 $a$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Let

$\mathbf{r} = x\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + y\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + z\,\hat{\mathbf{k}},\qquad r = |\mathbf{r}|$

(a) Compute $a$ where ${ \boldsymbol{\nabla} }\big(\frac{1}{r}\big) =- r^a\,\mathbf{r}$ . (b) Compute $a$ where ${ \boldsymbol{\nabla} }\cdot\big(r\,\mathbf{r}\big) = ar$ . (c) Compute $a$ where ${ \boldsymbol{\nabla} }\cdot\big({ \boldsymbol{\nabla} }(r^3)\big) = ar$ .

답 쓰고 채점

(a)

(b)

(c)

정답·풀이 보기

(a) 다음과 같으므로

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} }\left(\frac{1}{r}\right) &= \left(\hat{\boldsymbol{\imath}}\frac{\partial }{\partial x} +\hat{\boldsymbol{\jmath}}\frac{\partial }{\partial y} +\hat{\mathbf{k}}\frac{\partial }{\partial z} \right) \big(x^2+y^2+z^2\big)^{-1/2} \\ &=-\hat{\boldsymbol{\imath}}\frac{x}{\big(x^2+y^2+z^2\big)^{3/2}} -\hat{\boldsymbol{\jmath}}\frac{y}{\big(x^2+y^2+z^2\big)^{3/2}} -\hat{\mathbf{k}}\frac{z}{\big(x^2+y^2+z^2\big)^{3/2}} \\ &=-\hat{\boldsymbol{\imath}}\frac{x}{r^3} -\hat{\boldsymbol{\jmath}}\frac{y}{r^3} -\hat{\mathbf{k}}\frac{x}{r^3} \end{aligned}$

$a=-3$ 이다.

(b) 다음과 같으므로

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} }\cdot\big(r\,\mathbf{r}\big) &= \frac{\partial }{\partial x} \Big[\big(x^2+y^2+z^2\big)^{1/2}x\Big] +\frac{\partial }{\partial y}\Big[\big(x^2+y^2+z^2\big)^{1/2}y\Big] +\frac{\partial }{\partial z} \Big[\big(x^2+y^2+z^2\big)^{1/2}z\Big] \\ &= 3\big(x^2+y^2+z^2\big)^{1/2} +\frac{1}{2}\frac{2x^2+2y^2+2z^2}{\big(x^2+y^2+z^2\big)^{1/2}} =4\big(x^2+y^2+z^2\big)^{1/2} =4r \end{aligned}$

$a=4$ 이다.

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} }(r^3) &= \left(\hat{\boldsymbol{\imath}}\frac{\partial }{\partial x} +\hat{\boldsymbol{\jmath}}\frac{\partial }{\partial y} +\hat{\mathbf{k}}\frac{\partial }{\partial z} \right) \big(x^2+y^2+z^2\big)^{3/2} \\ &=\hat{\boldsymbol{\imath}}\,3x\big(x^2+y^2+z^2\big)^{1/2} +\hat{\boldsymbol{\jmath}}\,3y\big(x^2+y^2+z^2\big)^{1/2} +\hat{\mathbf{k}}\,3z\big(x^2+y^2+z^2\big)^{1/2} \\ &=3r\mathbf{r} \end{aligned}$

다음을 얻는다.

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} }\cdot\big({ \boldsymbol{\nabla} }(r^3)\big) &= { \boldsymbol{\nabla} }\cdot\big(3r\mathbf{r}\big) = 3\,{ \boldsymbol{\nabla} }\cdot\big(r\mathbf{r}\big) = 3\,\big(4r\big) \qquad\text{(b)에 의해} \\ &= 12 r \end{aligned}$

따라서 $a=12$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Since

we have $a=-3$ .

(b) Since

we have $a=4$ .

we have

so that $a=12$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-4 · 4.1절 · 9번우리말 번역

$\hat{\mathbf{k}}$ 성분이 $A_3=0$ 이고 다음의 벡터 퍼텐셜이 되는 벡터장 $\mathbf{A}$ 를 가능하면 구하세요.

(a) $\mathbf{F}=(1+yz)\hat{\boldsymbol{\imath}}+(2y+zx)\hat{\boldsymbol{\jmath}}+(3z^2+xy)\hat{\mathbf{k}}$ (b) $\mathbf{G}= yz\hat{\boldsymbol{\imath}}+zx\hat{\boldsymbol{\jmath}}+xy\hat{\mathbf{k}}$

다 풀었으면 정답 확인

(a) ${ \boldsymbol{\nabla} }\cdot\mathbf{F} =\frac{\partial }{\partial x}(1+yz)+\frac{\partial }{\partial y}(2y+zx)+\frac{\partial }{\partial z}(3z^2+xy)=2+6z\ne 0$ 이므로 $\mathbf{F}$ 는 판별 조건을 만족하지 못하여 벡터 퍼텐셜을 가질 수 없다.

(b) 벡터장 $\mathbf{A}=A_1\hat{\boldsymbol{\imath}}+A_2\hat{\boldsymbol{\jmath}}$ 가 $\mathbf{G}$ 의 벡터 퍼텐셜이 될 필요충분조건은 $\mathbf{G}={ \boldsymbol{\nabla} }\times\mathbf{A}$ 이고, 이는 다음이 성립할 필요충분조건과 같다.

$\begin{aligned} -\frac{\partial A_2}{\partial z}&= yz\quad & \iff&\quad& &A_2=-\frac{1}{2} yz^2+B_2(x,y)\\ \frac{\partial A_1}{\partial z}&=zx & \iff&\quad & &A_1=\phantom{-}\frac{1}{2} xz^2+B_1(x,y)\\ \frac{\partial A_2}{\partial x}-\frac{\partial A_1}{\partial y} &=xy & \iff& & & \frac{\partial B_2}{\partial x} -\frac{\partial B_1}{\partial y}=xy \end{aligned}$

$\frac{\partial B_2}{\partial x} -\frac{\partial B_1}{\partial y}=xy$ 의 해는 무수히 많다. 실제로 $B_2$ 는 완전히 임의로 정할 수 있다. $B_2=0$ 으로 택하면 $B_1=-\frac{1}{2} xy^2$ 이 조건을 만족한다. $B_1=0$ 으로 택하면 $B_2=\frac{1}{2} x^2y$ 가 조건을 만족한다. 따라서 두 가지 해는 $\mathbf{A}=\frac{1}{2}(z^2-y^2)x\hat{\boldsymbol{\imath}}-\frac{1}{2} yz^2\hat{\boldsymbol{\jmath}}$ 와 $\mathbf{A}=\frac{1}{2} xz^2\hat{\boldsymbol{\imath}}+\frac{1}{2}(x^2-z^2)y\hat{\boldsymbol{\jmath}}$ 이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 발산과 회전계산보통자동 분류