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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 벡터 미적분

발산 정리

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-4 · 4.2절 · 1번대학 수준우리말 번역

VV 를 정육면체

V={ (x,y,z) ∣ 0≤x≤1, 0≤y≤1, 0≤z≤1 }\begin{aligned} V=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ 0\le x\le 1,\ 0\le y\le 1,\ 0\le z\le 1\ \big\} \end{aligned}

라 하고, RR 를 정사각형

R={ (x,y) ∣ 0≤x≤1, 0≤y≤1 }\begin{aligned} R=\big\{ \ (x,y)\ \big|\ 0\le x\le 1,\ 0\le y\le 1\ \big\} \end{aligned}

라 하자. 또 f(x,y,z)f(x,y,z) 는 연속인 일계 편도함수를 가진다고 하자.

(a) 미적분의 기본정리를 이용하여

∭V∂f∂z(x,y,z) dx dy dz=∬Rf(x,y,1) dx dy−∬Rf(x,y,0) dx dy\begin{aligned} \iiint _V\frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z)\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z =\iint _R f(x,y,1)\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y - \iint _R f(x,y,0)\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y \end{aligned}

임을 보이세요. (b) 발산정리를 이용하여

∭V∂f∂z(x,y,z) dx dy dz=∬Rf(x,y,1) dx dy−∬Rf(x,y,0) dx dy\begin{aligned} \iiint _V\frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z)\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z =\iint _R f(x,y,1)\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y - \iint _R f(x,y,0)\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y \end{aligned}

임을 보이세요.

영어 원문 보기

Let VV be the cube

V={ (x,y,z) ∣ 0≤x≤1, 0≤y≤1, 0≤z≤1 }\begin{aligned} V=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ 0\le x\le 1,\ 0\le y\le 1,\ 0\le z\le 1\ \big\} \end{aligned}

and RR be the square

R={ (x,y) ∣ 0≤x≤1, 0≤y≤1 }\begin{aligned} R=\big\{ \ (x,y)\ \big|\ 0\le x\le 1,\ 0\le y\le 1\ \big\} \end{aligned}

and let f(x,y,z)f(x,y,z) have continuous first partial derivatives.

(a) Use the fundamental theorem of calculus to show that

∭V∂f∂z(x,y,z) dx dy dz=∬Rf(x,y,1) dx dy−∬Rf(x,y,0) dx dy\begin{aligned} \iiint _V\frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z)\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z =\iint _R f(x,y,1)\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y - \iint _R f(x,y,0)\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y \end{aligned} (b) Use the divergence theorem to show that

∭V∂f∂z(x,y,z) dx dy dz=∬Rf(x,y,1) dx dy−∬Rf(x,y,0) dx dy\begin{aligned} \iiint _V\frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z)\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z =\iint _R f(x,y,1)\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y - \iint _R f(x,y,0)\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y \end{aligned}

정답·풀이 보기

(a) 좌변을 zz 를 가장 안쪽 적분변수로 하는 반복적분으로 나타내면 다음과 같다.

∭V∂f∂z(x,y,z) dx dy dz=∫01dx∫01dy[∫01dz ∂f∂z(x,y,z)]=∫01dx∫01dy [f(x,y,1)−f(x,y,0)]미적분의 기본정리에 의해=∬R[f(x,y,1)−f(x,y,0)] dx dy=∬Rf(x,y,1) dx dy−∬Rf(x,y,0) dx dy\begin{aligned} \iiint _V\frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z)\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z &=\int_0^1\mathrm{d}x\int_0^1\mathrm{d}y\left[\int_0^1\mathrm{d}z\ \frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z)\right] \\ &=\int_0^1\mathrm{d}x\int_0^1\mathrm{d}y\ \big[f(x,y,1)-f(x,y,0)\big] \\ &\text{미적분의 기본정리에 의해} \\ &=\iint _R\big[f(x,y,1)-f(x,y,0)\big]\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y \\ &=\iint _R f(x,y,1)\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y - \iint _R f(x,y,0)\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y \end{aligned}

(b) 벡터장 F(x,y,z)=f(x,y,z) k^\mathbf{F}(x,y,z) = f(x,y,z)\,\hat{\mathbf{k}} 를 정의하자. 그러면 F\mathbf{F} 의 발산은 ∇⋅F(x,y,z)=∂f∂z(x,y,z){ \boldsymbol{\nabla} }\cdot\mathbf{F}(x,y,z) = \frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z) 이다. 정육면체 VV 의 경계는 다음 여섯 면의 합집합이다.

S1={ (x,y,z) ∣ 0≤x≤1, 0≤y≤1, z=1 }바깥쪽 법선벡터는 n^=k^S2={ (x,y,z) ∣ 0≤x≤1, 0≤y≤1, z=0 }바깥쪽 법선벡터는 n^=−k^S3={ (x,y,z) ∣ 0≤x≤1, 0≤z≤1, y=1 }바깥쪽 법선벡터는 n^=ȷ^S4={ (x,y,z) ∣ 0≤x≤1, 0≤z≤1, y=0 }바깥쪽 법선벡터는 n^=−ȷ^S5={ (x,y,z) ∣ 0≤y≤1, 0≤z≤1, x=1 }바깥쪽 법선벡터는 n^=ı^S6={ (x,y,z) ∣ 0≤y≤1, 0≤z≤1, x=0 }바깥쪽 법선벡터는 n^=−ı^\begin{aligned} S_1&=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ 0\le x\le 1,\ 0\le y\le 1,\ z=1\ \big\}\quad \text{바깥쪽 법선벡터는 $\hat{\mathbf{n}}=\hat{\mathbf{k}}$} \\ S_2&=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ 0\le x\le 1,\ 0\le y\le 1,\ z=0\ \big\}\quad \text{바깥쪽 법선벡터는 $\hat{\mathbf{n}}=-\hat{\mathbf{k}}$} \\ S_3&=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ 0\le x\le 1,\ 0\le z\le 1,\ y=1\ \big\}\quad \text{바깥쪽 법선벡터는 $\hat{\mathbf{n}}=\hat{\boldsymbol{\jmath}}$} \\ S_4&=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ 0\le x\le 1,\ 0\le z\le 1,\ y=0\ \big\}\quad \text{바깥쪽 법선벡터는 $\hat{\mathbf{n}}=-\hat{\boldsymbol{\jmath}}$} \\ S_5&=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ 0\le y\le 1,\ 0\le z\le 1,\ x=1\ \big\}\quad \text{바깥쪽 법선벡터는 $\hat{\mathbf{n}}=\hat{\boldsymbol{\imath}}$} \\ S_6&=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ 0\le y\le 1,\ 0\le z\le 1,\ x=0\ \big\}\quad \text{바깥쪽 법선벡터는 $\hat{\mathbf{n}}=-\hat{\boldsymbol{\imath}}$} \end{aligned}

그림

다음에 주목하자.

F⋅n^=f k^⋅n^={+fS1 위에서−fS2 위에서0S3, S4, S5, S6 위에서\begin{aligned} \mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}} = f\,\hat{\mathbf{k}}\cdot\hat{\mathbf{n}} = \begin{cases} +f &\text{$S_1$ 위에서} \\ -f &\text{$S_2$ 위에서} \\ 0 &\text{$S_3$, $S_4$, $S_5$, $S_6$ 위에서} \end{cases} \end{aligned}

따라서 발산정리에 의해 다음을 얻는다.

∭V∂f∂z(x,y,z) dx dy dz=∭V∇⋅F(x,y,z) dx dy dz=∬∂VF⋅n^ dS=∑j=16∬SjF⋅n^ dS=∬S1f dS−∬S2f dS=∬Rf(x,y,1) dx dy−∬Rf(x,y,0) dx dy\begin{aligned} \iiint _V\frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z)\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z &=\iiint _V { \boldsymbol{\nabla} }\cdot\mathbf{F}(x,y,z)\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z \\ &= \iint _{\partial V} \mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\ \mathrm{d}S =\sum_{j=1}^6 \iint _{S_j} \mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\ \mathrm{d}S\\ &=\iint _{S_1} f\ \mathrm{d}S -\iint _{S_2} f\ \mathrm{d}S \\ &=\iint _R f(x,y,1)\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y - \iint _R f(x,y,0)\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

(a) Expressing the left hand side as an iterated integral, with zz as the innermost integration variable, we have

∭V∂f∂z(x,y,z) dx dy dz=∫01dx∫01dy[∫01dz ∂f∂z(x,y,z)]=∫01dx∫01dy [f(x,y,1)−f(x,y,0)]by the fundamental theorem of calculus=∬R[f(x,y,1)−f(x,y,0)] dx dy=∬Rf(x,y,1) dx dy−∬Rf(x,y,0) dx dy\begin{aligned} \iiint _V\frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z)\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z &=\int_0^1\mathrm{d}x\int_0^1\mathrm{d}y\left[\int_0^1\mathrm{d}z\ \frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z)\right] \\ &=\int_0^1\mathrm{d}x\int_0^1\mathrm{d}y\ \big[f(x,y,1)-f(x,y,0)\big] \\ &\text{by the fundamental theorem of calculus} \\ &=\iint _R\big[f(x,y,1)-f(x,y,0)\big]\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y \\ &=\iint _R f(x,y,1)\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y - \iint _R f(x,y,0)\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y \end{aligned}

(b) Define the vector field F(x,y,z)=f(x,y,z) k^\mathbf{F}(x,y,z) = f(x,y,z)\,\hat{\mathbf{k}}. Then the divergence of F\mathbf{F} is ∇⋅F(x,y,z)=∂f∂z(x,y,z){ \boldsymbol{\nabla} }\cdot\mathbf{F}(x,y,z) = \frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z). The boundary of the cube VV is the union of six faces

S1={ (x,y,z) ∣ 0≤x≤1, 0≤y≤1, z=1 }with outward normal n^=k^S2={ (x,y,z) ∣ 0≤x≤1, 0≤y≤1, z=0 }with outward normal n^=−k^S3={ (x,y,z) ∣ 0≤x≤1, 0≤z≤1, y=1 }with outward normal n^=ȷ^S4={ (x,y,z) ∣ 0≤x≤1, 0≤z≤1, y=0 }with outward normal n^=−ȷ^S5={ (x,y,z) ∣ 0≤y≤1, 0≤z≤1, x=1 }with outward normal n^=ı^S6={ (x,y,z) ∣ 0≤y≤1, 0≤z≤1, x=0 }with outward normal n^=−ı^\begin{aligned} S_1&=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ 0\le x\le 1,\ 0\le y\le 1,\ z=1\ \big\}\quad \text{with outward normal $\hat{\mathbf{n}}=\hat{\mathbf{k}}$} \\ S_2&=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ 0\le x\le 1,\ 0\le y\le 1,\ z=0\ \big\}\quad \text{with outward normal $\hat{\mathbf{n}}=-\hat{\mathbf{k}}$} \\ S_3&=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ 0\le x\le 1,\ 0\le z\le 1,\ y=1\ \big\}\quad \text{with outward normal $\hat{\mathbf{n}}=\hat{\boldsymbol{\jmath}}$} \\ S_4&=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ 0\le x\le 1,\ 0\le z\le 1,\ y=0\ \big\}\quad \text{with outward normal $\hat{\mathbf{n}}=-\hat{\boldsymbol{\jmath}}$} \\ S_5&=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ 0\le y\le 1,\ 0\le z\le 1,\ x=1\ \big\}\quad \text{with outward normal $\hat{\mathbf{n}}=\hat{\boldsymbol{\imath}}$} \\ S_6&=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ 0\le y\le 1,\ 0\le z\le 1,\ x=0\ \big\}\quad \text{with outward normal $\hat{\mathbf{n}}=-\hat{\boldsymbol{\imath}}$} \end{aligned}

figure

Observe that

F⋅n^=f k^⋅n^={+fon S1−fon S20on S3, S4, S5, S6\begin{aligned} \mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}} = f\,\hat{\mathbf{k}}\cdot\hat{\mathbf{n}} = \begin{cases} +f &\text{on $S_1$} \\ -f &\text{on $S_2$} \\ 0 &\text{on $S_3$, $S_4$, $S_5$, $S_6$} \end{cases} \end{aligned}

So the divergence theorem gives

∭V∂f∂z(x,y,z) dx dy dz=∭V∇⋅F(x,y,z) dx dy dz=∬∂VF⋅n^ dS=∑j=16∬SjF⋅n^ dS=∬S1f dS−∬S2f dS=∬Rf(x,y,1) dx dy−∬Rf(x,y,0) dx dy\begin{aligned} \iiint _V\frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z)\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z &=\iiint _V { \boldsymbol{\nabla} }\cdot\mathbf{F}(x,y,z)\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z \\ &= \iint _{\partial V} \mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\ \mathrm{d}S =\sum_{j=1}^6 \iint _{S_j} \mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\ \mathrm{d}S\\ &=\iint _{S_1} f\ \mathrm{d}S -\iint _{S_2} f\ \mathrm{d}S \\ &=\iint _R f(x,y,1)\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y - \iint _R f(x,y,0)\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-4 · 4.2절 · 36번우리말 번역

VV 를 곡면 ∂V\partial V 로 둘러싸인 R3\mathbb{R}^3 의 입체라 하자. 다음을 보이세요.

∬∂Vr⋅n^ dS=3 Volume(V)\iint _{\partial V}\mathbf{r}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S=3\,\text{Volume}(V)

여기서 r=x ı^+y ȷ^+z k^\mathbf{r}=x\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+y\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+z\,\hat{\mathbf{k}} 이고, 평소처럼 n^\hat{\mathbf{n}} 은 ∂V\partial V 의 바깥쪽 법선이다. 이 결과를 기하학적으로 설명할 수 있는지 확인해 보세요.

다 풀었으면 정답 확인

발산 정리에 의해

∬∂Vr⋅n^ dS=∭V∇⋅r dV=∭V∇⋅(x ı^+y ȷ^+z k^) dV=∭V3 dV=3 Volume(V)\iint _{\partial V}\mathbf{r}\cdot\hat{\mathbf{n}}\, \mathrm{d}S =\iiint _V{ \boldsymbol{\nabla} }\cdot\mathbf{r}\,\mathrm{d}V =\iiint _V{ \boldsymbol{\nabla} }\cdot(x\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+y\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+z\,\hat{\mathbf{k}})\,\mathrm{d}V =\iiint _V 3\,\mathrm{d}V =3\,\text{Volume}(V)

기하학적 설명은 다음 관찰에서 시작한다. 꼭짓점이 (0,0,0)(0,0,0) 이고 밑면이 곡면의 아주 작은 조각 dS\mathrm{d}S 인 원뿔의 부피는 밑면의 넓이와 원뿔의 높이를 곱한 값의 13\frac{1}{3} 배이다. 원뿔의 높이는 ∣n^⋅r∣|\hat{\mathbf{n}}\cdot\mathbf{r}| 이고, 여기서 r\mathbf{r} 은 dS\mathrm{d}S 위의 한 점이다. 따라서 원뿔의 부피는 13∣n^⋅r∣ dS\frac{1}{3}|\hat{\mathbf{n}}\cdot\mathbf{r}|\,\mathrm{d}S 이다.

그림

먼저 (0,0,0)(0,0,0) 이 VV 안에 있고 VV 가 볼록하다고 가정하자. 그러면

  • n^⋅r>0\hat{\mathbf{n}}\cdot\mathbf{r}>0 이고, 부피는 13n^⋅r dS\frac{1}{3} \hat{\mathbf{n}}\cdot\mathbf{r} \,\mathrm{d}S 이다.
  • 원뿔은 VV 에 포함되고,
  • VV 는 dS\mathrm{d}S 가 ∂V\partial V 전체를 움직일 때 생기는 모든 아주 작은 원뿔 조각들의 합집합이다.

따라서

Volume(V)=13∬∂Vr⋅n^ dS\text{Volume}(V)=\frac{1}{3}\iint _{\partial V}\mathbf{r}\cdot\hat{\mathbf{n}}\, \mathrm{d}S

VV 가 볼록하지 않거나 (0,0,0)(0,0,0) 이 VV 안에 있지 않은 경우로 일반화하려면, VV 를 큰 볼록 입체 하나와 하나 이상의 더 작은 볼록 입체들의 차로 나타내면 된다.

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# 발산 정리증명·논술기본자동 분류
CLP-4 Vector Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)

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