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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 벡터 미적분

발산 정리

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-4 · 4.2절 · 36번대학 수준우리말 번역

VV 를 곡면 ∂V\partial V 로 둘러싸인 R3\mathbb{R}^3 의 입체라 하자. 다음을 보이세요.

∬∂Vr⋅n^ dS=3 Volume(V)\iint _{\partial V}\mathbf{r}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S=3\,\text{Volume}(V)

여기서 r=x ı^+y ȷ^+z k^\mathbf{r}=x\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+y\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+z\,\hat{\mathbf{k}} 이고, 평소처럼 n^\hat{\mathbf{n}} 은 ∂V\partial V 의 바깥쪽 법선이다. 이 결과를 기하학적으로 설명할 수 있는지 확인해 보세요.

영어 원문 보기

Let VV be a solid in R3\mathbb{R}^3 with surface ∂V\partial V. Show that

∬∂Vr⋅n^ dS=3 Volume(V)\iint _{\partial V}\mathbf{r}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S=3\,\text{Volume}(V)

where r=x ı^+y ȷ^+z k^\mathbf{r}=x\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+y\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+z\,\hat{\mathbf{k}} and, as usual, n^\hat{\mathbf{n}} is the outer normal to ∂V\partial V. See if you can explain this result geometrically.

정답·풀이 보기

발산 정리에 의해

∬∂Vr⋅n^ dS=∭V∇⋅r dV=∭V∇⋅(x ı^+y ȷ^+z k^) dV=∭V3 dV=3 Volume(V)\iint _{\partial V}\mathbf{r}\cdot\hat{\mathbf{n}}\, \mathrm{d}S =\iiint _V{ \boldsymbol{\nabla} }\cdot\mathbf{r}\,\mathrm{d}V =\iiint _V{ \boldsymbol{\nabla} }\cdot(x\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+y\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+z\,\hat{\mathbf{k}})\,\mathrm{d}V =\iiint _V 3\,\mathrm{d}V =3\,\text{Volume}(V)

기하학적 설명은 다음 관찰에서 시작한다. 꼭짓점이 (0,0,0)(0,0,0) 이고 밑면이 곡면의 아주 작은 조각 dS\mathrm{d}S 인 원뿔의 부피는 밑면의 넓이와 원뿔의 높이를 곱한 값의 13\frac{1}{3} 배이다. 원뿔의 높이는 ∣n^⋅r∣|\hat{\mathbf{n}}\cdot\mathbf{r}| 이고, 여기서 r\mathbf{r} 은 dS\mathrm{d}S 위의 한 점이다. 따라서 원뿔의 부피는 13∣n^⋅r∣ dS\frac{1}{3}|\hat{\mathbf{n}}\cdot\mathbf{r}|\,\mathrm{d}S 이다.

그림

먼저 (0,0,0)(0,0,0) 이 VV 안에 있고 VV 가 볼록하다고 가정하자. 그러면

  • n^⋅r>0\hat{\mathbf{n}}\cdot\mathbf{r}>0 이고, 부피는 13n^⋅r dS\frac{1}{3} \hat{\mathbf{n}}\cdot\mathbf{r} \,\mathrm{d}S 이다.
  • 원뿔은 VV 에 포함되고,
  • VV 는 dS\mathrm{d}S 가 ∂V\partial V 전체를 움직일 때 생기는 모든 아주 작은 원뿔 조각들의 합집합이다.

따라서

Volume(V)=13∬∂Vr⋅n^ dS\text{Volume}(V)=\frac{1}{3}\iint _{\partial V}\mathbf{r}\cdot\hat{\mathbf{n}}\, \mathrm{d}S

VV 가 볼록하지 않거나 (0,0,0)(0,0,0) 이 VV 안에 있지 않은 경우로 일반화하려면, VV 를 큰 볼록 입체 하나와 하나 이상의 더 작은 볼록 입체들의 차로 나타내면 된다.

원본 교재 풀이(영어)

By the divergence theorem

∬∂Vr⋅n^ dS=∭V∇⋅r dV=∭V∇⋅(x ı^+y ȷ^+z k^) dV=∭V3 dV=3 Volume(V)\iint _{\partial V}\mathbf{r}\cdot\hat{\mathbf{n}}\, \mathrm{d}S =\iiint _V{ \boldsymbol{\nabla} }\cdot\mathbf{r}\,\mathrm{d}V =\iiint _V{ \boldsymbol{\nabla} }\cdot(x\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+y\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+z\,\hat{\mathbf{k}})\,\mathrm{d}V =\iiint _V 3\,\mathrm{d}V =3\,\text{Volume}(V)

Our gemetric explanation starts with the observation that the volume of the cone with vertex (0,0,0)(0,0,0) and base a tiny piece of surface dS\mathrm{d}S is 13\frac{1}{3} times the area of the base times the height of the cone. The height of the cone is ∣n^⋅r∣|\hat{\mathbf{n}}\cdot\mathbf{r}|, where r\mathbf{r} is a point in dS\mathrm{d}S. So the volume of the cone is 13∣n^⋅r∣ dS\frac{1}{3}|\hat{\mathbf{n}}\cdot\mathbf{r}|\,\mathrm{d}S.

figure

First assume that (0,0,0)(0,0,0) is in VV and VV is convex. Then

  • n^⋅r>0\hat{\mathbf{n}}\cdot\mathbf{r}>0, and the volume is 13n^⋅r dS\frac{1}{3} \hat{\mathbf{n}}\cdot\mathbf{r} \,\mathrm{d}S.
  • the cone is contained in VV and
  • VV is the union of all the tiny conical pieces with dS\mathrm{d}S running over ∂V\partial V.

So

Volume(V)=13∬∂Vr⋅n^ dS\text{Volume}(V)=\frac{1}{3}\iint _{\partial V}\mathbf{r}\cdot\hat{\mathbf{n}}\, \mathrm{d}S

To generalise to the case that VV is not convex or (0,0,0)(0,0,0) is not in VV, write VV as the difference between a large convex solid and one or more smaller convex solids.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-4 · 4.2절 · 17번우리말 번역

SS 를 원뿔 z=x2+y2z = \sqrt{x^2+y^2} 안에 포함된 포물면 z=2−x2−y2z = 2 - x^2 - y^2 의 일부라 하고, 위쪽 방향으로 향을 잡습니다. 또한

F=(tan⁡z+sin⁡(y3)) ı^+e−x2 ȷ^+zk^\mathbf{F} = (\tan \sqrt{z} + \sin(y^3))\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + e^{-x^2}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + z\hat{\mathbf{k}}

라 하자.

선속 적분 ∬SF⋅n^ dS\iint _S \mathbf{F} \cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S 의 값을 구하세요.

답 쓰고 채점
다 풀었으면 정답 확인

F\mathbf{F} 가 복잡해 보이므로, 선속 적분을 직접 계산하는 것은 피하는 편이 좋을 것이다. 먼저 F\mathbf{F} 의 발산을 계산하여, 대신 발산 정리를 쓰는 것이 현명한지 살펴보자.

∇⋅F=∂∂x(tan⁡z+sin⁡(y3))+∂∂y(e−x2)+∂∂z(z)=1\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} }\cdot\mathbf{F} = \frac{\partial }{\partial x}\big(\tan \sqrt{z} + \sin(y^3)\big) +\frac{\partial }{\partial y}\big(e^{-x^2}\big) +\frac{\partial }{\partial z}\big(z\big) =1 \end{aligned}

좋아 보인다! 하지만 SS 는 입체 영역 VV 의 경계가 아니므로 아직 발산 정리를 적용할 수 없다. 경계가 적어도 SS 를 포함하는 입체 VV 를 고르는 데 도움이 되도록 그림을 그려 보면, SS 는 "아이스크림 콘"의 윗부분이다.

그림

포물면 z=2−x2−y2z = 2 - x^2 - y^2 과 원뿔 z=x2+y2z = \sqrt{x^2+y^2} 은 원 x2+y2=1x^2+y^2=1, z=1z=1 을 따라 만난다는 점에 주목하자. 경계가 SS 를 포함하는 입체 중 가장 간단한 것은 아마도 다음일 것이다.

V={ (x,y,z) ∣ 1≤z≤2−x2−y2, x2+y2≤1 }V=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ 1\le z\le 2-x^2-y^2,\ x^2+y^2\le 1\ \big\}

VV 의 경계 ∂V\partial V 는 SS (법선이 위쪽을 향함)와 다음 원판

D={ (x,y,z) ∣ x2+y2≤1, z=1 }D = \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x^2+y^2\le 1,\ z=1\ \big\}

(법선은 −k^-\hat{\mathbf{k}})으로 이루어져 있다. 따라서 발산 정리에 의해 다음을 얻는다.

∬SF⋅n^ dS=∭V∇⋅F dV−∬DF⋅(−k^) dS=∭V1⏞∇⋅FdV+∬D1⏞F⋅k^=z dS\begin{aligned} \iint _S \mathbf{F} \cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S &=\iiint _V { \boldsymbol{\nabla} }\cdot\mathbf{F}\ \mathrm{d}V -\iint _D \mathbf{F} \cdot(-\hat{\mathbf{k}})\,\mathrm{d}S \\ &=\iiint _V \overbrace{1}^{{ \boldsymbol{\nabla} }\cdot\mathbf{F}}\mathrm{d}V +\iint _D \overbrace{1}^{\mathbf{F} \cdot \hat{\mathbf{k}} = z}\,\mathrm{d}S \end{aligned}

DD 는 반지름이 1인 원판이므로 ∬DdS=π\iint _D \mathrm{d}S=\pi 이다. VV 의 부피를 계산하기 위해, VV 를 수평한 "팬케이크"를 쌓아 놓은 것으로 보고 얇게 자른다. z=2−x2−y2z=2-x^2-y^2 은 x2+y2=2−z\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{2-z} 와 같으므로, 높이 zz 에서의 팬케이크는 반지름이 2−z\sqrt{2-z} 인 원판이고, 따라서 단면의 넓이는 π(2−z)\pi(2-z) 이다. 그러므로 VV 의 부피는 다음과 같다.

∭VdV=∫12π(2−z) dz=−π2(2−z)2∣12=π2\begin{aligned} \iiint _V \mathrm{d}V &=\int_1^2 \pi(2-z) \ \mathrm{d}z = -\frac{\pi}{2}(2-z)^2\Big|_1^2 =\frac{\pi}{2} \end{aligned}

따라서 선속은 다음과 같다.

∬SF⋅n^ dS=π2+π=32π\begin{aligned} \iint _S \mathbf{F} \cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S =\frac{\pi}{2} +\pi =\frac{3}{2}\pi \end{aligned}

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CLP-4 Vector Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)

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