발산 정리

풀이 1 (발산 정리): $\mathbf{F} = (x + y, x + z, y + z)$ 라 하자. 그러면 ${ \boldsymbol{\nabla} }\cdot\mathbf{F} = 2$ 이다. 매우 간단하다. 그러므로 발산 정리를 이용해 보자.

• $S=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x^2+z^2=4,\ 0\le y\le 3\ \big\}$ 라 하자. 우리는 $\iint _S\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S$ 를 계산해야 하며, 여기서 $\hat{\mathbf{n}}$ 은 $S$ 의 바깥쪽 법선벡터이다. $S$ 는 입체의 경계가 아니므로 발산 정리를 직접 적용하여 $\iint _S\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S$ 를 계산할 수는 없다. 아래 왼쪽 그림은 $S$ 중에서 제1팔분공간에 있는 부분을 나타낸 것이다.

• 한편 $S$ 는 다음 입체의 경계와 “거의” 같다.

$$V = \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x^2+z^2\le 4,\ 0\le y\le 3\ \big\}$$

$V$ 의 경계 $\partial V$ 는 세 조각, 곧 $S$ 와 두 원판

$$D_l = \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x^2+z^2\le 4,\ y=0\ \big\}\qquad D_r = \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x^2+z^2\le 4,\ y=3\ \big\}$$

으로 이루어져 있다. 위 오른쪽 그림은 $S$, $V$, $D_l$, $D_r$ 중에서 제1팔분공간에 있는 부분을 나타낸 것이다.

$D_r$ 의 바깥쪽 법선벡터는 $\hat{\boldsymbol{\jmath}}$ 이고 $D_l$ 의 바깥쪽 법선벡터는 $-\hat{\boldsymbol{\jmath}}$ 이므로, 발산 정리에 의해 다음을 얻는다.

$$\begin{aligned} \iiint _V { \boldsymbol{\nabla} }\cdot \mathbf{F}\,\mathrm{d}V &=\iint _{\partial V}\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S \\ &=\iint _{S}\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S + \iint _{D_r}\mathbf{F}\cdot\hat{\boldsymbol{\jmath}}\,\mathrm{d}S + \iint _{D_l}\mathbf{F}\cdot(-\hat{\boldsymbol{\jmath}})\,\mathrm{d}S \end{aligned}$$

${ \boldsymbol{\nabla} }\cdot\mathbf{F} = 2$ 이고 $\mathbf{F}\cdot\hat{\boldsymbol{\jmath}} = x+z$ 이므로

$$\begin{aligned} \iint _{S}\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S &= \iiint _V 2\,\mathrm{d}V -\iint _{x^2+z^2\le 4}(x+z)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}z - \iint _{x^2+z^2\le 4}(-x-z)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}z \\ &= \iiint _V 2\,\mathrm{d}V \\ &= 2\ \text{부피}(V) =2(\pi 2^2) 3 =24\pi \end{aligned}$$

풀이 2 (직접 계산): 곡면을 다음과 같이 매개화하자.

$$\begin{aligned} \mathbf{r}(\theta,y) &= 2\cos\theta\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +y\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + 2\sin\theta\,\hat{\mathbf{k}}\qquad 0\le\theta<2\pi,\ 0\le y\le 3 \end{aligned}$$

그러면

$$\begin{aligned} \tfrac{\partial\mathbf{r}}{\partial\theta} &=\big(-2\sin\theta\,,\, 0\,,\, 2\cos\theta \big) \\ \tfrac{\partial\mathbf{r}}{\partial y} &=\big(0\,,\, 1\,,\, 0\big) \\ \hat{\mathbf{n}}\mathrm{d}S &=\pm\tfrac{\partial\mathbf{r}}{\partial\theta} \times \tfrac{\partial\mathbf{r}}{\partial y} \mathrm{d}\theta\mathrm{d}y =\pm \big(-2\cos\theta\,,\, 0\,,\, -2\sin\theta\big)\mathrm{d}\theta\mathrm{d}y \end{aligned}$$

바깥쪽 법선벡터를 얻으려면 음의 부호를 택해야 한다. 따라서

$$\hat{\mathbf{n}}\mathrm{d}S =\big(2\cos\theta\,,\, 0\,,\, 2\sin\theta\big)\mathrm{d}\theta\mathrm{d}y$$

이고,

$$\mathbf{F}\big(\mathbf{r}(\theta,y)\big) =\big(2\cos\theta + y\,,\,2\cos\theta+2\sin\theta\,,\,y+2\sin\theta\big)$$

이므로 구하는 플럭스는

$$\begin{aligned} \iint _{S}\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S &= \int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_0^3\mathrm{d}y \ \big(2\cos\theta + y\,,\,2\cos\theta+2\sin\theta\,,\,y+2\sin\theta\big)\cdot \big(2\cos\theta\,,\,0\,,\, 2\sin\theta\big) \\ &= \int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_0^3\mathrm{d}y \ \big(4\cos^2\theta + 2y\cos\theta +2y\sin\theta+4\sin^2\theta\big) \\ &= \int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_0^3\mathrm{d}y \ \big(4 + 2y\cos\theta +2y\sin\theta\big) \end{aligned}$$

$\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\ \cos\theta = \int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\ \sin\theta = 0$ 이므로

$$\begin{aligned} \iint _{S}\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S &= 4\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_0^3\mathrm{d}y =4(2\pi)3 =24\pi \end{aligned}$$