발산 정리 연습문제 — CLP-4 · 4.2절 · 9번

CLP-4 · 4.2절 · 9번대학 수준우리말 번역

$B$ 를 점 $(x_0, y_0, z_0)$ 을 중심으로 하는 부피 $V$ 의 공이라 하고, $S$ 를 $B$ 의 경계인 구면이라 하자. $\mathbf{F} = x^2\hat{\boldsymbol{\imath}} + xy\hat{\boldsymbol{\jmath}}+(3 z - yz)\hat{\mathbf{k}}$ 가 $S$ 를 ( $B$ 로부터) 바깥쪽으로 통과하는 플럭스를 구하세요.

영어 원문 보기

Let $B$ be the ball of volume $V$ centered at the point $(x_0, y_0, z_0)$ , and let $S$ be the sphere that is the boundary of $B$ . Find the flux of $\mathbf{F} = x^2\hat{\boldsymbol{\imath}} + xy\hat{\boldsymbol{\jmath}}+(3 z - yz)\hat{\mathbf{k}}$ outward (from $B$ ) through $S$ .

정답·풀이 보기

발산 정리를 적용한다. $\mathbf{F}$ 의 발산은 다음과 같다.

${ \boldsymbol{\nabla} }\cdot\mathbf{F} = \frac{\partial }{\partial x}(x^2) +\frac{\partial }{\partial y}(xy) +\frac{\partial }{\partial z}(3 z - yz) =3+3x-y$

따라서

$\begin{aligned} \iint _S\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S =\iiint _B{ \boldsymbol{\nabla} }\cdot\mathbf{F}\ \mathrm{d}V =\iiint _B(3+3x-y)\ \mathrm{d}V \end{aligned}$

이다.

$x$ 와 $y$ 의 적분을 계산하기 위해, $\mathbb{R}^3$ 의 임의의 입체 $\mathcal{V}$ 에 대해 다음이 성립함을 이용한다.

$\begin{aligned} \iiint _\mathcal{V}\mathrm{d}V=\text{부피}(\mathcal{V})\qquad \bar x =\frac{\iiint _\mathcal{V} x\,\mathrm{d}V}{\text{부피}(\mathcal{V})}\qquad \bar y =\frac{\iiint _\mathcal{V} y\,\mathrm{d}V}{\text{부피}(\mathcal{V})}\qquad \bar z =\frac{\iiint _\mathcal{V} z\,\mathrm{d}V}{\text{부피}(\mathcal{V})} \end{aligned}$

여기서 $(\bar x,\bar y,\bar z)$ 는 $\mathcal{V}$ 의 무게중심이다. 주어진 공의 부피는 $V$ 이고 무게중심은 $(\bar x,\bar y,\bar z) = (x_0,y_0,z_0)$ 이다. 따라서

$\begin{aligned} \iint _S\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S = V[3+3\bar x-\bar y] =[3+3x_0-y_0]\,V \end{aligned}$

이다.

원본 교재 풀이(영어)

Apply the divergence theorem. The divergence of $\mathbf{F}$ is

${ \boldsymbol{\nabla} }\cdot\mathbf{F} = \frac{\partial }{\partial x}(x^2) +\frac{\partial }{\partial y}(xy) +\frac{\partial }{\partial z}(3 z - yz) =3+3x-y$

$\begin{aligned} \iint _S\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S =\iiint _B{ \boldsymbol{\nabla} }\cdot\mathbf{F}\ \mathrm{d}V =\iiint _B(3+3x-y)\ \mathrm{d}V \end{aligned}$

To evaluate the integrals of $x$ and $y$ we use that, for any solid $\mathcal{V}$ in $\mathbb{R}^3$ ,

$\begin{aligned} \iiint _\mathcal{V}\mathrm{d}V=\text{Volume}(\mathcal{V})\qquad \bar x =\frac{\iiint _\mathcal{V} x\,\mathrm{d}V}{\text{Volume}(\mathcal{V})}\qquad \bar y =\frac{\iiint _\mathcal{V} y\,\mathrm{d}V}{\text{Volume}(\mathcal{V})}\qquad \bar z =\frac{\iiint _\mathcal{V} z\,\mathrm{d}V}{\text{Volume}(\mathcal{V})} \end{aligned}$

where $(\bar x,\bar y,\bar z)$ is the centroid of $\mathcal{V}$ . Our ball has volume $V$ and centroid $(\bar x,\bar y,\bar z) = (x_0,y_0,z_0)$ . So

$\begin{aligned} \iint _S\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S = V[3+3\bar x-\bar y] =[3+3x_0-y_0]\,V \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-4 · 4.2절 · 10번우리말 번역

$\mathbf{F}(x, y, z) = \big( 1 + z^{1+z^{1+z}}\,,\, 1 + z^{1+z^{1+z}}\,,\,1\big)$

라 하자.

$S$ 를 곡면

$x^2 + y^2 = 1 - z^4$

중 $xy$ 평면 위쪽에 있는 부분이라 하자. $\mathbf{F}$ 가 $S$ 를 통과하여 아래쪽으로 나가는 플럭스를 구하세요.

답 쓰고 채점

다 풀었으면 정답 확인

$V=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x^2+y^2\le 1-z^4,\ 0\le z\le 1\ \big\}$

라 하자.

그러면 발산 정리에서 쓰는 방향을 준 $V$ 의 경계 $\partial V$ 는 두 부분으로 이루어진다.

법선이 위쪽을 향하는 곡면 $S$ , 그리고
법선이 $-\hat{\mathbf{k}}$ 인 원판 $D=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x^2+y^2\le 1,\ z=0\ \big\}$

따라서 발산 정리에 의해

$\begin{aligned} \iiint _V { \boldsymbol{\nabla} }\cdot\mathbf{F}\,\mathrm{d}V =\iint _{\partial V}\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S =- \iint _S\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S +\iint _D\mathbf{F}\cdot(-\hat{\mathbf{k}})\,\mathrm{d}S \end{aligned}$

이다. ${ \boldsymbol{\nabla} }\cdot\mathbf{F}=0$ 이고 $\mathbf{F}(x,y,0) = \big( 1 \,,\, 1 \,,\,1\big)$ 이므로

$\begin{aligned} \iint _S\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S =\iint _D\mathbf{F}\cdot(-\hat{\mathbf{k}})\,\mathrm{d}S =-\iint _D\mathrm{d}S =-\pi \end{aligned}$

이다.

이 문제로 이어서 풀기

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