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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 벡터 미적분

발산 정리

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-4 · 4.2절 · 10번대학 수준우리말 번역

F(x,y,z)=(1+z1+z1+z , 1+z1+z1+z , 1)\mathbf{F}(x, y, z) = \big( 1 + z^{1+z^{1+z}}\,,\, 1 + z^{1+z^{1+z}}\,,\,1\big)

라 하자.

SS 를 곡면

x2+y2=1−z4x^2 + y^2 = 1 - z^4

중 xyxy평면 위쪽에 있는 부분이라 하자. F\mathbf{F} 가 SS 를 통과하여 아래쪽으로 나가는 플럭스를 구하세요.

영어 원문 보기

Let

F(x,y,z)=(1+z1+z1+z , 1+z1+z1+z , 1)\mathbf{F}(x, y, z) = \big( 1 + z^{1+z^{1+z}}\,,\, 1 + z^{1+z^{1+z}}\,,\,1\big)

Let SS be the portion of the surface

x2+y2=1−z4x^2 + y^2 = 1 - z^4

which is above the xyxy-plane. What is the flux of F\mathbf{F} downward through SS?

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정답·풀이 보기

V={ (x,y,z) ∣ x2+y2≤1−z4, 0≤z≤1 }V=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x^2+y^2\le 1-z^4,\ 0\le z\le 1\ \big\}

라 하자.

그러면 발산 정리에서 쓰는 방향을 준 VV 의 경계 ∂V\partial V 는 두 부분으로 이루어진다.

  • 법선이 위쪽을 향하는 곡면 SS, 그리고
  • 법선이 −k^-\hat{\mathbf{k}} 인 원판 D={ (x,y,z) ∣ x2+y2≤1, z=0 }D=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x^2+y^2\le 1,\ z=0\ \big\}

따라서 발산 정리에 의해

∭V∇⋅F dV=∬∂VF⋅n^ dS=−∬SF⋅n^ dS+∬DF⋅(−k^) dS\begin{aligned} \iiint _V { \boldsymbol{\nabla} }\cdot\mathbf{F}\,\mathrm{d}V =\iint _{\partial V}\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S =- \iint _S\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S +\iint _D\mathbf{F}\cdot(-\hat{\mathbf{k}})\,\mathrm{d}S \end{aligned}

이다. ∇⋅F=0{ \boldsymbol{\nabla} }\cdot\mathbf{F}=0 이고 F(x,y,0)=(1 , 1 , 1)\mathbf{F}(x,y,0) = \big( 1 \,,\, 1 \,,\,1\big) 이므로

∬SF⋅n^ dS=∬DF⋅(−k^) dS=−∬DdS=−π\begin{aligned} \iint _S\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S =\iint _D\mathbf{F}\cdot(-\hat{\mathbf{k}})\,\mathrm{d}S =-\iint _D\mathrm{d}S =-\pi \end{aligned}

이다.

원본 교재 풀이(영어)

Let

V={ (x,y,z) ∣ x2+y2≤1−z4, 0≤z≤1 }V=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x^2+y^2\le 1-z^4,\ 0\le z\le 1\ \big\}

Then the boundary, ∂V\partial V, of VV, with the orientation that is used in the divergence theorem, consists of two parts

  • the surface SS, but with the upward pointing normal, and
  • the disk D={ (x,y,z) ∣ x2+y2≤1, z=0 }D=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x^2+y^2\le 1,\ z=0\ \big\}, with normal −k^-\hat{\mathbf{k}}.

So the divergence theorem gives

∭V∇⋅F dV=∬∂VF⋅n^ dS=−∬SF⋅n^ dS+∬DF⋅(−k^) dS\begin{aligned} \iiint _V { \boldsymbol{\nabla} }\cdot\mathbf{F}\,\mathrm{d}V =\iint _{\partial V}\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S =- \iint _S\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S +\iint _D\mathbf{F}\cdot(-\hat{\mathbf{k}})\,\mathrm{d}S \end{aligned}

As ∇⋅F=0{ \boldsymbol{\nabla} }\cdot\mathbf{F}=0 and F(x,y,0)=(1 , 1 , 1)\mathbf{F}(x,y,0) = \big( 1 \,,\, 1 \,,\,1\big)

∬SF⋅n^ dS=∬DF⋅(−k^) dS=−∬DdS=−π\begin{aligned} \iint _S\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S =\iint _D\mathbf{F}\cdot(-\hat{\mathbf{k}})\,\mathrm{d}S =-\iint _D\mathrm{d}S =-\pi \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-4 · 4.2절 · 11번우리말 번역

발산 정리를 이용하여 xı^+yȷ^+2zk^x\hat{\boldsymbol{\imath}}+y\hat{\boldsymbol{\jmath}}+2z\hat{\mathbf{k}} 의 타원면 x2+y2+2z2=2x^2+y^2+2z^2=2 중 z≥0z\ge 0 인 부분을 통과하는 플럭스를 구하세요. [참고: 타원면 x2a2+y2b2+z2c2=1\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1 이 둘러싼 입체의 부피는 43πabc\frac{4}{3}\pi abc 이다.]

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VV 를 x2+y2+2z2≤2x^2+y^2+2z^2\le 2, z≥0z\ge 0 인 입체라 하자. VV 의 겉면은 위쪽을 향하는 법선을 갖는 위쪽의 반타원면 S={ (x,y,z) ∣ x2+y2+2z2=2, z≥0 }S=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x^2+y^2+2z^2=2,\ z\ge 0\ \big\} 와, 법선이 −k^-\hat{\mathbf{k}} 인 아래쪽의 원판 D={(x,y,z)}z=0, x2+y2≤2D=\left\{(x,y,z)\right\}{z=0,\ x^2+y^2\le 2} 로 이루어진다. 이 벡터장을 F\mathbf{F} 라 하자. 발산 정리에 의해 ∬SF⋅n^ dS+∬DF⋅(−k^) dS=∭V∇⋅F dV=∭V4 dV\iint _S\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\ \mathrm{d}S +\iint _D\mathbf{F}\cdot(-\hat{\mathbf{k}})\,\mathrm{d}S =\iiint _V{ \boldsymbol{\nabla} }\cdot\mathbf{F}\ \mathrm{d}V =\iiint _V 4\ \mathrm{d}V 이다. 이 타원체는 a=2a=\sqrt{2}, b=2b=\sqrt{2}, c=1c=1 이고 부피는 43πabc=83π\frac{4}{3}\pi abc=\frac{8}{3}\pi 이다. 따라서 ∭V4 dV=4×12(Volume of the ellipsoid)=16π3\iiint _V 4\ \mathrm{d}V=4\times\tfrac{1}{2}({\rm Volume\ of\ the\ ellipsoid})=\frac{16\pi}{3} 이다. DD 위에서 z=0z=0 이고 xx 와 yy 가 홀함수이므로 ∬Dx dS=∬Dy dS=0\iint _D x\,\mathrm{d}S=\iint _D y\,\mathrm{d}S=0 이다. 따라서 ∬DF⋅(−k^) dS=∬D(xı^+yȷ^+0k^)⋅(−k^) dS=0\iint _D\mathbf{F}\cdot(-\hat{\mathbf{k}})\,\mathrm{d}S =\iint _D(x\hat{\boldsymbol{\imath}}+y\hat{\boldsymbol{\jmath}}+0\hat{\mathbf{k}})\cdot(-\hat{\mathbf{k}})\,\mathrm{d}S =0 이므로 구하는 플럭스는 ∬SF⋅n^ dS=∭V4 dV=163π\iint _S\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\ \mathrm{d}S=\iiint _V 4\ \mathrm{d}V =\frac{16}{3}\pi 이다.

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CLP-4 Vector Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)

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