발산 정리 연습문제 — CLP-4 · 4.2절 · 11번

CLP-4 · 4.2절 · 11번대학 수준우리말 번역

발산 정리를 이용하여 $x\hat{\boldsymbol{\imath}}+y\hat{\boldsymbol{\jmath}}+2z\hat{\mathbf{k}}$ 의 타원면 $x^2+y^2+2z^2=2$ 중 $z\ge 0$ 인 부분을 통과하는 플럭스를 구하세요. [참고: 타원면 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$ 이 둘러싼 입체의 부피는 $\frac{4}{3}\pi abc$ 이다.]

영어 원문 보기

Use the divergence theorem to find the flux of $x\hat{\boldsymbol{\imath}}+y\hat{\boldsymbol{\jmath}}+2z\hat{\mathbf{k}}$ through the part of the ellipsoid $x^2+y^2+2z^2=2$ with $z\ge 0$ . [Note: the ellipsoid $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$ has volume $\frac{4}{3}\pi abc$ .]

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$V$ 를 $x^2+y^2+2z^2\le 2$ , $z\ge 0$ 인 입체라 하자. $V$ 의 겉면은 위쪽을 향하는 법선을 갖는 위쪽의 반타원면 $S=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x^2+y^2+2z^2=2,\ z\ge 0\ \big\}$ 와, 법선이 $-\hat{\mathbf{k}}$ 인 아래쪽의 원판 $D=\left\{(x,y,z)\right\}{z=0,\ x^2+y^2\le 2}$ 로 이루어진다. 이 벡터장을 $\mathbf{F}$ 라 하자. 발산 정리에 의해 $\iint _S\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\ \mathrm{d}S +\iint _D\mathbf{F}\cdot(-\hat{\mathbf{k}})\,\mathrm{d}S =\iiint _V{ \boldsymbol{\nabla} }\cdot\mathbf{F}\ \mathrm{d}V =\iiint _V 4\ \mathrm{d}V$ 이다. 이 타원체는 $a=\sqrt{2}$ , $b=\sqrt{2}$ , $c=1$ 이고 부피는 $\frac{4}{3}\pi abc=\frac{8}{3}\pi$ 이다. 따라서 $\iiint _V 4\ \mathrm{d}V=4\times\tfrac{1}{2}({\rm Volume\ of\ the\ ellipsoid})=\frac{16\pi}{3}$ 이다. $D$ 위에서 $z=0$ 이고 $x$ 와 $y$ 가 홀함수이므로 $\iint _D x\,\mathrm{d}S=\iint _D y\,\mathrm{d}S=0$ 이다. 따라서 $\iint _D\mathbf{F}\cdot(-\hat{\mathbf{k}})\,\mathrm{d}S =\iint _D(x\hat{\boldsymbol{\imath}}+y\hat{\boldsymbol{\jmath}}+0\hat{\mathbf{k}})\cdot(-\hat{\mathbf{k}})\,\mathrm{d}S =0$ 이므로 구하는 플럭스는 $\iint _S\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\ \mathrm{d}S=\iiint _V 4\ \mathrm{d}V =\frac{16}{3}\pi$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Let $V$ be the solid $x^2+y^2+2z^2\le 2$ , $z\ge 0$ . The surface of $V$ consists of the half-ellipsoid $S=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x^2+y^2+2z^2=2,\ z\ge 0\ \big\}$ , on top with upward pointing normal, and the disk $D=\left\{(x,y,z)\right\}{z=0,\ x^2+y^2\le 2}$ , on the bottom with normal $-\hat{\mathbf{k}}$ . Call the vector field $\mathbf{F}$ . By the divergence theorem $\iint _S\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\ \mathrm{d}S +\iint _D\mathbf{F}\cdot(-\hat{\mathbf{k}})\,\mathrm{d}S =\iiint _V{ \boldsymbol{\nabla} }\cdot\mathbf{F}\ \mathrm{d}V =\iiint _V 4\ \mathrm{d}V$ The ellipsoid has $a=\sqrt{2}$ , $b=\sqrt{2}$ , $c=1$ and volume $\frac{4}{3}\pi abc=\frac{8}{3}\pi$ . So $\iiint _V 4\ \mathrm{d}V=4\times\tfrac{1}{2}({\rm Volume\ of\ the\ ellipsoid})=\frac{16\pi}{3}$ On $D$ , $z=0$ and $\iint _D x\,\mathrm{d}S=\iint _D y\,\mathrm{d}S=0$ because $x$ and $y$ are odd. So $\iint _D\mathbf{F}\cdot(-\hat{\mathbf{k}})\,\mathrm{d}S =\iint _D(x\hat{\boldsymbol{\imath}}+y\hat{\boldsymbol{\jmath}}+0\hat{\mathbf{k}})\cdot(-\hat{\mathbf{k}})\,\mathrm{d}S =0$ and the desired flux is $\iint _S\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\ \mathrm{d}S=\iiint _V 4\ \mathrm{d}V =\frac{16}{3}\pi$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-4 · 4.2절 · 2번우리말 번역

(a) $\mathbf{a}$ 가 임의의 상수 벡터일 때, $\mathbf{F}=\phi\,\mathbf{a}$ 에 발산 정리를 적용하여 다음을 보이세요.

$\iiint _V { \boldsymbol{\nabla} }\phi\,\mathrm{d}V=\iint _{\partial V}\phi\,\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S$ (b) 부피가 $|V|$ 인 입체 $V$ 의 무게중심 $(\bar x,\bar y,\bar z)$ 가 다음과 같이 주어짐을 보이세요.

$(\bar x,\bar y,\bar z)=\frac{1}{2|V|}\iint _{\partial V} (x^2+y^2+z^2)\,\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S$

다 풀었으면 정답 확인

(a) $\phi\,\mathbf{a}$ 의 발산은 ${ \boldsymbol{\nabla} }\cdot(\phi\,\mathbf{a}) ={ \boldsymbol{\nabla} }\phi\cdot\mathbf{a}+\phi{ \boldsymbol{\nabla} }\cdot\mathbf{a}={ \boldsymbol{\nabla} }\phi\cdot\mathbf{a}$ 이다. $\mathbf{a}$ 가 상수이기 때문이다. 따라서 발산 정리에 의해

$\iint _{\partial V}\phi\,\mathbf{a}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S =\iiint _V{ \boldsymbol{\nabla} }\cdot(\phi\,\mathbf{a})\ \mathrm{d}V =\iiint _V { \boldsymbol{\nabla} }\phi\cdot\mathbf{a}\ \mathrm{d}V \implies \left[\iint _{\partial V}\phi\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S -\iiint _V { \boldsymbol{\nabla} }\phi\,\mathrm{d}V\right]\cdot\mathbf{a}=0$

이는 모든 벡터 $\mathbf{a}$ 에 대해 성립한다. 특히 $\mathbf{a}=\hat{\boldsymbol{\imath}},\hat{\boldsymbol{\jmath}},\hat{\mathbf{k}}$ 로 놓으면 $\left[\iint _{\partial V}\phi\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S -\iiint _V { \boldsymbol{\nabla} }\phi\,\mathrm{d}V\right]$ 의 세 성분이 모두 0이다. 따라서

$\iint _{\partial V}\phi\,\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S-\iiint _V { \boldsymbol{\nabla} }\phi\,\mathrm{d}V=0$

(b) (a)에서 $\phi=x^2+y^2+z^2$ 이고 ${ \boldsymbol{\nabla} }\phi = 2x\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+2y\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+2z\,\hat{\mathbf{k}}$ 이므로

$\frac{1}{2|V|}\iint _{\partial V} (x^2+y^2+z^2)\,\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S =\frac{1}{2|V|} \iiint _V (2x\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+2y\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+2z\,\hat{\mathbf{k}})\,\mathrm{d}V =(\bar x,\bar y,\bar z)$

이 문제로 이어서 풀기

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