발산 정리 연습문제 — CLP-4 · 4.2절 · 19번

CLP-4 · 4.2절 · 19번대학 수준우리말 번역

$S$ 를 구 $x^2 + y^2 + z^2 = 4$ 중에서 평면 $z = 1$ 과 $z = 0$ 사이에 있는 부분이라 하고, 원점에서 멀어지는 방향을 향하도록 방향을 주자.

$\begin{aligned} \mathbf{F} = (e^y + xz)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + (zy + \sin(x))\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + (z^2 - 1)\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}$

이라 할 때, 다음 플럭스 적분의 값을 구하세요.

$\begin{aligned} \iint _S \mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S. \end{aligned}$

영어 원문 보기

Let $S$ be the part of the sphere $x^2 + y^2 + z^2 = 4$ between the planes $z = 1$ and $z = 0$ oriented away from the origin. Let

$\begin{aligned} \mathbf{F} = (e^y + xz)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + (zy + \sin(x))\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + (z^2 - 1)\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}$

Compute the flux integral

$\begin{aligned} \iint _S \mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S. \end{aligned}$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

이 적분을 예를 들어 구면좌표를 써서 직접 계산하려 하면, 피적분함수에

$\sin(x) = \sin\big(2\sin\varphi\cos\theta\big)$

가 들어 있게 된다. 이는 그다지 다루기 좋은 꼴이 아니다. 그래서 대신 발산 정리를 이용해 보자. 먼저,

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} }\cdot\mathbf{F} &= \frac{\partial }{\partial x}\big(e^y + xz\big) +\frac{\partial }{\partial y}\big(zy + \sin(x)\big) +\frac{\partial }{\partial z}\big(z^2 - 1\big) = 4z \end{aligned}$

이다. 매우 간단하다. 이제 $S$ 를 살펴보자. $S$ 중 제1팔분공간에 있는 부분은 아래 왼쪽 그림에 빨간색으로 표시되어 있다.

곡면 $S$ 는 닫혀 있지 않으므로 어떤 입체의 경계가 아니고, 따라서 발산 정리를 바로 적용할 수 없다. 그러나 경계가 $S$ 를 포함하는 입체를 쉽게 만들 수 있다.

$V=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x^2 + y^2 + z^2 \le 4,\ 0\le z\le 1\ \big\}$

이라 하자. $V$ 의 경계 $\partial V$ 는 세 부분, 즉 $S$ , 아래쪽 원판

$D_b = \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x^2 + y^2 \le 4,\ z=0\ \big\}$

그리고 위쪽 원판

$D_t = \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x^2 + y^2 \le 3,\ z=1\ \big\}$

으로 이루어진다. $D_t$ 의 바깥쪽 법선벡터는 $\hat{\mathbf{k}}$ 이고 $D_b$ 의 바깥쪽 법선벡터는 $-\hat{\mathbf{k}}$ 이다. 따라서 발산 정리에 의해

$\begin{aligned} \iiint _V{ \boldsymbol{\nabla} }\cdot\mathbf{F}\,\mathrm{d}V =\iint _{\partial V} \mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S =\iint _S \mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S +\iint _{D_t} \mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{k}}\,\mathrm{d}S +\iint _{D_b} \mathbf{F}\cdot(-\hat{\mathbf{k}})\,\mathrm{d}S \end{aligned}$

이다. $D_b$ 위에서는 $z=0$ 이므로 $\mathbf{F}\cdot(-\hat{\mathbf{k}}) = -(0^2-1)=1$ 이고, $D_t$ 위에서는 $z=1$ 이므로 $\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{k}} = 1^2-1=0$ 이다. 따라서

$\begin{aligned} \iint _S \mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S =\iiint _V\overbrace{4z}^{{ \boldsymbol{\nabla} }\cdot\mathbf{F}}\,\mathrm{d}V -\iint _{D_b} \mathrm{d}S \end{aligned}$

이다. $V$ 의 $z$ 가 일정한 단면은 반지름이 $\sqrt{4-z^2}$ 인 원판이므로 넓이가 $\pi(4-z^2)$ 이고, $D_b$ 는 반지름이 $2$ 인 원판이므로 넓이가 $4\pi$ 이다. 따라서

$\begin{aligned} \iint _S \mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S &=\int_0^1 (4z)\ \pi(4-z^2) \ \mathrm{d}z -4\pi =4\pi\Big[2z^2 - \frac{z^4}{4}\Big]_0^1 -4\pi =3\pi \end{aligned}$

이다.

원본 교재 풀이(영어)

If we were to evaluate this integral directly using, for example, spherical coordinates, our integrand would contain

$\sin(x) = \sin\big(2\sin\varphi\cos\theta\big)$

That's not very friendly looking. So let's consider using the divergence theorem instead. To start,

That's nice and simple. So let's move on to consideration of $S$ . The part of $S$ in the first octant is outlined in red in the figure on the left below.

The surface $S$ is not closed, and so is not the boundary of a solid, so we cannot apply the divergence theorem directly. But we can easily come up with a solid whose boundary contains $S$ . Let

$V=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x^2 + y^2 + z^2 \le 4,\ 0\le z\le 1\ \big\}$

The boundary $\partial V$ of $V$ consists of three parts — $S$ , the bottom disk

$D_b = \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x^2 + y^2 \le 4,\ z=0\ \big\}$

and the top disk

$D_t = \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x^2 + y^2 \le 3,\ z=1\ \big\}$

The outward normal to $D_t$ is $\hat{\mathbf{k}}$ and the outward normal to $D_b$ is $-\hat{\mathbf{k}}$ . So the divergence theorem gives

On $D_b$ , $z=0$ so that $\mathbf{F}\cdot(-\hat{\mathbf{k}}) = -(0^2-1)=1$ and on $D_t$ , $z=1$ so that $\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{k}} = 1^2-1=0$ . So

$\begin{aligned} \iint _S \mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S =\iiint _V\overbrace{4z}^{{ \boldsymbol{\nabla} }\cdot\mathbf{F}}\,\mathrm{d}V -\iint _{D_b} \mathrm{d}S \end{aligned}$

The constant $z$ cross-section of $V$ is a disk of radius $\sqrt{4-z^2}$ and hence of area $\pi(4-z^2)$ and $D_b$ is a disk of radius $2$ and hence of area $4\pi$ . So

$\begin{aligned} \iint _S \mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S &=\int_0^1 (4z)\ \pi(4-z^2) \ \mathrm{d}z -4\pi =4\pi\Big[2z^2 - \frac{z^4}{4}\Big]_0^1 -4\pi =3\pi \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-4 · 4.2절 · 9번우리말 번역

$B$ 를 점 $(x_0, y_0, z_0)$ 을 중심으로 하는 부피 $V$ 의 공이라 하고, $S$ 를 $B$ 의 경계인 구면이라 하자. $\mathbf{F} = x^2\hat{\boldsymbol{\imath}} + xy\hat{\boldsymbol{\jmath}}+(3 z - yz)\hat{\mathbf{k}}$ 가 $S$ 를 ( $B$ 로부터) 바깥쪽으로 통과하는 플럭스를 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

발산 정리를 적용한다. $\mathbf{F}$ 의 발산은 다음과 같다.

${ \boldsymbol{\nabla} }\cdot\mathbf{F} = \frac{\partial }{\partial x}(x^2) +\frac{\partial }{\partial y}(xy) +\frac{\partial }{\partial z}(3 z - yz) =3+3x-y$

따라서

$\begin{aligned} \iint _S\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S =\iiint _B{ \boldsymbol{\nabla} }\cdot\mathbf{F}\ \mathrm{d}V =\iiint _B(3+3x-y)\ \mathrm{d}V \end{aligned}$

이다.

$x$ 와 $y$ 의 적분을 계산하기 위해, $\mathbb{R}^3$ 의 임의의 입체 $\mathcal{V}$ 에 대해 다음이 성립함을 이용한다.

$\begin{aligned} \iiint _\mathcal{V}\mathrm{d}V=\text{부피}(\mathcal{V})\qquad \bar x =\frac{\iiint _\mathcal{V} x\,\mathrm{d}V}{\text{부피}(\mathcal{V})}\qquad \bar y =\frac{\iiint _\mathcal{V} y\,\mathrm{d}V}{\text{부피}(\mathcal{V})}\qquad \bar z =\frac{\iiint _\mathcal{V} z\,\mathrm{d}V}{\text{부피}(\mathcal{V})} \end{aligned}$

여기서 $(\bar x,\bar y,\bar z)$ 는 $\mathcal{V}$ 의 무게중심이다. 주어진 공의 부피는 $V$ 이고 무게중심은 $(\bar x,\bar y,\bar z) = (x_0,y_0,z_0)$ 이다. 따라서

$\begin{aligned} \iint _S\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S = V[3+3\bar x-\bar y] =[3+3x_0-y_0]\,V \end{aligned}$

이다.

이 문제로 이어서 풀기

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