빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 벡터 미적분

발산 정리

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-4 · 4.2절 · 27번대학 수준우리말 번역

벡터장 F(x,y,z)=−2xy ı^+(y2+sin⁡(xz)) ȷ^+(x2+y2) k^\mathbf{F}(x,y,z) =-2xy\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+\big(y^2+\sin(xz)\big)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+(x^2+y^2)\,\hat{\mathbf{k}} 를 생각하세요.

(a) ∇⋅F\nabla\cdot \mathbf{F} 를 계산하세요. (b) 곡면 SS 의 바깥쪽 법선벡터를 사용하여, 다음으로 정의되는 곡면 SS 를 지나는 F\mathbf{F} 의 플럭스를 구하세요.

x2+y2+(z−12)2=132, z≥0x^2+y^2+(z-12)^2=13^2,\ z\ge 0

영어 원문 보기

Consider the vector field F(x,y,z)=−2xy ı^+(y2+sin⁡(xz)) ȷ^+(x2+y2) k^\mathbf{F}(x,y,z) =-2xy\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+\big(y^2+\sin(xz)\big)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+(x^2+y^2)\,\hat{\mathbf{k}}.

(a) Calculate ∇⋅F\nabla\cdot \mathbf{F}. (b) Find the flux of F\mathbf{F} through the surface SS defined by

x2+y2+(z−12)2=132, z≥0x^2+y^2+(z-12)^2=13^2,\ z\ge 0

using the outward normal to SS.

답 쓰고 채점
(a)
(b)
정답·풀이 보기

(a) F\mathbf{F} 의 발산은 다음과 같다.

∇⋅F=∂∂x(−2xy)+∂∂y(y2+sin⁡(xz))+∂∂z(x2+y2)=−2y+2y+0=0\nabla\cdot \mathbf{F} =\frac{\partial }{\partial x}\big(-2xy\big) +\frac{\partial }{\partial y}\big(y^2+\sin(xz)\big) +\frac{\partial }{\partial z}\big(x^2+y^2\big) =-2y+2y+0=0

(b) 주어진 곡면을 SS 라 하고

V={ (x,y,z) ∣ x2+y2+(z−12)2≤132, z≥0 }V = \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x^2+y^2+(z-12)^2\le 13^2,\ z\ge 0\ \big\}

로 놓는다.

VV 의 경계 ∂V\partial V 는 두 부분으로 이루어진다. 바깥쪽 법선벡터를 갖는 SS 와, 법선벡터가 −k^-\hat{\mathbf{k}} 인 원판

D={ (x,y,z) ∣ x2+y2≤132−122=52, z=0 }D = \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x^2+y^2\le 13^2-12^2=5^2,\ z=0\ \big\}

이다. 발산 정리에 의해 구하는 플럭스는 다음과 같다.

∬SF⋅n^ ds=∭V∇⋅F dV−∬DF⋅(−k^) dS=∭V0 dV+∬D(x2+y2)dxdy=0+∫05dr r∫02πdθ r2=2π544=6252π\begin{aligned} \iint _S\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\ \mathrm{d}s &=\iiint _V\nabla\cdot \mathbf{F}\ \mathrm{d}V - \iint _D \mathbf{F}\cdot(-\hat{\mathbf{k}})\ \mathrm{d}S\\ &=\iiint _V 0 \ \mathrm{d}V + \iint _D (x^2+y^2) \mathrm{d}x\mathrm{d}y \\ &=0 +\int_0^5\mathrm{d}r\ r\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\ r^2 \\ &=2\pi\frac{5^4}{4} = \frac {625}{2}\pi \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

(a) The divergence of F\mathbf{F} is

∇⋅F=∂∂x(−2xy)+∂∂y(y2+sin⁡(xz))+∂∂z(x2+y2)=−2y+2y+0=0\nabla\cdot \mathbf{F} =\frac{\partial }{\partial x}\big(-2xy\big) +\frac{\partial }{\partial y}\big(y^2+\sin(xz)\big) +\frac{\partial }{\partial z}\big(x^2+y^2\big) =-2y+2y+0=0

(b) Call the specified surface SS and set

V={ (x,y,z) ∣ x2+y2+(z−12)2≤132, z≥0 }V = \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x^2+y^2+(z-12)^2\le 13^2,\ z\ge 0\ \big\}

The boundary, ∂V\partial V, of VV consists of two parts — SS, with outward normal, and the disk

D={ (x,y,z) ∣ x2+y2≤132−122=52, z=0 }D = \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x^2+y^2\le 13^2-12^2=5^2,\ z=0\ \big\}

with normal −k^-\hat{\mathbf{k}}. By the divergence theorem, the desired flux is

∬SF⋅n^ ds=∭V∇⋅F dV−∬DF⋅(−k^) dS=∭V0 dV+∬D(x2+y2)dxdy=0+∫05dr r∫02πdθ r2=2π544=6252π\begin{aligned} \iint _S\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\ \mathrm{d}s &=\iiint _V\nabla\cdot \mathbf{F}\ \mathrm{d}V - \iint _D \mathbf{F}\cdot(-\hat{\mathbf{k}})\ \mathrm{d}S\\ &=\iiint _V 0 \ \mathrm{d}V + \iint _D (x^2+y^2) \mathrm{d}x\mathrm{d}y \\ &=0 +\int_0^5\mathrm{d}r\ r\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\ r^2 \\ &=2\pi\frac{5^4}{4} = \frac {625}{2}\pi \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-4 · 4.2절 · 47번우리말 번역

 F=(x2+y2+z2) ı^+(ex2+y2) ȷ^+(3+x+z) k^ \ \mathbf{F}= (x^2+y^2+z^2)\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+(e^{x^2}+y^2)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+(3+x+z)\,\hat{\mathbf{k}}\ 라 하고, SS 를 곡면  x2+y2+z2=2az+3a2 \ x^2+y^2+z^2=2az+3a^2\ 중  z≥0\ z\ge 0 인 부분이라 하자. SS 의 방향은 법선이 원점에서 멀어지는 쪽을 향하도록 정한다. 여기서 a>0a>0 은 상수이다. SS 를 지나는 F\mathbf{F} 의 플럭스를 계산하세요.

답 쓰고 채점
다 풀었으면 정답 확인

z2−2az=(z−a)2−a2z^2-2az = (z-a)^2 -a^2 이므로 다음을 얻는다.

S={ (x,y,z ∣ x2+y2+(z−a)2=4a2, z≥0 }S=\big\{ \ (x,y,z\ \big|\ x^2+y^2 +(z-a)^2=4a^2,\ z\ge 0\ \big\}

VV 를 다음과 같은 입체라 하자.

V={ (x,y,z) ∣ x2+y2+(z−a)2≤4a2, z≥0 }V=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x^2+y^2+(z-a)^2\le 4a^2,\ z\ge 0\ \big\}

이것은 중심이 (0,0,a)(0,0,a) 이고 반지름이 2a2a 인 구의 내부이다. VV 의 경계면(바깥쪽 법선)은 SS(법선이 원점에서 멀어지는 쪽을 향함)와 원판

B={ (x,y,0) ∣ x2+y2≤3a2 }B=\big\{ \ (x,y,0)\ \big|\ x^2+y^2\le 3a^2\ \big\}

(법선 −k^-\hat{\mathbf{k}})의 합집합이다. 따라서 발산 정리에 의해

∬SF⋅n^ dS=∭Vn⋅F dV−∬BF⋅(−k^) dS=∭V(2x+2y+1) dV−∬B(−3−x) dS\begin{aligned} \iint _S\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\, \mathrm{d}S &=\iiint _V\mathbf{n}\cdot\mathbf{F}\,\mathrm{d}V-\iint _B\mathbf{F}\cdot(-\hat{\mathbf{k}})\,\mathrm{d}S\\ &=\iiint _V(2x+2y+1)\,\mathrm{d}V-\iint _B(-3-x)\,\mathrm{d}S \end{aligned}

이다. VV 와 BB 는 모두 x→−xx\rightarrow -x 와 y→−yy\rightarrow -y 에 대해 불변이므로 ∭Vx dV=∭Vy dV=∬Bx dS=0\iiint _Vx\,\mathrm{d}V=\iiint _Vy\,\mathrm{d}V=\iint _B x\,\mathrm{d}S=0 이고,

∬SF⋅n^ dS=∭V dV+3∬B dS\begin{aligned} \iint _S\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\, \mathrm{d}S &=\iiint _V \,\mathrm{d}V+3\iint _B\,\mathrm{d}S \end{aligned}

이다.

VV 에 대한 적분을 계산하기 위해, zz 는 00 에서 3a3a 까지 변하고

V={ (x,y,z) ∣ 0≤z≤3a, x2+y2≤4a2−(z−a)2, z≥0 }V=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ 0\le z\le 3a,\ x^2+y^2\le 4a^2-(z-a)^2,\ z\ge 0\ \big\}

의 zz 를 고정한 단면은 원판 x2+y2≤4a2−(z−a)2=3a2+2az−z2x^2+y^2\le 4a^2-(z-a)^2 = 3a^2 +2a z - z^2 이며, 이 원판의 넓이는 π(3a2+2az−z2 )2\pi\big({\sqrt{3a^2+2az-z^2}\,}\big)^2 임에 주목한다. 따라서

∬SF⋅n^ dS=∫03aπ(3a2+2az−z2 )2 dz+3 넓이(B)=π∫03a(3a2+2az−z2) dz+3π(3a2)=π(3a2×3a+2a×9a22−27a33)+9πa2=9πa3+9πa2\begin{aligned} \iint _S\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\, \mathrm{d}S & =\int_0^{3a}\pi\big({\sqrt{3a^2+2az-z^2}\,}\big)^2\,\mathrm{d}z+3\,\text{넓이}(B)\\ &=\pi\int_0^{3a}(3a^2+2az-z^2)\,\mathrm{d}z+3\pi(3a^2)\\ &=\pi \left(3a^2\times 3a+2a\times\frac{9a^2}{2}-\frac{27a^3}{3}\right) +9\pi a^2 \\ &= 9\pi a^3+9\pi a^2 \end{aligned}

이 문제로 이어서 풀기
# 발산 정리계산보통자동 분류
CLP-4 Vector Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)

「발산 정리」 문제 목록으로