발산 정리 연습문제 — CLP-4 · 4.2절 · 47번

CLP-4 · 4.2절 · 47번대학 수준우리말 번역

$\ \mathbf{F}= (x^2+y^2+z^2)\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+(e^{x^2}+y^2)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+(3+x+z)\,\hat{\mathbf{k}}\$ 라 하고, $S$ 를 곡면 $\ x^2+y^2+z^2=2az+3a^2\$ 중 $\ z\ge 0$ 인 부분이라 하자. $S$ 의 방향은 법선이 원점에서 멀어지는 쪽을 향하도록 정한다. 여기서 $a>0$ 은 상수이다. $S$ 를 지나는 $\mathbf{F}$ 의 플럭스를 계산하세요.

영어 원문 보기

Let $\ \mathbf{F}= (x^2+y^2+z^2)\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+(e^{x^2}+y^2)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+(3+x+z)\,\hat{\mathbf{k}}\$ and let $S$ be the part of the surface $\ x^2+y^2+z^2=2az+3a^2\$ having $\ z\ge 0$ , oriented with normal pointing away from the origin. Here $a>0$ is a constant. Compute the flux of $\mathbf{F}$ through $S$ .

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정답·풀이 보기

$z^2-2az = (z-a)^2 -a^2$ 이므로 다음을 얻는다.

$S=\big\{ \ (x,y,z\ \big|\ x^2+y^2 +(z-a)^2=4a^2,\ z\ge 0\ \big\}$

$V$ 를 다음과 같은 입체라 하자.

$V=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x^2+y^2+(z-a)^2\le 4a^2,\ z\ge 0\ \big\}$

이것은 중심이 $(0,0,a)$ 이고 반지름이 $2a$ 인 구의 내부이다. $V$ 의 경계면(바깥쪽 법선)은 $S$ (법선이 원점에서 멀어지는 쪽을 향함)와 원판

$B=\big\{ \ (x,y,0)\ \big|\ x^2+y^2\le 3a^2\ \big\}$

(법선 $-\hat{\mathbf{k}}$ )의 합집합이다. 따라서 발산 정리에 의해

$\begin{aligned} \iint _S\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\, \mathrm{d}S &=\iiint _V\mathbf{n}\cdot\mathbf{F}\,\mathrm{d}V-\iint _B\mathbf{F}\cdot(-\hat{\mathbf{k}})\,\mathrm{d}S\\ &=\iiint _V(2x+2y+1)\,\mathrm{d}V-\iint _B(-3-x)\,\mathrm{d}S \end{aligned}$

이다. $V$ 와 $B$ 는 모두 $x\rightarrow -x$ 와 $y\rightarrow -y$ 에 대해 불변이므로 $\iiint _Vx\,\mathrm{d}V=\iiint _Vy\,\mathrm{d}V=\iint _B x\,\mathrm{d}S=0$ 이고,

$\begin{aligned} \iint _S\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\, \mathrm{d}S &=\iiint _V \,\mathrm{d}V+3\iint _B\,\mathrm{d}S \end{aligned}$

이다.

$V$ 에 대한 적분을 계산하기 위해, $z$ 는 $0$ 에서 $3a$ 까지 변하고

$V=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ 0\le z\le 3a,\ x^2+y^2\le 4a^2-(z-a)^2,\ z\ge 0\ \big\}$

의 $z$ 를 고정한 단면은 원판 $x^2+y^2\le 4a^2-(z-a)^2 = 3a^2 +2a z - z^2$ 이며, 이 원판의 넓이는 $\pi\big({\sqrt{3a^2+2az-z^2}\,}\big)^2$ 임에 주목한다. 따라서

$\begin{aligned} \iint _S\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\, \mathrm{d}S & =\int_0^{3a}\pi\big({\sqrt{3a^2+2az-z^2}\,}\big)^2\,\mathrm{d}z+3\,\text{넓이}(B)\\ &=\pi\int_0^{3a}(3a^2+2az-z^2)\,\mathrm{d}z+3\pi(3a^2)\\ &=\pi \left(3a^2\times 3a+2a\times\frac{9a^2}{2}-\frac{27a^3}{3}\right) +9\pi a^2 \\ &= 9\pi a^3+9\pi a^2 \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

Note that, since $z^2-2az = (z-a)^2 -a^2$ ,

$S=\big\{ \ (x,y,z\ \big|\ x^2+y^2 +(z-a)^2=4a^2,\ z\ge 0\ \big\}$

Let $V$ be the solid

$V=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x^2+y^2+(z-a)^2\le 4a^2,\ z\ge 0\ \big\}$

It is the interior of the sphere of radius $2a$ centred on $(0,0,a)$ . The surface of $V$ (with outward normal) is the union of $S$ (with normal pointing away from the origin) and the disk

$B=\big\{ \ (x,y,0)\ \big|\ x^2+y^2\le 3a^2\ \big\}$

with normal $-\hat{\mathbf{k}}$ . Hence, by the Divergence Theorem

Both $V$ and $B$ are invariant under $x\rightarrow -x$ and under $y\rightarrow -y$ , so $\iiint _Vx\,\mathrm{d}V=\iiint _Vy\,\mathrm{d}V=\iint _B x\,\mathrm{d}S=0$ and

$\begin{aligned} \iint _S\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\, \mathrm{d}S &=\iiint _V \,\mathrm{d}V+3\iint _B\,\mathrm{d}S \end{aligned}$

To evaluate the integral over $V$ , we note that $z$ runs from $0$ to $3a$ and that the cross section of

$V=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ 0\le z\le 3a,\ x^2+y^2\le 4a^2-(z-a)^2,\ z\ge 0\ \big\}$

with fixed $z$ is the circular disk $x^2+y^2\le 4a^2-(z-a)^2 = 3a^2 +2a z - z^2$ , which has area $\pi\big({\sqrt{3a^2+2az-z^2}\,}\big)^2$ . So

$\begin{aligned} \iint _S\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\, \mathrm{d}S & =\int_0^{3a}\pi\big({\sqrt{3a^2+2az-z^2}\,}\big)^2\,\mathrm{d}z+3\,\text{Area}(B)\\ &=\pi\int_0^{3a}(3a^2+2az-z^2)\,\mathrm{d}z+3\pi(3a^2)\\ &=\pi \left(3a^2\times 3a+2a\times\frac{9a^2}{2}-\frac{27a^3}{3}\right) +9\pi a^2 \\ &= 9\pi a^3+9\pi a^2 \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-4 · 4.2절 · 50번우리말 번역

매끄러운 곡면 $\mathcal{S}$ 가 평면 $z=0$ 위쪽에 놓여 있고, 평면 $z=0$ 위의 원 $x^2+y^2=4y$ 를 경계로 가진다. 이 원은 또한 그 평면 위의 원판 $D$ 의 경계이기도 하다. $\mathcal{S}$ 와 $D$ 로 둘러싸인 3차원 영역 $R$ 의 부피는 10 세제곱단위이다. $\mathbf{F}(x,y,z)=(x+x^2y)\hat{\boldsymbol{\imath}}+(y-xy^2)\hat{\boldsymbol{\jmath}}+(z+2x+3y)\hat{\mathbf{k}}$ 의 $R$ 에서 바깥쪽 방향으로 $\mathcal{S}$ 를 지나는 플럭스를 구하세요.

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원 $x^2+y^2=4y$ , 즉 $x^2+(y-2)^2=4$ 는 반지름이 $2$ 이고 중심이 $(0,2)$ 이다. 아랫면에서는 $z=0$ 이고 바깥쪽 법선벡터는 $-\hat{\mathbf{k}}$ 이므로 $\iint _{D}\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S =-\iint _{D}\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{k}}\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y =-\iint _D(2x+3y)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ 이다. 대칭성에 의해 원판의 무게중심 $(\bar x,\bar y)$ 는 $(0,2)$ 이다. 여기서 $\bar x$ 와 $\bar y$ 는 평균값

$\begin{aligned} \bar x = \frac{\iint _D x\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y}{\iint _D \mathrm{d}x\mathrm{d}y}\qquad \bar y = \frac{\iint _D y\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y}{\iint _D \mathrm{d}x\mathrm{d}y} \end{aligned}$

이며, 각각 $D$ 위에서 $x$ 와 $y$ 의 평균값이다. 원판 $D$ 의 넓이가 $4\pi$ 이므로

$\iint _D x\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y =4\pi\bar x =0\qquad \iint _D y\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y =4\pi\bar y =8\pi$

이고 $\iint _{D}\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S =-4\pi(2\bar x+3\bar y) =-4\pi(2\times 0+3\times 2) =-24\pi$ 이다. 또한

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} }\cdot\mathbf{F} &=\frac{\partial }{\partial x}(x+x^2y) +\frac{\partial }{\partial y}(y-xy^2) +\frac{\partial }{\partial z}(z+2x+3y) =(1+2xy)+(1-2xy)+(1)\\ &=3 \end{aligned}$

이므로 발산 정리에 의해

$\begin{aligned} \iint _{\mathcal{S}}\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S &=\iiint _R{ \boldsymbol{\nabla} }\cdot\mathbf{F}\ \mathrm{d}V -\iint _{D}\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S\\ &=\iiint _R3\ \mathrm{d}V -(-24\pi) =3\text{Vol}(R)+24\pi =3\times10+24\pi \\ &=30+24\pi \end{aligned}$

이다.

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